1、1高中应用题专题复习例 1建筑一个容积为 48 米 3，深为 3 米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为 a 元，池底每平方米的造价为 2a 元。把总造价 y 表示为底的一边长 x 米的函数，并指出函数的定义域。解：容积=底面积高= 48 底面积3 = 48 底面另一边长：m = x16池壁造价=池壁面积a = 2(3x + 3m )a = 6( x + )a = 6(x + )a 16池底造价=底面积2a =162a = 32a y = 6(x + )a + 32a ( x 0 )x16例 2. 有根木料长为 6 米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为 12，问怎样利用木料，才
2、能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计. 解：如图设 x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 7x 窗框的高为 3x，宽为 37x即窗框的面积 y = 3x = 7x2 + 6x ( 0 1020) 炮弹爆炸点的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线以 AB 为 x 轴、AB 中点为原点建立直角坐标系（如图） A( 700, 0 ), B( 700, 0 ) c = 700且 2a = 1020 a = 510 b2 =229900炮弹爆炸的轨迹方程是： ( x 0 )19612yx例 19如图，某灾区的灾民分布在一个矩形地区，现要将救灾物资从 P 处紧
3、急运往灾区. P 往灾区有两条道路 PA、PB，且 PA=110 公里， PB=150 公里，AB= 50 公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里，需要在灾区划分一条界线，使从 PA 和 PB 两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.解：要使沿 PA、PB 两条线路到救灾地点都比较近，有三种情况：（1）沿 PA 线路 （2）沿 PB 线路 （3）沿 PA、PB 线路都相同故分界线以第（3）种情况划分：即|PA| + |MA| = |PB| + |MB| 110 + |MA| = 150 + |MB| |MA|MB| = 40, 即知分界线是以 A、B 为焦点的双曲线AB = 50 2
4、c = 50 c = 25, 2a = 40 a = 20 b2 = 225若以 AB 为 x 轴、AB 的中点为原点建立直角坐标系则分界线方程是： （在矩形内的一段）15402y注意：确定分界线的原则是：从 P 沿 PA、PB 到分界线上点的距离 .3练习：1 某森林出现火灾，火势正以每分钟 的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员2m10前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 ，所消耗的灭2m50火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元，而烧毁一平方米森林损失费为 60 元（1）
5、设派 x 名消防队员前去救火，用 t 分钟将火扑灭，试建立 与 的函数关系式；tx（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？2 有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距 d(m)与车速 v(km/h)和车长 l(m)的关系满足： （k 为正的常数），假定车身长为 4m，当车速为lvd2160（km/h)时，车距为 2.66 个车身长。（1） 写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式;（2） 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？3 电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（
6、元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN 平行 CD）（1） 若通话时间为两小时，按方案 A，B 各付话费多少元？（2） 方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费多少元？（3） 通话时间在什么范围内，方案 B 比方案 A 优惠？5 某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场。如图，运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成。跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元，草皮每平方米造价为 30 元(1)设半圆的半径 OA=r (米),试建立塑胶跑道面积 S 与 的函数关系 S
7、( ) (2)由于条件限制 30,4,问当 r取何值时,运动场造价最低?（精确到元）10 某厂家拟在 2008 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量） x万件与年促销费用 m万元（ 1)mkx满 足 （ 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是 1万件。已知 2008 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用）（1）将 2008 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m万元的函数；（2）该厂家 2008
8、 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？13 某民营企业生产 A、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)甲 乙(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资 (万元)的函数关系式；x(2)该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?16 某厂家拟在 2009 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量） 万件与年促x销费用 万元满足 （ 为常数），如果不
9、搞促销活动，则该产品的年销售量是 1 万0()m31kxm4件. 已知 2009 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将 2009 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 万元的函数；m（2）该厂家 2009 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？17 某商场在促销期间规定：商场内所在商品按标价的 80%出售；同时，当顾客在该商场内消费一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围 )40,2)50,)
