1、一， 2017山东济南调研如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1C1C是边长为 4的正方形平面 ABC平面 AA1C1C， AB3， BC5.(1)求证： AA1平面 ABC；(2)求二面角 A1 BC1 B1的余弦值；(3)在线段 BC1上是否存在点 D，使得 AD A1B？若存在，试求出 的值BDBC1(1)证明 在正方形 AA1C1C中， A1A AC.又平面 ABC平面 AA1C1C，且平面 ABC平面 AA1C1C AC， AA1平面 AA1C1C. AA1平面 ABC.(2)解 由(1)知， AA1 AC， AA1 AB，由题意知，在 ABC中， AC4， AB3， BC
2、5， BC2 AC2 AB2， AB AC.以 A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 A xyz.A1(0,0,4)， B(0,3,0)， C1(4,0,4)， B1(0,3,4)，于是 (4,0,0)， (0,3，4)，A1C1 A1B (4，3,0)， (0,0,4)B1C1 BB1 设平面 A1BC1的法向量 n1( x1， y1， z1)，平面 B1BC1的法向量 n2( x2， y2， z2)Error! Error!取向量 n1(0,4,3)由Error! Error!取向量 n2(3,4,0)cos .n1n2|n1|n2| 1655 1625由题图可判断二面角 A1 BC1
3、 B1为锐角，故二面角 A1 BC1 B1的余弦值为 .1625(3)解 假设存在点 D(x， y， z)是线段 BC1上一点，使 AD A1B，且 ，BD BC1 ( x， y3， z) (4，3,4)，解得 x4 ， y33 ， z4 ， (4 ，33 ，4 )AD 又 AD A1B，03(33 )16 0，解得 ，925 0,1，925在线段 BC1上存在点 D，使得 AD A1B，此时 .BDBC1 925二， 如图，在四棱锥 P ABCD中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABCD为直角梯形， ABC BAD ， PA AD2， AB BC1.2(1)求平面 PAB与平面 PCD
4、所成二面角的余弦值；(2)点 Q是线段 BP上的动点，当直线 CQ与 DP所成的角最小时，求线段 BQ的长解 以 ， ， 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，AB AD AP 则各点的坐标为 B(1,0,0)， C(1,1,0)， D(0,2,0)，P(0,0,2)(1)由题意知， AD平面 PAB，所以 是平面 PAB的一个法向量，AD (0,2,0)AD 因为 (1,1，2)， (0,2，2)PC PD 设平面 PCD的法向量为 m( x， y， z)，则 m 0， m 0，PC PD 即Error!令 y1，解得 z1， x1.所以 m(1,1,1)是平面 PCD的一个法
5、向量从而 cos ， m ，AD AD m|AD |m| 33所以平面 PAB与平面 PCD所成二面角的余弦值为 .33(2)因为 (1,0,2)，BP 设 ( ，0,2 )(0 1)，BQ BP 又 (0，1,0)，CB 则 ( ，1,2 )，CQ CB BQ 又 (0，2,2)，DP 从而 cos ， .CQ DP CQ DP |CQ |DP | 1 210 2 2设 12 t， t1,3，则 cos2 ， CQ DP 2t25t2 10t 9 .29(1t 59)2 209 910当且仅当 t ，即 时，|cos ， |的最大值为 .95 25 CQ DP 31010因为 ycos x在
6、 上是减函数，(0，2)所以此时直线 CQ与 DP所成角取得最小值又因为 BP ，12 22 5所以 BQ BP .25 255三，2016浙江卷如图，在三棱台 ABC DEF中，平面 BCFE平面ABC， ACB90， BE EF FC1， BC2， AC3.(1)求证： BF平面 ACFD；(2)求二面角 B AD F的平面角的余弦值(1)证明 延长 AD， BE， CF相交于一点 K，如图所示因为平面 BCFE平面 ABC，平面 BCFE平面 ABC BC，且 AC BC，所以 AC平面 BCK，因此 BF AC.又 EFBC ， BE EF FC1， BC2，所以 BCK为等边三角形，
7、且 F为 CK的中点，则 BF CK，又 AC CK C，所以 BF平面 ACFD.(2)解 解法一：过点 F作 FQ AK于 Q，连接 BQ.因为 BF平面 ACK，所以 BF AK，则 AK平面 BQF，所以 BQ AK.所以 BQF是二面角 B AD F的平面角在 Rt ACK中， AC 3， CK2，得AK ， FQ .1331313在 Rt BQF中， FQ ， BF ，得31313 3cos BQF .34所以二面角 B AD F的平面角的余弦值为 .34解法二：如图，延长 AD， BE， CF相交于一点 K，则 BCK为等边三角形取 BC的中点 O，连接 KO，则 KO BC，又
8、平面 BCFE平面 ABC，所以 KO平面 ABC.以点 O为原点，分别以射线 OB， OK的方向为 x轴、 z轴的正方向，建立空间直角坐标系 O xyz.由题意，得 B(1,0,0)， C(1,0,0)， K(0,0， )， A(1，3，0) ， E ， F3 (12， 0， 32).(12， 0， 32)因此， (0,3,0)， (1,3， )，AC AK 3(2,3,0)AB 设平面 ACK的法向量为 m( x1， y1， z1)，平面 ABK的法向量为 n( x2， y2， z2)由Error! 得Error!取 m( ，0，1)；3由Error! 得Error!取 n(3，2， )3
9、于是 cos m， n .mn|m|n| 34所以二面角 B AD F的平面角的余弦值为 .34四，2016河南九校联考 (本小题满分 15分)如图，在四棱锥 P ABCD中， PA平面 ABCD， AD BC， AD CD，且 AD CD2 ， BC4 ， PA2，点 M在 PD上2 2(1)求证： AB PC；(2)若二面角 M AC D的大小为 45，求 BM与平面 PAC所成角的正弦值解 (1)证明：取 BC中点 E，连接 AE，则 AD EC， AD EC，所以四边形 AECD为平行四边形，故 AE BC，又 AE BE EC2 ，所以 ABC ACB45，故 AB AC，又2AB
