1、1 / 20第三章习题解答3.1 真空中半径为 a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷 q和 ，试计算球赤道平面上电通密度的通量 (如题 3.1 图所示) 。解 由点电荷 q和 共同产生的电通密度为 34qRD223223()()rzrzaaee则球赤道平面上电通密度的通量 0ddzSSA23230()d4()aqarrr2100.9()aq3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 ar的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为 Ze的电子云，在球心有一正电荷 Ze（ 是原子序数， e是质子电荷量） ，通过实验得到球体内的电通量密度表达式为0234rarD，试证明之。解 位于球心的
2、正电荷 Ze球体内产生的电通量密度为 124rZe原子内电子云的电荷体密度为 33aa电子云在原子内产生的电通量密度则为 322344rraZeDe故原子内总的电通量密度为 122314raZerD3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30Cm, 两圆柱面半径分别为a和 b，轴线相距为 c)(ab，如题 3.3 图 ()a所示。求空间各部分的电场。解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为 0的两种电荷分布，这样在半径为 b的整个圆柱体内具有体密度为 0的均匀电荷分布，而在半径为 的整个圆柱体内则具有体密度为
3、0的均匀电荷分布，如题 3.3 图 ()b所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在 br区域中，由高斯定律 0dSqEA，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为 2210rbre22010rarEeqa赤道平面题 3.1 图题 3. 3 图 ()abc02 / 20点 P处总的电场为 210()barE在 br且 a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P产生的电场分别为 220re22200rarEe点 P处总的电场为 02()E在 ar的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点 P产生的电场分别为03rre2030rrEe点 P处总的电场为 03 0
4、()2Ec3.4 半径为 a的球中充满密度 )r的体电荷，已知电位移分布为3254()rAraD其中 A为常数，试求电荷密度 ()r。解：由 A，有 21d()rrDr故在 ra区域 230 01d()54r在 区域 5422()aAr3.5 一个半径为 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为 Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量 Q。已知球内部的电场为4()raEe，设球内介质为真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 2001d()rEA4320041d()6rra（2）球体内的总电量 Q为 3
5、406a球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷 ，而且在球壳外表面上还要感应电荷 Q，所以球壳外表面上的总电荷为 2 ，故球壳外表面上的电荷面密度为 题 3. 3 图 abc0abc0abc03 / 20024Qa3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为 ra和 b()a，圆柱表面分别带有密度为 1和 2的面电荷。 （1）计算各处的电位移 0D；（2）欲使 r区域内 0D，则和 应具有什么关系？解 （1）由高斯定理0dSqDA，当 ra时，有 01当 arb时，有 021r ，则 02rae当 时，有 32b ，则 1203rbD（2）令 1203rabDe，则得到 1ba3.7 计算在电场强度 x
6、yEe的电场中把带电量为 2C的点电荷从点1(,)P移到点 2(8,)P时电场所做的功：（1）沿曲线 xy；（2）沿连接该两点的直线。解 （1）ddxyCCCWqFllA221()yx2 616d4280()qyqJ（2）连接点 1(,P到点 28,)直线方程为xy即 640xy故 W21dd()()dCqxyqy2 61(4)d1280()qyJ3.8 长度为 L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 0l。 （1）计算线电荷平分面上任意点的电位 ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E，并用E核对。解 （1）建立如题 3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上
7、任意点 P的电位为 202d(,0)4Llzrr20ln()L2L2LPzro0l题 3.8 图 4 / 20220()ln4rL220()lr（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元 zld0在点 P的电场为02dcoslrrEe 0232d()lrze故长为 L的线电荷在点 P的电场为202320()lrrzEe 2020()Llrzre024)lrL由 求 ，有 220()ln2lLrE0222 12()()lr rrLL e 0224()lrLe3.9 已知无限长均匀线电荷 l的电场 0lrE，试用定义式dPrElA求其电位函数。其中 Pr为电位参考点。解 000()ddlnln22P
8、Pr rl Pr rElA由于是无限长的线电荷，不能将 选为无穷远点。3.10 一点电荷 q位于 (,)a，另一点电荷 q位于 (,)a，求空间的零电位面。解 两个点电荷 和 2在空间产生的电位 222201(,) 4()()xyzxayzxayz令 (,)0z，则有 22220即 ()()xyzxyz故得 2225433aa由此可见，零电位面是一个以点(,0)为球心、 为半径的球面。5 / 203.11 证明习题 3.2 的电位表达式为 2013()()4aZerr解 位于球心的正电荷 Ze在原子外产生的电通量密度为 124rZeD电子云在原子外产生的电通量密度则为 3224arrDe所以原