10、7,)90,获得奖券的金额（元） 30 60 100 130 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如：购买标价为 400 元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为：4000.2+30=110（元）。设购买商品得到的优惠率=，试问商 品 的 标 价购 买 商 品 得 到 的 优 惠 额（1）购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500，800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于 的优31惠率？18 如图所示，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花园 ，要求 B 在 上，D 在 上，ABCDAMPNAN且对角线 过
11、 C 点，已知 AB=3 米，AD=2 米，MN（1 ）要使矩形 的面积大于 32 平方米，则 的长应在什么范围内 ?P(2)当 的长度是多少时，矩形 的面积最小?并求最小面积；AMPN(3)若 的长度不少于 6 米，则当 的长度是多少时，矩形 的面积最小？并求出最小面积。19 已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200 千克，配料的价格为 元/千8.1克，每次购买配料需支付运费 236 元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7 天以内（含7 天），无论重量多少，均按 10 元/天支付；超出 7 天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03 元/千克支
12、付.高考资源网（1）当 9 天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用 P 是多少元？高考资源网（2）设该厂 天购买一次配料，求该厂在这 天中用于配料的总费用 （元）关于 的函数关系式，xxyx并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?高考资源网20 假设 A 型进口车关税税率在 2003 年是 100%，在 2008 年是 25%，在 2003 年 A 型进口车每辆价格为 64万元（其中含 32 万元关税税款）（1）已知与 A 型车性能相近的 B 型国产车，2003 年每辆价格为 46 万元，若 A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证 2008 年 B 型车的价格不高于 A
13、 型车价格的 90%，B 型车价格要逐年等额降低，问每年至少下降多少万元？（2）某人在 2003 年将 33 万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为 1.8%（5 年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么 5 年到期时这笔钱连本带利息是否一定够买按（1）中所述降价后的 B 型车一辆？（参考数据：1.018 51.093）参考答案1 解：（1）， 5 分21050xt（2）总损失为 y，则 y灭火劳务津贴车辆、器械装备费森林损失费y125 tx100 x60（500100 t）9 分5 260310215xxx )( 11 分5)34x13 分36402105当且仅
14、当 ，即 x27 时， y 有最小值 3645014 分)(2因为当 时， ，所以 ， 4 分60vld6.206.1.260.2lk 6 分2.4d=+设每小时通过的车辆为 ，则 即 12 分Q104vQ2.40.4vv 660.240.24.vv ，当且仅当 ，即 时， 取最大值 15.3Q 60.24v501253答：当 时，大桥每小时通过的车辆最多16 分vkm/h3 设通话 x 分钟时，方案 A，B 的通话费分别为 (),ABfxf（1）当 x=120 时 ()fx=116 元 =168 元若通话时间为两小时，方案 A 付话费 116 元，方案 B 付话费 168 元（2）98061
15、6805(),()331A Bxfxfx当 50时 )Bf- (Bfx=0.3 方案 B 从 500 分钟以后，每分钟收费 0.3 元(3) 当 x时 )A6(Bff05由 )x得 803x综合：通话时间在 80(,3内方案 B 较优惠。5 解: (1)塑胶 跑道面积 22210() 48064()6rSr分分（2） 设运动场造价为 y xOy6808015(64)30(164)10328720,4yr rryr 分分函 数 是 的 减 函 数当 =运 动 场 造 价 最 低 为 63510元 -4分6（1）依题意， )8()1(xx；又售价不能低于成本价，所以 所以 )50)(2)(xxfy
16、，定义域为 2,0（2） 126810，化简得： 0138x 解得 43 所以 x 的取值范围是 10 解（1）由题意可知当 0m时， （万件） k即 22 分23x每件产品的销售价格为 )(1685.元x5 分2008 年的利润 )(1685.mxy m)123(84)029)(16m 8 分（2） 816,0时21,)(3298 maxyy 时万 元当 且 仅 当（万元）12 分答：该厂家 2008 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元14 分11()因为 tanBD,所以 ABD的面积为 21tn( 0,)(2 分)设正方形 EFG的边长为 t,则由 FG,得
17、 at,解得 t1an,则2an(1t)S(6 分)所以222tat ()S,则212(tan)1Sy(9 分)()因为 a(0,),所以 tnty(13 分)当且仅当 tn1时取等号,此时 2aBE.所以当 长为 a时, y有最小值 1(15 分)13(1) 设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元由题设 xkgf)(,)(由图知 f(1)= ,故 k1= 又 4 45,)4(2kg7从而 7 分)0(45)(,0(41)( xgxf(2) 设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元)1(1)() fy令 则
18、t10 )0(6524542ttty当 7.3,6,25maxx时时答: 当 A 产品投入 3.75 万元,则 B 产品投入 6.25 万元,企业最大利润为 万元 15 分16516（1）由题意可知，当 时， ， 即 ，01k2 ，每件产品的销售价格为 元.3x86.5x2009 年的利润 )(685.1mxy8 分m1234 )0(29)1(m（2） 时， .0()681 ，当且仅当 ，即 时， .15 分892y3maxy答：该厂家 2009 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元.17（1）购买一件标价为 1000 元的商品，顾客的消费金额为：（元）0.获得奖券
