1、1第二章 随机变量及其分布I 教学基本要求1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；4、会求简单随机变量函数的分布.II 习题解答A 组1、检查两个产品，用 表示合格品， 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点TF为、 、 、1(,)F2(,)3(,)T4(,)以 表示两个产品中的合格品数.X(1) 写出 与样本点之间的对应关系；(2) 若此产品的合格品率为 ，求 ？p(1)X解：(1)
2、、 、 、 ；1021342(2) .()()()pXC2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？(1) ；021()0xFx(2) .2()1x()x解：(1) 显然 是单调不减函数； ，且 、 ；)F0()1Fx()0()1F，故 是某个随机变量的分布函数.(0)(Fx(2) 由于 ，故 不是某个随机变量的分布函数 .)01()x3、设 的分布函数为X()xAeFx2求常数 及 ？A(13)pX解：由 和 得Flim(1)xxAe；(13)()()(31)ppF.13ee4、设随机变量 的分布函数为X200()11xFxA求常数 及 ？(0.5.8)pX解：由 得)(F；1A(0.5.8)
3、(0.8)(.5)(0.8).5ppXF.2.395、设随机变量 的分布列为X()apkN(1,2)kN求常数 ？解：由 得1i1Nka.6、一批产品共有 100 个，其中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中次品数的分布列？解：设 表示 5 个产品中的次品数，则 是离散型随机变量，其所有可能取值为XX0、1、5，且、 、 、0195()Cp14095()Cp231095()Cp、 、321095()X41095()X0195()X3于是 的分布列为X.5109()kCp(0,15)k7、设 10 件产品中有 2 件次品，进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，以 表示X抽样次数，求(1)
4、 的分布列；X(2) 的分布函数？解：(1) 由题意知 是离散型随机变量，其所有可能取值为 1、2、3，且、 、84(1)05p28()10945pX81()0945pX于是 的分布列为1 2 3145(2) 由(1)可知 的分布函数为X.01425()31xFxx8、设随机变量 的分布函数为X01.2()32.531xFxx求 的分布列？X解： 的分布列为 X-1 1 2 3p0.2 0.1 0.2 0.59、某大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每一设备被使用的概率为 0.1，求在同一时刻(1) 恰有 2 个设备被使用的概率；(2) 至少有 3 个设备被使用的概率；(3)
5、至多有 3 个设备被使用的概率？解：设 表示被同时使用的供水设备数，则X(5,0.1)Xb(1) 恰有 2 个设备被使用的概率为；235()(0.1)9.072pC4(2) 至少有 3 个设备被使用的概率为()()(4)(5)pXpX；324 0550.190.19.19.856CC(3) 至多有 3 个设备被使用的概率为()()()pp.450510.9.19.5410、经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为 20%，如今餐厅有 50 个座位，但预定给了 52 位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？解：设 表示预定的 52 位顾客中不来就餐的顾客数，则 ，由于“顾X (52
6、,0.)Xb客来到餐厅没有座位”等价于“52 位顾客中至多有 1 位不来就餐” ，于是所求概率为05215152(1)(0)(1)(.)8(.)8ppXCC.0.27911、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为 0.3 的泊松分布，求(1) 在一周内恰好发生 2 次交通事故的概率；(2) 在一周内至少发生 1 次交通事故的概率？解：设 表示该城市一周内发生交通事故的次数，则X(0.3)XP(1) 在一周内恰好发生 2 次交通事故的概率；0.3(2)!pe(2) 在一周内至少发生 1 次交通事故的概率.0.3(1)()259!XPe12、设 服从泊松分布，已知 ，求 ？(1)()pX(4
7、)pX解：由 得(1)(2)p2e.42()09!pXe13、一批产品的不合格品率为 0.02，现从中任取 40 件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：5(1) 用二项分布作精确计算；(2) 用泊松分布作的似计算？解：设 表示抽取的 40 件产品中的不合格品数，则X(40,.2)Xb(1) 拒收的概率为(2)1(0)(1)ppX；04394.98.20.8.105CC(2) 由于 ，于是拒收的概率为(2)1(0)(1)pXp.0.8.892e14、设随机变量 的密度函数为21()0xf其 它求 的分布函数？X解：由 得()()xFftd当 时0x(
