1、1 / 18习 题 一1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. 出现奇数点 ；A（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. 两次点数之和为 10，第一次的点数，比第二次的点数大 2；B（3）一个口袋中有 5 只外形完全相同的球，编号分别为 1,2,3,4,5；从中同时取出 3 只球，观察其结果， 球的最小号码为 1；（4）将 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情,ab况， 甲盒中至少有一球 ；A（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， 通过汽车不足 5 台 ，A通过的汽车不少于 3 台 。B解 （1） 其中 出现 点 ，12456,
2、Seeii1,26。3（2） (,),()1,(),62),12,4,35,(4)()(5,),6；66；(,),(,4)A。3123B（3） ,5(1,4),5(1,24),5S(5)(,4,3,（4） )()()(,)ababab，其中 表示空盒；(,)(,)(,。,A（5） 。0,12,0,1234SB 2设 是随机试验 的三个事件，试用 表示下列事件：BCE,AC（1）仅 发生；（2） 中至少有两个发生；,2 / 18（3） 中不多于两个发生；,ABC（4） 中恰有两个发生；（5） 中至多有一个发生。,解 （1）（2） 或 ；ABCAB（3） 或 ；ACCAB（4） ；B（5） 或 ；
3、3一个工人生产了三件产品，以 表示第 件产品是正品，试(1,23)ii用 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；i（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。解 （1） ；（2） ；（3）3A12A；（4） 。123123123AA134在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。解 设 任取一电话号码后四个数字全不相同 ，则4106().502P5一批晶体管共 40 只，其中 3 只是坏的，今从中任取 5 只，求（1）5 只全是好的的概率；（2）5 只中有两只坏的的概率。解 （1）设 5 只全是好的 ，则A；3740().62CP（2
4、）设 5 只中有两只坏的 ，则B.23740()5A6袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，求（1）3 个球的最小号码为 5 的概率；（2）3 个球的最大号码为 5 的概率.解 （1）设 最小号码为 5，则A；25310()CP3 / 18（2）设 最大号码为 5，则B.24310()CP7 （1）教室里有 个学生，求他们的生日都不相同的概率；r（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解 （1）设 他们的生日都不相同 ，则A；365()rP（2）设 至少有两个人的生日在同一个月 ，则B；2123214414() 96CCP或.412()1()P8
5、设一个人的生日在星期几是等可能的，求 6 个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.解 设 生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天 ，则A.267()()0.17CP9将 等 7 个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文,EINS单词 SCIENCE 的概率是多少？解 1 设 恰好排成 SCIENCEA将 7 个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母 在 7 个位置中占两个位置，共有 种占法，字母 在余下的 5 个C27CE位置中占两个位置，共有 种占法，字母 剩下的 3 个位置上全排列的25,IN方法共 3！种，故基本事件总数为 ，而 中的基本事件只有275
6、3!160A一个，故；275()!PAC解 2 七个字母中有两个 ，两个 ，把七个字母排成一排，称为不尽相E异元素的全排列。一般地，设有 个元素，其中第一种元素有 个，第二种元n1n素有 个，第 种元素有 个 ，将这 个元素排成一nkk12()k4 / 18排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为，12!kn对于本题有.41()7!60PA10从 等 个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事0,12,9 0件的概率： 三个数字中不含 0 和 5， 三个数字中不含 0 或 5，2三个数字中含 0 但不含 5.3A解 .38107()CP，3982311045或，822310()()CPA
7、.8310711将 双大小各不相同的鞋子随机地分成 堆，每堆两只，求事件nn每堆各成一双的概率.A解 双鞋子随机地分成 堆属分组问题，不同的分法共n每堆各成一双共有 种情况，故(2)!()!n !2()!nPA12设事件 与 互不相容， ，求 与AB0.4,().3B()PAB()P解 1()1().因为 不相容，所以 ，于是,()0.6P13若 且 ，求 .()AB(AP()B解 11A5 / 18由 得()()PAB1(PAp14设事件 及 的概率分别为 ，求 及,B,qr()PAB()解 ()()(1.1qprpr15设 ，且 仅发生一个的概率为 0.5，求 都()0.7PA,A,发生的
