1、1常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一： （ 可以求和） 累加法1()naffn 解 决 方 法例 1、在数列 中，已知 =1，当 时，有 ，求数列的通项公式。1212nan解析： 12()n上述 个等式相加可得：234152naa 1n 2na评注：一般情况下，累加法里只有 n-1 个等式相加。【类型一专项练习题】1、已知 ， （ ） ，求 。 1a1n2n2、已知数列 ， =2， = +3 +
2、2，求 。 naa3、已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 121， n4、已知 中， ，求 。 nna,35、已知 , ,求数列 通项公式. 12a12n*()Nna6、 已知数列 满足 求通项公式 ？n1,a132,nn7、若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式 1*11,()nn8、 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 3a2a1n1， an9、已知数列 满足 ， ，求 。 nn2110、数列 中， ， （ 是常数， ） ，且 成公比不为 的等比数n1nc2， ， ， 123a， ， 1列（I）求 的值； （II）求 的通项公式 c na211、设平面内有 n 条直线
3、 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用 表(3) ()fn示这 条直线交点的个数，则 ；4f当 时， （用 表示） 4n()fnn答案:1. 2. 3. 4. 5. 12na） (1)2na21na21na132nna6. 7. 8. 9. 10.(1)2 (2) 3n13nnn3n 2n11.(1)5 (2) 2类型二： （ 可以求积） 累积法1()nnaf()f 解 决 方 法例 1、在数列 中，已知 有 ，( )求数列 的通项公式。,1na2na解析： 12321nna14 又 也满足上式； 21n*()nN评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。【类型二专项
4、练习题】1、 已知 ， ( )，求 。 1a1nna2na2、已知数列 满足 ， ，求 。 33、已知 中， ，且 ，求数列 的通项公式. n12nn1n4、已知 ， ，求 。 1aa)(a5、已知 , ,求数列 通项公式. 1(nn*Nn6、已知数列 满足 ，求通项公式 ？ ,2n7、已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 3a5)1(11n， an8、已知数列 an，满足 a1=1， (n2)，则 an的通项 12)(n39、设 an是首项为 1 的正项数列, 且( n + 1)a - na +an+1an = 0 (n = 1, 2, 3, )，求它的通项公式. 21n10、数列 的
5、前 n 项和为 ，且 ， ，求数列 的通项公式. nS1S*)(Nna答案：1. 2. 3. 4. 5. 6. 2na23na4n631nan2n7. 8. 9. 10. 213!5nn1!2nn2n类型三： 待定常数法1(nnaAB其 中 ,为 常 数 A0,1） 解 决 方 法可将其转化为 ，其中 ，则数列 为公比等于 A 的等比数列，然后求)ttBtnat即可。na例 1 在数列 中， ，当 时，有 ，求数列 的通项公式。na12n132nan解析：设 ，则3tt13at，于是 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列。t1nnn12na【类型三专项练习题】1、 在数列 中， ， ，求数列
6、 的通项公式。 n1a123nana2、若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式*,()N3、已知数列 a 中， a =1， a = a + 1 求通项 a n1n2n4、在数列 (不是常数数列)中, 且 ,求数列 的通项公式. n13n5、在数列 an中， 求 . ,3,11n6、已知数列 满足 求数列 的通项公式. *2()naNna7、设二次方程 x - x+1=0(nN)有两根 和 ，且满足 6-2+6=3n21.(1)试用 表示 a ； （2）求证：数列 是等比数列；23n4（3）当 时，求数列 的通项公式 176ana8、在数列 中， 为其前 项和，若 ， ，并且 ，试判断nn
7、S132a11320(2)nnSS是不是等比数列？ 1()naN答案：1. 2. 3. 4. 5. 32n1nna1na1423na132na6. 7.(1) (3) 8.是1na13nn2nn类型四： 110nnAaBCa； 其 中 A,BC为 常 数 ， 且 AB0可将其转化为 -（*）的形式，列出方程组 ,解出112nnABC还原到（*）式，则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，然后再结合其它方法，,;1na21aA就可以求出 。na例 1 在数列 中， ， ，且 求数列 的通项公式。124113nn2na解析：令 (),(2nna得方程组 解得321,;112nnaa则数列 是以
8、为首项，以 2 为公比的等比数列211nn223341nnaa 112()2nna*naN评注：在 中，若10ABC ； 其 中 A,BC为 常 数 ， 且 AB0A+B+C=0,则一定可以构造 为等比数列。1na例 2 已知 、 , ,求12a36n(2)na5解析：令 ，整理得112nnaa11nnaa63,；两边同除以 得， ，1112392nnnaa 12n13924nna令 ， 令 ，得b14nb 13nntbt15nbt ，59,24t0t1920nn故 是以 为首项， 为公比的等比数列。10nb1192a3，93nn102nb即 ，得11022n na1935nnna【类型四专项
