1、用树状图或表格求概率相关知识点链接：1、频数与频率频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。2、概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概率为 1；不可能事件发生的概率为 0；不确定事件发生的概率在 0 与 1 之间。【知识点 1】频率与概率的含义在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即 总 次 数频 数频 率 把刻画事件 A 发生的可能性大小的数值，称为事件 A 发生的概率。【例 1】不透明的袋中有 3
2、个大小相同的球，其中 2 个位白色，1 个位红色，每次从袋中摸出一个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中，得到下表中的部分数据：摸球次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400出现红球的频数 14 23 38 52 67 86 97 111 120 136出现红球的频率 35 32 34 35 35（1）请将表中的数据补充完整。（2）观察表中出现红球的频率，随着试验次数的增多，出现红球的概率_.【知识点 2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。我们可以通过多次试验，用一个事件发
3、生的频率来估计这一事件发生的频率。例 2 三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是 A，A，K，每次抽一张为试验一次，经过多次试验后，结果汇总表如下： 试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1000 摸出 A 的频数7 13 28 172 198 276 660 摸出 A 的频率75 62 （1）将上述表格补充完整；（2）观察表格，估计摸到 A 的概率；（3）求摸到 A 的概率；【知识点 3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）【例 4】有列表法求以下随机事件发生的概率掷一枚均匀的骰子，每次试验掷两次，求两次骰子夫人点数和为 7 的概率。例 5 明华外出游玩时带了
4、 2 件上衣（白色、米色）和 3 条裤子（蓝色、黑色、棕色） ，他任意拿出一件上衣和一条裤子恰好是白色和黑色的概率是多少？题型一：求事件的概率例 1 某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容。规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用 表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签321B、分别用代码 表示）中抽取一个进行考试，小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试321J、题和上机题中随机的各抽取一个题签（1）用画树状图或列表法表示出所有可能的结果。（2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标均为奇数的概率。题型二 频率域概率关系的应用例 2 有两组相同的纸牌，每组两张，牌面
5、数字分别是 1 和 2 。从每组中各抽取一张记为一次试验，小明和小红做了 200 次试验后将两张牌的牌面数字之和的情况做了统计。制作了相应的频数分布直方图，如图所示，请估计两牌面数字之和为 4 的概率是 ，和为 3 的概率是 。题型三 设计方案题例 3 请设计一个摸球游戏，使摸到红球的概率为 ，摸到白球的概率为 。2131综合提升：1、在一个不透明的中装有 5 个完全相同的小球把它们分别标号为 1,2,3,4,5，从中随机摸出一个小球，其标号大于 2 的概率是 。2、小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是 。3、一转
6、盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1,1,2 中的一个数指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好停在等分线上，当做指向右边的扇形）（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”用列表法（或画树状图）求两人不谋而合的概率4、在一个不透明的盒子中放油三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为（卡片除了实数不同外，其余均相同）62,3（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的数字是 3 的概率；（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减
