1、余姚中学高一数学竞赛选拔题（解答）（考试时间：90 分钟）（每题 10分，满分：100 分）1. （2008 年北京大学自主招生试题）求证：边长为 1的正五边形对角线长为 5121x x1-xxx54321EDCB A三角形 ABE三角形 DAE则：15251AC=+x2x对 角 线2、 （2007 年中国西部数学奥林匹克）如图， 与 相交于点 C， D，过点 D的一条直线分别与 , 相交于点 A， B，1O2 1O2点 P在 的弧 AD上， PD与线段 AC的延长线交于点 M，点 Q在 的弧 BD上， QD与线段 BC的延长线交于点 N O是 ABC的外心求证： 的充要条件为 P， Q， M
2、， NN四点共圆证 设三角形 ABC 的外接圆 O 的半径为 R，从 N 到圆 O 的切线为 NX，则 222 RNBCRX， 同理 . 22MAC因为 A，C，D，P 四点共圆，所以 MPDA， 因为 Q，D，C，B 四点共圆，所以， NQB由，得 PDMON2)()(M,2QN所以， OD2DOPP,Q,M,N 四点共圆.3 （第一届“希望杯”全国邀请赛试题）求函数在区间-1，1 上的值域。7210614)(3xxf解： 。值域为 。4f 3215,4. （2000 年北京市中学生数学竞赛）f(x)是定义在 R 上的函数，对任意的 xR，都有f(x+3) f(x)+3 和 f(x+2) f
3、(x)+2，设 g(x)=f(x)-x，（1）求证 g(x)是周期函数；O2O1ON MQPDCBA（2）如果 f(998)=1002，求 f(2000)的值。解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题（1）g(x)=f(x)-x，可得 g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以 f(x+3) f(x)+3 和 f(x+2) f(x)+2 代换，可得，xfxfxg)(2)(2(，33由可得 g(x+4) f(x+2)-x-2f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6) f(x+2)-x-2f(x)-x。由可得 g(x+6) f
4、(x+3)-x-3f(x)-x，由、知 g(x+6)=f(x)-x=g(x)。g(x)是周期函数获证（6 是它的一个周期）（2）2000-998=1002 是 6 的整数倍，所以g(2000)=g(998)，即 f(2000)-2000=f(998)-998f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。本题的不同之处在于没有“具体化” ，而是利用 f(x+3)与 f(x+2)的反复操作以求 g(x+6)与 f(x)的关系，进而得到 g(x+6)=g(x)，以达到证明的目的。5、对集合1，2，n及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的 “交替和”如下：按照递减的次序重新排列
5、该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是 9-6+4-2+1=6. 的“交替和”是 6-5=1， 的交替和是 2。那么，对于 n=7。求所有子集的“交替和”的总和。分析；n=7 时，集合7，6，5，4，3，2，1的非空子集有 个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合1，2，3，4，5，6，7与1，2，3，4，5，6的“交替和”是 7；可以想到把一个不含 7的集和 A与 的“交替和”之和应为 7。那么，我们也就很容易解决这个问题了。解：集合1，2，3，4，5，6，7的子集中，除去7外还有 个非空
6、子集合，把这 个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设这是把 结合为一组，显然，每组中，“交替和”之和应为 7，共有 组.所以,所有“交替和”之和应该为。6、n 元集合具有多少个不同的不交子集对？分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可以求出总的子集对来了。解：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则第一个子集若是 k 个元素，第二个子集就由其余 n-k 个元素组成，可能的情况是 种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为 种，那么 k 从 o 变到 n，总的情况可能就是。如果子集对是无序的，即两个子集相同但次序不同的子
7、集对不认为不同，则 对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而对其它 个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子集对，因此有 个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集对的总数为分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。对一个元素来说，它有三种不同的选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对的总数 ，以下同解法一。说明：本题为 1973 年捷克的竞赛题，对题目的不同分析使我们得到了差异很大的两个解法，解法一从题目要求想起
8、，很容易想到，但解出最后解却不见得那么简单，而解法二的想法是类似于集合分析的想法，很难想到，但想出后比较容易求解，两个解法对比一下正体现了数学思维的两方面，一个是纯代数想法，以计算的方法替代对题目更深层次的研究，另一个则是控掘题目本身的内在关系，找出最合适的解答，我们当然推荐第二种做法。7、 （2007 年宁波市高一数学竞赛）已知二次函数 满足条件：对任意实数 都有 ；2()(,)fxabcRx()2fx且当 时，总有 成立。021)fx（1）求 的值；（2）求 的取值范围。()f(解：（1） 5 分（2）对任意实数 都有 ，即 恒成立，x()2fx2()0abxc ，由于 。20()4abc
9、1,2f a此时 ，当 时，总有 成立，221()()fxax0x21()fx的取值范围是 。 15 分0, 4afbc2,08、 （2006 年全国初中数学竞赛）10 个学生参加 n 个课外小组，每一个小组至多 5 个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中求 n 的最小值解：设 10 个学生为 ， ， ，n 个课外小组 ， ， 1S210S1G2n首先，每个学生至少参加两个课外小组否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为 ，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它 9 个学生都与他1在同一组出现，于是这一组就有
10、10 个人了，矛盾 5 分若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设 恰好参加 ， ，由题设，对于这1S1G2两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与 没有同过组，矛盾所以，每一个学生至少参加三个课外小组于是 n 个课外小组 ， ， 的12nG人数之和不小于 310=30另一方面，每一课外小组的人数不超过 5，所以 n 个课外小组 ， ， 的12n人数不超过 5n， 故 5n 30， 所以 n6 10 分下面构造一个例子说明 n=6 是可以的， ， ，54321SSG, 876212SG, 1096313SG,， ， 10974 953 8546容易验证，这样的 6 个课外小组满足题设
11、条件所以，n 的最小值为 6 15 分9、 （2005 年全国初中数学竞赛）已知 p，q 都是质数，且使得关于 x 的二次方程05)108(2pqpx至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q） 。解：由方程两根的和为 8p10q 可知，若方程有一个根为整数，则另一个根也是整数。由方程两根的积为 5p q，知方程的另一个根也是正整数。设方程的两个正整数根分别为 ， （ ） ，由根与系数的关系得1x212x 8p10q 1x25 pq 由得， ， 有如下几种可能的情况：1x2pqp,5,2所以 5pq1，pq+5，p5q，q5p，代入1x2当 5pq1 时，5pq18p10q，而 5pq110p
12、8p10q，故此时无解。当 pq5 时，pq58p10q，所以（p10） （q8）851x2因为 p、q 都是质 数，只可能 所以（p，q）（7，3）85,10q当 p5q 时，p5q8p10q，所以 7p15q，不可能。1x2当 5pq 时，5pq8p10q，所以 3p11q，于是（p，q）（11，3）综上所述，满足条件的质数对（p，q）（7，3）或（11,3）10、 （2004 年全国初中数学竞赛）已知 ， ， ，且 ，求0ab0cacb242的最小值. c42解：令 ，由 ， ， ，判别式cxy2a0c（第 14（A）题图），所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与 x 轴有两个042acb不同的交点 ， ，因为 ，不妨设 ，则 ，对),(1xA),(2B021acx21x210称轴 ，于是2a， （5 分）cabcbx2441所以 ， （10 分）aca422故 ，2b当 ，b=0，c=1 时，等号成立.1所以， 的最小值为 4. （15 分）a42