10、PA， AC PA A，所以 AB平面 PAC，(4 分)故有 AB PC.(6分)(2)如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)， B(2 ，2 ，0)，2 2C(2 ，2 ，0)， P(0,0,2)，2 2D(0,2 ，0)(7 分)2设 (0,2 ，2 )(0 1)，PM PD 2易得 M(0,2 ，22 )，2设平面 AMC的一个法向量为 n1( x， y， z)，则Error!令 y ，得 x ， z ，2 22 1即 n1 ，(9 分)( 2， 2，2 1)又平面 ACD的一个法向量为 n2(0,0,1)，(10 分)|cos n1， n2| cos45，|n1n2|n1
11、|n2| 2 1|4 (2 1)2解得 ，(12 分)12即 M(0， ，1)， (2 ，3 ，1)，2 BM 2 2而 (2 ，2 ，0)是平面 PAC的一个法向量，(13 分)AB 2 2设直线 BM与平面 PAC所成的角为 ，则 sin |cos ， | .BM AB | 8 12|433 539故直线 BM与平面 PAC所成的角的正弦值为 .(15分)539五2016平顶山二调(本小题满分 15分)在正三角形 ABC中， E、 F、 P分别是AB、 AC、 BC边上的点，满足 AE EB CF FA CP PB12，如图 1.将 AEF沿 EF折起到 A1EF的位置，使二面角 A1 E
12、F B成直二面角，连接 A1B、 A1P，如图 2.(1)求证： A1E平面 BEP；(2)求二面角 B A1P E的余弦值解 不妨设正三角形 ABC的边长为 3.(1)证明：在图 1中，取 BE的中点 D，连接 DF. AE EB CF FA12， AF AD2，而 A60， ADF是正三角形又 AE DE1， EF AD. 在图 2中， A1E EF， BE EF， A1EB为二面角 A1 EF B的平面角(4 分)由题设条件知此二面角为直二面角， A1E BE.又 BE EF E， A1E平面 BEF，即 A1E平面 BEP.(6分)(2)建立分别以 EB、 EF、 EA1所在直线为 x
13、轴、 y轴、 z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0)， A1(0,0,1)， B(2,0,0)， F(0， ，0)， P(1， ， 0)，则 (0,0，1)，3 3 A1E (2,0，1)，A1B (1， ，0)， (1， ，0)(8 分)BP 3 PE 3设平面 A1BP的法向量为 n1( x1， y1， z1)，由 n1平面 A1BP知， n1 ， n1 ，A1B BP 即Error!令 x1 ，得 y11， z12 ， n1( ，1,2 )(10 分)3 3 3 3设平面 A1PE的法向量为 n2( x2， y2， z2)由 n2平面 A1PE知， n2 ， n2 ，A1E PE 即可
14、得 n2( ，1,0)(12 分)3cos n1， n2n1n2|n1|n2| ， (14分)33 1 1 230 3 2 12 23 202 12 3 2 14所以二面角 B A1P E的余弦值是 .(15分)14六2016江苏高考(本小题满分 20分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 P A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCD A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O是正四棱锥的高 PO1的 4倍(1)若 AB6 m， PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？解 (1)
15、由 PO12 知 O1O4 PO18.(1 分)因为 A1B1 AB6，所以正四棱锥 P A1B1C1D1的体积 V 锥 A1B PO1 62224(m 3)(4 分)13 21 13正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的体积 V 柱 AB2O1O6 28288(m 3)(7 分)所以仓库的容积 V V 锥 V 柱 24288312(m 3)(8 分)(2)设 A1B1 a m， PO1 h m，则 00， V是单调递增函数；3当 2 h6时， V0， V是单调递减函数3故 h2 时， V取得极大值，也是最大值3因此，当 PO12 m 时，仓库 的容积最大 (20 分)3七2016北京高考(本
16、小题满分 20分)如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD平面 ABCD， PA PD， PA PD， AB AD， AB1， AD2， AC CD .5(1)求证： PD平面 PAB；(2)求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值；(3)在棱 PA上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD？若存在，求 的值；若不存在，说AMAP明理由解 (1)证明：因为平面 PAD平面 ABCD， AB AD，所以 AB平面 PAD，(3 分)所以 AB PD.又 PA PD，所以 PD平面 PAB.(6分)(2)取 AD的中点 O，连接 PO， CO.因为 PA PD，所以 PO AD.因为 PO平面
17、PAD，平面 PAD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD.(8分)因为 CO平面 ABCD，所以 PO CO.因为 AC CD，所以 CO AD.如图建立空间直角坐标系 Oxyz.由题意得， A(0,1,0)， B(1,1,0)， C(2,0,0)， D(0，1,0)，P(0,0,1)(10 分)设平面 PCD的法向量为 n( x， y， z)，则Error!即 Error!令 z2，则 x1， y2.所以 n(1，2,2)(12 分)又 (1,1，1)，所以 cos n， .(14分)PB PB nPB |n|PB | 33所以直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值为 .(15分)33(3)设 M是棱 PA上一点，则存在 0,1，使得 .AM AP 因此点 M(0,1 ， )，(16 分)(1， ， )BM 因为 BM平面 PCD，所以要使 BM平面 PCD，