7、数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或画树状图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率。用频率估计概率【知识点 1】生日相同的概率50 个人中有 2 个人生日相同是不确定事件，可能有、也可能没有，只能通过试验频率估计概率。但因调查的次数而异。【知识点 2】用抽取法估计总体数目（重点）此类问题有两种解决方法：（1）从袋中随意摸出一个球，记下颜色然后将其放入袋中，重复做这一过程，进行一定的次数，记录某一颜色球出现的次数，利用频率来估算这一颜色球的数目。依据是：试验频率 概率（2）利用抽样调查，从袋中一次摸出 10 个球，求出其中某一颜色球的个数与 10
8、的比值，再把球放回袋中，不断重复此过程，摸一定的次数，求出这一颜色的球的个数与 10 的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估算这一颜色球的数目。 依据是：平均概率 概率例 1 一个不透明的口袋中装有 6 个红色的小正方体和若干个黄色的小正方体，小正方体除颜色外其他都相同，从口袋中随机摸出一个小正方体，记下颜色后再把它放回口袋中，不断重复此过程，共摸了 300 次，其中有 100 次摸到红色小正方体，则口袋中大约有 个黄色小正方体。【知识点 3】利用替代物模拟试验估算概率在估算事件发生的概率时，有些调查即费力又费时，但要想使这种估算尽可能准确，就需要尽可能多的增加调查对象，在这种情况下，我
9、们可以采用模拟试验的方法来估计事件发生的概率。通过模拟试验，在室内就可以完成收集数据、进行试验、统计结果等过程。【例 2】设计一个方案，估计 8 个人中只有 2 个人生肖相同的概率。【知识点 4】模拟试验的应用（1）概率是对随机现象的一种数学描述，他可以帮助我们更好地认识随机现象，并对生活中的一些不确定情况做出自己的决策。（2）从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的规律。也就是当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此，去哦们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率
10、。（3）通过模拟试验能估计事件所有可能结果总数 n 和其中事件 A 发生的可能的结果数 m（4）估计概率时，要看频率随试验次数的增加是否趋于稳定，不能随便取其中一个频率去估计。题型一 估计生日相同的概率例 1 利用课余时间，让每位同学调查 10 人的生日，然后从全班同学的调查结果中随机选取40 个被调查人，看看他们中有没有 2 个人的生日相同，最后将全班同学的调查数据集中起来，设计出一个方案，估计 40 个人中有 2 人生日相同的概率。题型二 用频率估计袋中球的数目例 2 一个不透明的口袋中有 10 个白球和若干个黑球，它们除颜色外完全相同，如果不允许将球倒出来数，如何估计其中的黑球数呢？两位
11、同学是如下操作的：小芳：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复此过程，共摸了100 次，其中有 81 次摸到黑球。小明：利用抽样调查方法，从口袋中一次摸出 10 个球，求出其中白球数与 10 的比值，再把球放回口袋中，不断重复上述过程，他共摸了 10 次白球数与 10 的比值如下：次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10每次摸球白球数与 10 的比值 0.2 0.3 0.2 0.1 0.4 0.1 0.3 0.2 0.1 0.2问：（1）小芳估计袋中黑球有多少个？（2）小明估计袋中黑球有多少个？（3）两位同学操作时每次摸球后，都要放回，如果不放回行吗？为什么？题型三
12、 设计模拟试验解决问题例 3 把图中四张纸片放在一个盒子里搅均匀，任取两张，看能拼成菱形还是房子（如果是两张三角形，则能拼成菱形；如果是一张三角形和一张正方形，则能拼成房子）想想看哪些方法可以用来模拟试验？通过模拟试验分别估计拼成菱形和拼成房子的概率。题型四 模拟试验的拓展创新题例 4 某抽签活动设置了下表所示的翻奖牌，每次抽奖翻开一个数字，考虑”中奖“的可能性有多大？正面 反面（1）如果用试验进行估计但又觉得制作翻奖牌太麻烦，能否用简单的模拟试验来代替？（2）估计”未中奖“的可能性有多大， ”中奖“的可能性有多大，你能探索出他们的关系吗？1 2 34 5 67 8 9轿车一辆 万事如意 奖金
13、 100 元心想事成 奖金 100 元 洗衣粉一袋奖金 10 元 生活愉快 奖金 2 万元综合提升1、再用摸球试验来模拟 6 人中有 2 人生肖相同的概率的过程中没有如下不同的观点，其中正确的是（ ）A、摸出的球不能放回 B、摸出的求一定放回C、可放回，可不放回 D、不能用摸球试验来模拟此试验2、一个布袋中有 15 个黑球和若干个白球，从布袋中一次摸出 10 个球，求出其中黑球数与10 的比值，再把球放回布袋中摇匀，不断重复此过程，得到黑球数与 10 的比值的平均数为，因此可估计布袋中大约有 个白球。513、两同学都写出 0-9 中的一个数字，用试验的方法估计两人所写的数字相同的概率为 。例
14、1 下面是对某校 10 名女生进行身高测量的数据表（单位：cm） ，但其中的一个数据不慎丢失（用 x 表示）身高 156 162 x 165 157 168 165 163 170 159从这 10 名女生中任意抽取一名，身高不低于 162cm 的事件的可能性，可以用图中的点 表示（从 A,B,C,D,E 五个字母中选择一个符合题意的）例 2 如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是 。1、方程思想在概率中方程思想主要应用于求总体或各部分的数目例 3 一只口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色外没有其它任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出
15、一个球是黄球的概率是 52（1）取出一个球是绿球的概率是多少？（2）如果袋中的黄球有 18 个，那么袋中的绿球有多少个？例 4 一个布袋中有 8 个红球和 16 个白球，它们除颜色外都相同（1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率。（2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从布袋中摸出一个球是红球的概率是 ，问取走了多少个白球？（要求通过列式或方程解答）53、列举法列举法在丘事件发生的概率中的应用主要体现在将所有可能的情况运用画树状图或列表一一列举出来例 5 图中是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃和方块，将它们分别重新洗牌后背面朝上，从两组排钟各摸出一张，那么摸出
16、的两张牌的牌面数字之和等于 5 的概率是多少？考点 1 概率的计算考点突破：求简单事件发生的概率主要是用列举法把所有可能的情况列举出来，利用概率公式求解。例 1 在一个口袋中有 4 个完全相同的小球把它们分别标号为 1,2,3,4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于 4 的概率是 。例 2 现有完全相同的四张卡片，上面分别标有数字-1，-2,3,4 把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是 例 3 我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中”立定跳远“”100 米跑“”肺活量测试“为必测项目，另一项为”引体向上
17、“和“推铅球”中选择一项测试。小亮、小明和大刚从中选择同一个测试项目的概率是 。考点 2 概率的应用考点突破：概率的应用主要是利用概率的计算公式求有关未知量的值，解决这类问题的关键是根据其计算公式列方程求解。例 4 在一个不透明口袋中装有仅颜色不同的红、白两种小球，其中红球 3 只，白球 n 只，若从口袋中任取一个球，摸出白球的概率是 ，则 n= 。43考点 3 概率与其它数学知识的综合考点突破：概率常与其它数学知识综合考察，其中与函数结合是最为常见的题目，综合性较强，属于中考题目中的中等题。例 5 四张小卡片上分别写有数字 1,2,3,4 它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀。（
18、1）随机的从盒子里抽取一张，求抽到数字为 3 的概率；（2）随机的从盒子里抽取一张，将数字记为 x，不放回，再抽取第二张将数字标为 y，请你用画树状图或列表的方法表示所有有可能的结果，并求出点（x,y）在函数 图像上的概x2率综合训练1、下列说法正确的是（ ）A、在同一年出生的 367 名学生中，至少有两人的身日是同一天B、彩票中奖的机会是 1，买 100 张一定会中奖C、 天气预报说明天下雨的概率是 50，所以明天将有一半的时间在下雨D、抛一枚图钉钉尖着地和钉帽着地的概率一样大。2、柜子里有 2 双鞋，随机的取出两只刚好配成一双鞋的概率是 。3、某城市有 10000 辆自行车，其编号为 00001 到 10000，则某人偶然遇到一辆自行车，其牌照号大于 9000 的概率是 。4、一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的 3 个红球和两个绿球，随机从中摸出一球，不在放回袋中， ，充分搅匀后再随机摸出一球，两次都摸出红球的概率是 。5、投掷两枚普通的正方体骰子，求：（1）点数之和为”11“的概率（2）点数之和为”3 的倍数”的概率6、一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小明向其中放入 8 个白球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球 400 次，其中 80 次摸到黑球，试估计盒中白球的个数。
