1、统计一.简单随机抽样：抽签法和随机数法1.一般地，设一个总体含有 N 个个体（有限） ，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本（nN）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等（n/N） ，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。2.一般地，抽签法就是把总体中的 N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取 n 次，就得到一个容量为 n 的样本，这种抽样方法叫做抽签法。抽签法的一般步骤：a、将总体的个体编号。 b、连续抽签获取样本号码。3. 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法。随机数表法的步骤：a、将总体
2、的个体编号。b、在随机数表中选择开始数字。c、读数获取样本号码。4. 抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。二.系统抽样：1.一般地，要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样。系统抽样的一般步骤：（1）采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个编号。（2）将整体按
3、编号进行分段，确定分段间隔 k=N/n。(kN,Lk).（3）在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 L（LN,Lk） 。（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号 L 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 L+K，再加上 K 得到第 3 个个体编号 L+2K，这样继续下去，直到获取整个样本。在确定分段间隔 k 时应注意：分段间隔 k 为整数，当 N/n 不是整数时，应采用等可能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔 k。三.分层抽样：1.一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样
4、。分层抽样的步骤：（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。 （2）按比例确定每层抽取个体的个数。（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 （4）综合每层抽样，组成样本。2.分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠。（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样。（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。四. 用样本的频率分布估计总体分布：1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的
5、大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：（1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差 （2）决定组距与组数（3）将数据分组 （4）列频率分布表 （5）画频率分布直方图2.频率分布折线图、总体密度曲线频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。总体密度曲线：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，给我们提供更加精细的信息。3. 当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效
6、数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。茎叶图的特征：（1）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。（2）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。五. 用样本的数字特征估计总体的数字特征：1. 众数、中位数、平均数、方差、标准差的求法。六.变量之间的相关关系：1.相关关系：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系） ，或非确定性
7、关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。2.散点图的概念：将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图。 （1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系。3. 如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系） 。3.正相关与负相关概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关。如果散点图中
8、的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关。 （注：散点图的点如果几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系）4. 从散点图上可以看出，这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线。如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这这两个变量之间具有线形相关关系，直线叫回归直线。5.教学最小二乘法：（1）求回归方程的关键是如何用数学的方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小“（2）最小二乘法公式：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。题型一 抽样方法例 1（1）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生，为了
9、解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 （2）利用简单随机抽样的方法，从 n 个个体（n13 ）中抽取 13 个个体，依次抽取，若第二次抽取后，余下的每个个体被抽取的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率为 361222 212()()()nsxxxn2 212nnix2n1)(xlii )(n1yxliiixyn1iy变式 1:某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 _，_， _辆
10、变式 2：经问卷调查，某班学生对摄影分别执 “喜欢” 、 “不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多 12 人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的 5 位“喜欢”摄影的同学、1 位“ 不喜欢”摄影的同学和 3 位执 “一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人题型二 统计图表问题例 2 从一条生产线上每隔 30 分钟取一件产品，共取了 n 件，测得其产品尺寸后，画得其频率直方图如下. 尺寸在15,45) 内的频数为 46.(1)求 n 的值；(2)求尺寸在20,25)内产品的个数.变式 3: 有一个容量为 100 的样本
11、，数据的分组及各组的频数如下：12.5， 15.5 ， 6；15.5，18.5 ，16；18.5 ，21.5 ，18；21.5，24.5 ，22；24.5， 27.5） ， 20；27.5，30.5） ，10；30.5，33.5） ，8.列出样本的频率分布表；画出频率分布直方图；估计数据小于 30.5 的概率题型三 平均数、标准差（方差）的计算问题例 3 一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9. 9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ）A9.4，0.484 B9.4，0.016 C9.5 ，0.04 D9.5
12、，0.016变式 4: 是 的平均数， 是 的平均数， 是 的平均数，则 ，x1210,x a1240,x b41210,x x， 之间的关系为 ab变式 5：某人 5 次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为 、 、10、11 、9 已知这组数据的平均y数为 10，方差为 2，则 的值为（ ）yxA1 B2 C3 D4题型四 线性回归分析例 4 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗x（吨标准煤）的几组对照数据: yx3 4 5 6（1 ）请画出上表数据的散点图；（2 ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程 ；ybxa（3 ）已知
13、该厂技术改造前 吨甲产品能耗为 吨标准煤；试根据（2）求出的线性回归方程，预测生1090产 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？10变式 6: 为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前 次考试7的数学成绩 、物理成绩 进行分析下面是该生 次考试的成绩xy7数学8888831117992110811001112物理9949911108996110411011106（1 ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2 ）已知该生的物理成绩 与数学成绩 是线性相关的，若该生的物理成绩达到 分，请你估计他的yx 15数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议y2.5 3 4 4.5