8、)()0xftt当 时10200()()|xxxFftdtdt当 时0121001()() |x xftttt于是所求分布函数为.2()1Fxx15、设随机变量 的密度函数为X2()12)0xfx其 它求 的分布函数？X解：由 得()()xFftd当 时1x6()()0xxFftdt当 时121 121()()()()|2()xx xfttdtt当 时1 2121()()0()0()|x xFftdtttt 于是所求分布函数为.1()2)2xx16、设随机变量 的密度函数为Xcos()20Axxf其 它求(1) 常数 ；(2) 的分布函数；(3) ？X(0)4pX解：(1) 由 得()1fxd
9、22 220cossin|1dtAtAx ；1(2) 当 时x()()0xFftdt当 时2x2 2211()()cosin|sixxftttdt 当 时x22 22()()0cs0si|1xFftdtttt 于是所求分布函数为7；021()sin22xFxx(3) (0)()(0)(0)44pXpXF.11sinsi022417、设随机变量 的分布函数为()ln1xFxe求(1) 、 、 ；(2) 的密度函数？(03)pX(2)p(2.5)X解：(1) 30(30)1pF(2)()()(ln；5.52.5.2)l.ln24pXpX(2) 由于在 的可导点处，有 ，于是 的密度函数为()Fx(
10、)fxFX.1()0ef其 它18、设 ，求方程 有实根的概率？(,6)KU210xK解：由 得 的密度函数为16()50kfk其 它又由于方程 有实根等价于 ，即 ，于是方程有实根的210xK240K|2概率为 22(|)()()()()ppfkdfk8.62145dk19、调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间 (单位：分X钟)服从参数为 的指数分布，求下述事件的概率0.(1) 至多 3 分钟；X(2) 至少 4 分钟；(3) 在 3 分钟至 4 分钟之间；(4) 恰为 3 分钟？解：(1) 至多 3 分钟的概率为；0.431.2()(1pXFe(2) 至少 4 分钟的
11、概率为；0.41.6()()()pFe(3) 在 3 分钟至 4 分钟之间的概率为()()(3)(3)pXX；0.40.431.2.61eee(4) 恰为 3 分钟的概率为.()pX20、设 ，求下列事件的概率 ； ；(0,1N(2.35)pX(1.24)p？(|.54)解： ；2.3(.5)0.96pX；(1)41(2)0.895.17|.5(.4()X.(4)(5).326421、设 ，(1) 求 、 、 ；(2) 确定 ，(3,XN2p(|)pX(3)pc使得 ；(3) 若 满足 ，则 至多为多少？()pcd0.9d解：(1) 35325()22(1)0.)10.).841.61.532
12、8|(|()XpXpp91(0.5)(2.)1(0.5)(2.)69386973()()()XpXpp；10.5(2) 由 得()()cpX330.5()()()22Xccp；32c(3) 由 得()0.9pd330.91()1()1()22XddXpdp33().0.2.09.84362d22、从甲地飞住乙地的航班，每天上午 10:10 起飞，飞行时间 服从均值为 ，标X4h准差为 的正态分布.min(1) 该航班在下午 2:30 以后到达乙地的概率；(2) 该航班在下午 2:20 以前到达乙地的概率；(3) 该航班在下午 1:50 至 2:30 之间到达乙地的概率？解：(1) 该航班在下午
13、 2:30 以后到达乙地的概率为406240(60)()1(1)XXppp；1.813.57(2) 该航班在下午 2:20 以前到达乙地的概率为；402(50)()(0.5)691pXp(3) 该航班在下午 1:50 至 2:30 之间到达乙地的概率为 42(26)( )X.)(0.8136823、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制) 近似地服从 ，已知2(7,)N96 分以上的人数占总数的 2.3%，试求考生的成绩在 60 分至 84 分之间的概率？10解：设考生的外语成绩为 ，则X2(7,)N由 96 分以上的人数占总数的 2.3%得0.23(96)p7296247()()p41
14、2于是，考生的成绩在 60 分至 84 分之间的概率为6072847(608)( )1XpXp.12.30624、设随机变量 的分布列为 X0 2p0.25 0.5 0.25求 的分布列？cosY解：由 的分布列可得 Ycos0s()2cos()p0.25 0.5 0.25于是 的分布列为Y1 0 -10.25 0.5 0.2525、设随机变量 的分布列为X-2 -1 0 1 2p0.1 0.2 0.3 0.2 0.2求 的分布列？2Y解：由 的分布列可得 2()2(1)20212p0.1 0.2 0.3 0.2 0.2将相同值合并得 的分布列为Y4 1 00.3 0.4 0.326、设随机变量 的密度函数为X231()0Xxf其 它求随机变量 的密度函数？Y