9、子外的电场为零。故原子内电位为 230011()d()d4aarreD201()aZrr3.12 电场中有一半径为 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 2)()cosraArr（1）求圆柱内、外的电场强度；（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。解 （1）由 E，可得到 时， 0Era时， 2 2()cos()cosraaAArree22(1)cs1inr（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为 000cosrraanEeA3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20（1） si()hzkxly其中 22kl；（2） cosi()
10、nr圆柱坐标；（3）圆柱坐标；（4） s 球坐标；（5）2r球坐标。解 （1）在直角坐标系中 22xyz而 2 2sin()sin()hz hzkxlyeklex2 z zlxyy2sin()sin()hz hzkxlyeklez故 222i()0hzxly（2）在圆柱坐标系中 221r6 / 20而 11()cos()in()nrrA2cos)innrA22s()i()nrr2coin0Az故 20（3） 211()cos()cos()nnrrr22()n2cos0rz故 2（4）在球坐标系中 2222 2111()(sin)isinr r而 2(cosr2 211(sin)i(co)i s
11、inrrr2(ss222 co)0sinsirrr故 0（5） 22211()(s)csrrrr2 2sinin(o)i i241(scssrrr2221co)0sininr故 203.14 已知 0y的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解?（1） coshex；（2） y；（3） 2in7 / 20（4） zyxsini。解 （1）222(coh)(cosh)(cosh)yyexexexz2cosh0yex所以函数 ys不是 0空间中的电位的解；（2） 222()(s)(s)yyyxzssyy所以函数 eycos是 空间中可能的电位的解；（3） 222(sin)(cosin)(
12、coin)y y yxexexz224cosi 0ye所以函数 eyico2不是 0空间中的电位的解；（4） 22(sn)(insi)(sini)xzxyzxyzy3is所以函数 yii不是 0空间中的电位的解。3.15 中心位于原点，边长为 L的电介质立方体的极化强度矢量为0()xyzPe。 （1 ）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。解 （1） 03PA220()xLxLxPneAP x同理 0()()()()222PPLyyzz（2） 3200d6PS LqA3.16 一半径为 0R的介质球，介电常数为 r，其内均匀分布自由电荷 ，证明中心点的电位为 2021
13、()3rR解 由dSqDA，可得到0rR时， 3214r即 ， 1003rrDE0r时， 3204Rr8 / 20即 302RDr， 30122RDEr故中心点的电位为 0 00 0312 2()dd3RrRErr2 20 01()633rr R3.17 一个半径为 的介质球，介电常数为 ，球内的极化强度 rKPe，其中K为一常数。 （1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 221d()prA在 rR的球面上，束缚电荷面密度为 rrRRnPe（2）由于 0DEP，所以 00DEDPAAA即 (1)A
14、由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 2000()pKrA总的自由电荷量 014ddRRq （3）介质球内、外的电场强度分别为 100()rKPEe()r2224rrqRR介质球内、外的电位分别为 112ddRrrElA200()()rRKKrlnr()rR2 20dd()rrEr0()R3.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度 P的表达式。解 （1）由 0D，得束缚电荷体密度为 0PDEAA在介质内没有自由电荷密度时， 0A，则有 0E由于 E，有 ()EA9 / 20所以 EA由此可见，当电介质不均匀时， 可能不为零，故在不均匀电介
15、质中可能存在束缚电荷体密度。（2）束缚电荷密度 P的表达式为 00PEA3.19 两种电介质的相对介电常数分别为 1r=2 和 2r=3，其分界面为 z=0 平面。如果已知介质 1 中的电场的 123(5)xyzEee那么对于介质 2 中的 和 D，我们可得到什么结果？能否求出介质 2 中任意点的 2E和2D？解 设在介质 2 中 222(,0)(,0)(,0)(,0)xyzyExxyeee23rE在 0z处，由 12ze和 12zDA，可得02(,)(,)50xyxyz xee于是得到 2(,)xE3yx2,1z故得到介质 2 中的 和 2D在 0z处的表达式分别为 20(,)()(69xy
16、zyxeeD不能求出介质 2 中任意点的 2E和 。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。3.20 电场中一半径为 a、介电常数为 的介质球，已知球内、外的电位函数分别为 3010 2coscosrara203Er验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。解 在球表面上0010 3(,)coscoscos22aaEa203,E1000()3coscoscos22ra 203r10 / 20故有 12(,)(,)a， 120rara可见 和 2满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为 202()prarnPeEAA020 03()()cosraE3.21 平
17、行板电容器的长、宽分别为 和 b，极板间距离为 d。电容器的一半厚度(0d)用介电常数为 的电介质填充，如题 3.21 图所示。(1)(1) 板上外加电压 0U，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；(2)(2) 若已知板上的自由电荷总量为 Q，求此时极板间电压和束缚电荷；(3)(3) 求电容器的电容量。解 （1） 设介质中的电场为 zEe，空气中的电场为 0Eze。由 D0，有E又由于 002Ud由以上两式解得02()E，002()Ud故下极板的自由电荷面密度为 0上上极板的自由电荷面密度为 02()Ed上电介质中的极化强度 00()zUPe故下表面上的束缚电荷面密度为 02()pzdPA上上表面上的束缚电荷面密度为 ()ze上（2）由 02UQabd得到 0()故 pab上0()Q上题 3.21 图0U2dz题 3.22 图 0E0E102