9、练习题】1、已知数列 中， , , ，求 。n12nnna12、 已知 a1=1， a2= ， = - ,求数列 的通项公式 .53n1a3na3、已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，nS1 142(,)nS设数列 ，求证：数列 是等比数列；),(1bn nb设数列 ，求证：数列 是等差数列；,2,acn nc求数列 的通项公式及前 项和。n1223();nna31)2ns（4、数列 ： ， ，求数列 的通项公式。na21350(,aNba21,na答案：1. 2. 3.(3) 4nn3nna123();n31)2nns（4. 1232()3nnabab6类型五： （ 且 ）1()nnapf
10、0p1一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。例 1 设在数列 中， ， 求数列 的通项公式。n1 12nanna解析：设 baAb12nnBB展开后比较得04612A这时 1nnba且 b是以 3 为首项，以 为公比的等比数列2即 ，12nnb146na 13462nna例 2 在数列 中， ， 求数列 的通项公式。na121nna解析： 1，两边同除以 得 是以 =1 为首项，2 为公差的等差数列。12nna2n12nan1即1nn例 3 在数列 中， ， 求数列 的na5*122,naNna通项公式。解析：在 中，先取掉 ，得12nnn1na令 ，得 ，即 ；a12()n
11、然后再加上 得 ； nna12nnn两边同除以 ，得 是以 为首项，1 为公差的等差数列。2n1;2nn12na， 1nan评注：若 中含有常数，则先待定常数。然后加上 n 的其它式子，再构造或待定。()f7例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 1a425a3n1n ， an解析：在 中取掉 待定13524令 ，则 ， ； 再加上 得，nnatt1nt2t132,nn5n，整理得： ，121352nna令 ，则nnb1352nb令 ；1,ntt t,5;t即 ； 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列。5n5n1123ab2，即 ；整理得132nb23nna15nnn类型 5 专
12、项练习题：1、设数列 的前 n 项和 ，求数列 的通项公式。 1*42,33nnSNna2、已知数列 中， 点 在直线 上，其中a1,21nayx1,23. （1） 令 求证：数列 是等比数列；nnbb（2） 求数列 的通项 ； 3、已知 ， ，求 。 1a1142nnan4、设数列 ： ，求 .)2(,3,1na5、已知数列 满足 ，求通项na1n6、在数列 中， ，求通项公式 。nann11263， an7、已知数列 中， , ，求 。a651)2(n8、已知数列 a ， a =1, nN ， a = 2a 3 n ,求通项公式 a n11n n9、已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n
13、31n1， n10、若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式 1,23()naaN11、已知数列 满足 ,求 . n 11nn812、 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。ann1n23aa1an13、已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n 651n1n， n14、 已知 ， ，求 。 1a12ana15、 已知 中， ， ，求 . n11(2)nna16、已知数列 中， 是其前 项和，并且 ，S1 14(,2)nSa设数列 ，求证：数列 是等比数列；),2(1abnn b设数列 ，求证：数列 是等差数列；,2cn nc求数列 的通项公式及前 项和。an答案：1. 2.(2) 3.
14、 4. 4n32a42na143na5. 6. 7. 8. 9. 152na 92nn3n5(2)6nn10. 11. 12. 13. 73()n153na 1()2nna 1nna14. 15. 16.(3) 21na2n13;n3)2nns（类型六： （ ） 倒数法1nncapd0p 解 决 方 法例 1 已知 ， ，求 。1412nnna解析：两边取倒数得： ，设 则 ；1na1,nb12n令 ；展开后得， ； ；1()2nnbtt2t1n是以 为首项， 为公比的等比数列。n1174ba；即 ，得 ；724nnb 12nn127na9评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。【类型六
15、专项练习题】：1、若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式。113,2()naA2、已知数列 满足 时， ，求通项公式 。n,1nnaa11na3、已知数列a n满足： ，求数列a n的通项公式。,31an4、设数列 满足 求n,211,n.n5、已知数列 满足 a1=1， ，求n 631nnan6、在数列 中， ，求数列 的通项公式. n112,nn7、若数列 a 中， a =1， a = nN ，求通项 a n11n2n答案：1. 2. 3. 4. 5. 3761312312n6. 7. 21na2na类型七： ()nSf 解 决 方 法 1()2nnsa例 1 已知数列 前 n 项和
16、 .a214nna求 与 的关系； （2）求通项公式 .n na解析： 时， ，得 ；11s1时， ；得 。22344nnnnaa12nna（2）在上式中两边同乘以 得 ；121是以 为首项，2 为公差的等差数列；n数 列 1；得 。na1na【类型七专项练习题】：1、数列 an的前 N 项和为 Sn， a1=1， an+1=2Sn .求数列 an的通项 an。*()N102、已知在正整数数列 中，前 n项和 满足 ，求数列 的通项公式. nanS21()8nana3、已知数列 an的前 n 项和为 Sn = 3n 2, 求数列 an的通项公式. 4、设正整数 an的前 n 项和 Sn = ，求数列 an的通项公式. 2)1(4a5、如果数列 an的前 n 项的和 Sn = , 那么这个数列的通项公式?36、已知无穷数列 的前 项和为 ，并且 ，求 的通项公式？ *1()nSNna答案：1. 2. 3. 4. 5. an = 23 6. 13na421)3(2nna13n2n递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。