8、概率。解 1 由题意有0.5()()()BPB，.72A所以.()01P解 2 仅发生一个可表示为 ，故,BBA.5()()2(),PPB所以.()01A16设 ，求 与 .7,()0.3,()0.()A()P解 ，.3.7(BAB所以，()0.4P故；.6A.2()(04BPB所以0.P()1()1()()0.1APB17设 ，试证明ACC证 因为 ，所以B()()()()PB故6 / 18. 证毕.()()1PABC18对任意三事件 ，试证,.()(PABPA证 ()()() )CB. 证毕.19设 是三个事件，且 ，,ABC1(),(04PC，求 至少有一个发生的概率。1()8P,解 )
9、()()()()PBCPABA因为 ，所以 ，于是0(0031548ABC20随机地向半圆 （ 为正常数）内掷一点，点落在园2yax内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与 轴的夹角小x于 的概率./4解：半圆域如图设 原点与该点连线与 轴夹角小A于 /由几何概率的定义214()aP的 面 积半 园 的 面 积 121把长为 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.a解 1 设 三段可构成三角形 ，又三段的长分别为 ，A ,xyay则 ，不等式构成平面域 .0,0xyxyaS发生 0,22x不等式确定 的子域 ，所以SA1()4PA的 面 积的 面 积解 2 设三段长分别
10、为 ，则 且,xyz0,0xayza0yxyx a/4xS0a/2 a/2a aA7 / 18，不等式确定了三维空间上的有界平面域 .xyzaS发生Axyz不等式确定 的子域 ，所以SA.1()4PA的 面 积的 面 积22随机地取两个正数 和 ，这两个数中的每一个都不超过 1，试求xy与 之和不超过 1，积不小于 0.09 的概率.xy解 ，不等式确定平面域 .0,xS 则 发生的A1,0.9xyA充要条件为 不,.0xy等式确定了 的子域 ，故0.91.()()Pd的 面 积S的 面 积0.418ln3.223 （蒲丰投针问题）在平面上画出等距离 的一些平行线，向平()a面上随机地投掷一根
11、长 的针，求针与任一平行线相交的概率.()la解 设 针与某平行线相交 ，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，A设 为针的中点到最近的一条平行线的距离。x为针与平行线的夹角，则，不等式确定了平面0,2ax上的一个区域 .S发 生 ， 不 等 式 确 定 的 子 域Asin2LxSAayayxzyA2axy0yAS sinl1yy1y0.90.10yASy8 / 18故 012()sin2LPAdaa习 题 二1假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设 任取一件是 等品 ，iAi1,23i所求概率为，1313()(|)P
12、因为 32所以 12()()0.6.9AA13故.136(|)9P2设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设 所取两件中有一件是不合格品A所取两件中恰有 件不合格 iBi1,2.i则12，1246420()()CPAB所求概率为.224216()(| 53袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.9 / 18解 设 发现是同一颜色 ， 全是白色 ， 全是黑色 ，ABC则，BC所求概率为 36135/()()2(|)PCABC4从 52 张朴克牌中任意抽取 5 张
13、，求在至少有 3 张黑桃的条件下，5 张都是黑桃的概率.解 设 至少有 3 张黑桃 ， 5 张中恰有 张黑桃 ，i i，3,5i则，345AB所求概率为.55534()()(|)PB51332451991368C5设 求 与 .0.,.6,|0.8PA()PB()A解 ()()()|.07AB.6甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2 球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。解 设 从乙袋中取出的是白球 ， 从甲袋中取出的两球恰有iB个白球 .i0,1i由全概公式001122()(|)(|)(|)PABPAPAB.1223235554
14、6C7一个盒子中装有 15 个乒乓球，其中 9 个新球，在第一次比赛时任意抽取 3 只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取 3 只球，求第二次取出的 3 个球均为新球的概率。解 设 第二次取出的均为新球 ，A第一次取出的 3 个球恰有 个新球iBi0,12.i由全概公式10 / 1800112233()(|)(|)(|)(|)PABPABPBA323233696896796155515CC.88电报发射台发出和的比例为 5:3，由于干扰，传送（）时失真的概率为 2/5，传送 时失真的概率为 1/3，求接受台收到 时发出信号恰是的概率。解 设 收到 ， 发出 ，AB由贝叶斯公式.53(
15、)| 8(|) 1|(|)4PAPB9在第 6 题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率.解 事件如第 6 题所设，所求概率为 123511 /()|)1(| 6CPBA10已知一批产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是 0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。解 设 任取一产品，经检查是合格品 ，A任取一产品确是合格品 ，B则()(|)(|)PBPA，0.968.045.928所求概率为.()|.60(|A11假设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱
