1、1习题 1.21 =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1 的特解。dxy解： =2xdx 两边积分有：ln|y|=x +c2y=e +e =cex 另外 y=0也是原方程的解，c=0 时，y=02xc2原方程的通解为 y= cex ,x=0 y=1时 c=12特解为 y= e .2x2. y dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解。2解：y dx=-(x+1)dy dy=- dx2yd1x两边积分: - =-ln|x+1|+ln|c| y=1|)1(|lnxc另外 y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e特解：y= |)1(|lnxc3 =dxy
2、32解：原方程为： =dxy213xdy= dx y213两边积分：x(1+x )(1+y )=cx224. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： dy=- dxy1x1两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0 也是原方程的解。5 （y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：=-dxy2令 =u 则 =u+x 代入有：xydxu- du= dx12uln(u +1)x =c-2arctgu即 ln(y +x )=c-2arctg .22xy6. x -y+ =0dyy解：原方程为： = + -dx|2)(1xy则令 =u =u+ xyudu=sgnx dx21
3、u1arcsin =sgnx ln|x|+cxy7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为： =tgydc两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= = 另外 y=0也是原方程的解，而 c=0时，y=0.xos1所以原方程的通解为 sinycosx=c.8 + =0dxye32解：原方程为： = edxy2x32 e -3e =c.x32y9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为： = lndx令 =u ,则 =u+ xyuu+ x =ulnuduln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln =cy.y310. =edxy解：原方程为： =e exyye
4、 =cey11 =(x+y)dx2解：令 x+y=u,则 = -1dxyu-1=uu2du=dx21arctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =dxy2)(解：令 x+y=u,则 = -1dxyu-1=u21u-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13. =dxy12解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y -y)-dx +x=c22xy-y +y-x -x=c14: =dxy5解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0d
5、xy-d( y +2y)-d( x +5x)=0212y +4y+x +10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xydx21解：原方程为： =（x+4y） +3dx令 x+4y=u 则 = -y4u4- =u +341dxu2=4 u +13u= tg(6x+c)-123tg(6x+c)= (x+4y+1).16:证明方程 =f(xy),经变换 xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：yxd1） y(1+x y )dx=xdy22） =x2- 证明： 令 xy=u,则 x +y=dyu则 = - ，有：12=f(u)+1uxdu= dx)1(fx所以原方程可化为变量
6、分离方程。1） 令 xy=u 则 = - (1)dyu2原方程可化为： = 1+（xy） (2)x将 1代入 2式有： - = (1+u )12x2u= +cxu17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x- x )+ y 则与 x轴，y 轴交点分别为：x= x - y= y - x y00则 x=2 x = x - 所以 xy=c0018.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为 0的曲线方程，其中 = 。45解：由题意得：y= dy= dxxy1xln|y|=ln|xc| y=cx.= 则 y=tg x 所以