19、的金额为 130 元，得到的优惠率是%132（2）设商品的标价为 x 元，则 顾客消费金额（元）,805x满足 当 时，获得奖券的金额为 60 元；.6408.40.当 时，获得奖券的金额为 100 元，由已知得5（1） 或（2）;5.,31x.6408.5031x不等式（1）无解；不等式（2）的解为 ，因此，当顾客购买标价在625，750元内的752商品，可得到不小于 的优惠率。318（1）设 米， ，则xAN2xND MDC 32 2 分xA8 32x 4 分0642 )8(或 5 分x（2 ） 7 分21)()(32xSAMPN231)(3xx416此时 10 分（3 ） 12)(3xS
20、AMPN)6(令 ， 11 分tx243(ttf 21)(tf当 时，t0)(f 在 上递增 13 分3)(tf,4 27)(minft此时 14 分6x答：（1） 或38AN（2）当 的长度是 4 米时，矩形 的面积最小，最小面积为 24 平方米；AMPN（3）当 的长度是 6 米时，矩形 的面积最小，最小面积为 27 平方米。 15 分19（）当 9 天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P=70+ =88(元) 4 分 21(0.（）（1）当 x7 时y=360x+10x+236=370x+236 5 分（2）当 x7 时y=360x+236+70+6( )+( )+2+1 7x6= 7
21、分432132x 8 分 ,670y设该厂 x 天购买一次配料平均每天支付的费用为 f(x)元11 分7,43213)(2xf，当 x7 时9当且仅当 x=7 时 xxf23670)(f(x)有最小值 （元）48当 x7 时= 393 xf3213)(2321)4(x当且仅当 x=12 时取等号393404当 x=12 时 f(x)有最小值 393 元 16 分20（1）2008 年 A 型车价格为 32+3225%=40（万元）设 B 型车每年下降 d 万元，2003，2003，2008 年 B 型车价格分别为 ，321,a为公差是d 的等差数列）626,(a %904即 35d故每年至少下
22、降 2 万元。（2）2008 年到期时共有钱 33 5%)8.1(（万元）609.1故 5 年到期后这笔钱够买一辆降价后的 B 型车。10、甲乙两车从 A 地沿同一路线到达 B 地，甲车一半时间的速度是 ，另一半时间的速度为 b；乙a车用速度 行走了一半路程，用速度 b 行走了另一半路程。若 ，则两车到达 B 地的情况是a bA、甲车先到达 B 地 B、乙车先到达 B 地 C、同时到达 B 地 D、不能判断函数应用题的几种常见模型函数应用题主要有以下几种常见模型：1、一次函数模型例 1 某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份 0.35 元，卖出的价格是每份 0.5 元，卖不掉的报纸还可以以每份
23、 0.08 元的价格退回报社。在一个月（30 天）里，有 20 天每天可以卖出 400 份，其余每天只能卖出 250 份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？注：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长,即为增函数，一次项系数为负时为减函数。2、二次函数模型例 2 某工厂生产的商品 A，若每件定价为 80 元，则每年可销售 80 万件，政府税务部门对市场销售的商品 A 要征收附加税，为增加国家收
24、入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府对商品 A 征收附加税率为 时，每年销售额将减少 万件。据此，试问：%pp10（1）若税务部门对商品 A 征收的税金不少于 96 万元，求 的范围；（2）若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时 的值。注：在第二问即二次函数求最值问题，一定要注意隐含条件。所以应用题中变量的取值范围是一个10非常值得重视的问题。3、指数函数模型例 3 某城市现有人口总数 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数 （万人）与年份 （年）的函数关系；yx（2）计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.
25、1 万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到 120 万人（精确到 1 年）；（4）如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人，年增长率应该控制在多少？注：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示。通常可以表示为 的形式。为为 增 长 率 ，为 基 础 数 ，其 中 xpNpyx()1 )时 间4、分段函数模型例 4 通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设 表示学生注意力随时间 （分钟）的变化规律（
26、越大，表明学生注意力越大），经过实验分)(tf t )(tf析得知：,402,3871041,)(2tttttf（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？（2）讲课开始后 5 分钟与讲课开始后 25 分钟比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学难题，需要讲解 24 分钟，并且要求学生的注意力至少达到 180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？注：对于一些较复杂的问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题，需先后或年同时构造、利用几个函数模型，即分段函数模型方可。5、幂函数模型例 5 在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时
27、，其强度 与电线半径 的三次方Ir成正比。（1）写出函数解析式；（2）若电流通过半径为 4 毫米的电线时，电流强度为 320 安，求电流通过半径为 毫米的电线时，其电流强度的表达式；（3）已知（2）中的电流通过的电线半径为 5 毫米，计算该电流的强度。解：（1） （ 为常数）。3krI（2）由（1）知： ，3420解得： 。5所以，电流通过半径为 毫米的电线时，其电流强度的表达式为 。r 35rI（3）由（2）中电流强度的表达式，将 代入得： 安。5r62I注：本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题，关键是分清各个量的物理意义及相关关系。6、对数函数模型例 6 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示