7、 c=1 y=x.419.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则 y=kx则：y=kx +c 即为所求。2常微分方程习题 2.11. ,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.xyd2解：对原式进行变量分离得 。故 它 的 特 解 为 代 入 得把即两 边 同 时 积 分 得 ：eexxyc yxcyyy2 2,1 1,0,ln, 2 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.,0)(.2dyx解：对原式进行变量分离得： 。 故 特 解 是时 ， 代 入 式 子 得。 当时 显 然 也 是 原 方 程 的 解当 即时 ， 两 边
8、 同 时 积 分 得 ；当xy cyx xyxx 1ln ,11,00 ln,ln,123 yxdy32解：原式可化为： xy xyc ccdxyxydx 22 223232)1( )1(),0(lnllnl11,0 ）故 原 方 程 的 解 为 （ 即两 边 积 分 得 故 分 离 变 量 得显 然710ln1l, 0l)ln(:931:8.coslnsil07lnsgarcisn1sg1,)1(,6ln)1l(21,0)()(:532 22222cdxydxyycudxyuxydxcyydxxtgdyctgxdtycxxyudxuxdudxuyydxcxarctgududxuxdyuxyy
9、xeeexxx两 边 积 分解 ： 变 量 分 离： 。代 回 原 变 量 得 ：则 有 ：令解 ： 方 程 可 变 为 ：解 ： 变 量 分 离 ， 得两 边 积 分 得 ：解 ： 变 量 分 离 ， 得 ： 也 是 方 程 的 解 。另 外 ，代 回 原 来 变 量 ， 得两 边 积 分 得 ： 分 离 变 量 得 ： 则 原 方 程 化 为 ：解 ： 令： 。两 边 积 分 得 ： 变 量 分 离 ， 得 ：则令解 ：8.0;ln,ln, 010)1()(4 xycxycx dyxydy故 原 方 程 的 解 为 即两 边 积 分 时 ， 变 量 分 离是 方 程 的 解 ， 当或解 ：
10、 由： cxyarctgcxartgdxtdtydxycdxydxyexy )(,11,.1222)(代 回 变 量 得 ： 两 边 积 分变 量 分 离 得 ：原 方 程 可 变 为 ： 则解 ： 令两 边 积 分 得 ：解 ： 变 量 分 离 ，12 2)(1yxd解 cxyarctgyx cxartgdtdtt )(1 12 2， 代 回 变 量， 两 边 积 分变 量 分 离 ， 原 方 程 可 变 为， 则令变 量 分 离 ， 则 方 程 可 化 为 ：令 则 有令 的 解 为解 ： 方 程 组 UdXUXYYyx yxyxd 21,31, 31,;012,02.13 9.7)5(7
11、217)(,1,52,14)(22 cxyxct dxttdxdxtyyxd 代 回 变 量两 边 积 分 变 量 分 离原 方 程 化 为 ： 则解 ： 令15 18)4()1(22xyxdy原 方 程 的 解 。 ， 是， 两 边 积 分 得分 离 变 量 ， 所 以求 导 得， 则 关 于令解 ： 方 程 化 为 cxyarctgdxu udxudyyx yxx 6)382(941 491412)(622 2216 256yxdy解： ， 则 原 方 程 化 为， ， 令 uyxyd3233232 )()，这是齐次方程，令1262xuxudcxyx cxyy xzdzzz yz zxzx
12、zdzx15373 33 53722 3322)()( 02,)2(1063 )1.(66 的 解 为 时 。 故 原 方 程包 含 在 通 解 中 当或， 又 因 为即 （ ， 两 边 积 分 的 （时 ， 变 量 分 离当 是 方 程 的 解 。或） 方 程 的 解 。 即是 （或， 得当 ， ， 所 以， 则1017. yxdy32解：原方程化为 123;)12(2yxdyx令 ).(;,22 uvvuy则方程组 ， ，） ； 令，的 解 为 （ 111013 uYZ则有 zydyz 231023） 化 为， ， ， ， 从 而 方 程 （令 )2.(32， ， ， 所 以， ， 则 有
13、 tdttztdztzt 当 当是 原 方 程 的 解或的 解 。 得， 是 方 程时 ， ， 即 222 )2(10 xyxytt cdzt 5)(13 两 边 积 分 的时 ， ， 分 离 变 量 得另外xyxyxy 52222 )( 原 方 程 的 解 为， 包 含 在 其 通 解 中 ， 故， 或11， 这 也 就 是 方 程 的 解 。， 两 边 积 分 得分 离 变 量 得 ， 则 原 方 程 化 为令解）（并 由 此 求 解 下 列 方 程可 化 为 变 量 分 离 方 程 ，经 变 换证 明 方 程cyxdxuuuyxdyduxyfyx 4ln142 21)2(1xy() 0.x,c2。0y,c2。, dx1u),(ux1du,xy y0sy0。:(1) u)(fx1)(fu1)(fduf(),uy yd。,dy2).()1)(8.42 33 2219. 已知 f(x) .x xfxtf0 )(,01)( 的 一 般 表 达 式试 求 函 数解：设 f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得xydtf01)( 12ycxyycxydxy 21;2;33 所 以两 边 积 分 得代 入把 cx21xtf01)( xycxcxdtx 21,02)2(;0 所 以得
