1、本科毕业论文（20届）六年级学生数学符号语言的理解所在学院专业班级小学教育学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要【摘要】新一轮基础教育改革中,符号化思想成为小学数学教育改革的指导性思想之一。本文综合了国内外的研究，通过比较归纳，将学生数学符号理解划分为数学符号理解的广度，字母表示数的理解，数学符号关系的理解。己有研究证实，数学符号语言的掌握水平与学生数学学习成绩之间有一定的联系，但对从学生数学符号语言理解的角度出发的研究还不充分。本研究选择六年级小学生为研究对象，考察学生两种题目类型下数学符号理解情况。研究发现不同学业水平学生对于数学符号语言的理解存在一定的差异，表现在符号理解的广度、对符号
2、关系的理解这两方面。研究结果表明学生所具有的学业水平与他们在符号理解上的不同表现比较一致的。【关键词】数学符号语言；理解；六年级。ABSTRACT【ABSTRACT】THENEWEDUCATIONALREFORM,THESYMBOLICTHINKINGOFAPRIMARYSCHOOLMATHEMATICSEDUCATIONREFORMONEOFTHEGUIDINGIDEOLOGYTHISCOMPREHENSIVESTUDYATHOMEANDABROAD,BYCOMPARINGTHEINDUCTION,THESTUDENTSUNDERSTANDINGOFMATHEMATICALSYMBOLSIS
3、DIVIDEDINTOTHEBREADTHOFUNDERSTANDINGOFMATHEMATICALSYMBOLS,THEUNDERSTANDINGOFTHENUMBEROFLETTERS,MATHEMATICALSYMBOLS,UNDERSTANDINGOFTHERELATIONSHIPSOMESTUDIESHAVECONFIRMEDTHATTHELEVELOFMATHEMATICALSYMBOLSANDSTUDENTSMASTERTHELANGUAGEOFMATHACHIEVEMENTDEFINITELINKBETWEEN,BUTTHELANGUAGEOFMATHEMATICALSYMBO
4、LSFROMTHESTUDENTPOINTOFVIEWOFUNDERSTANDINGISNOTENOUGHTHESIXTHGRADESTUDENTSSELECTEDFORTHESTUDY,STUDENTSSTUDYTWOTYPESOFQUESTIONSTOUNDERSTANDTHESITUATIONUNDERTHEMATHEMATICALSYMBOLSSTUDYFOUNDTHATSTUDENTSOFDIFFERENTACADEMICLEVELSOFUNDERSTANDINGOFSYMBOLICLANGUAGEOFMATHEMATICSTHEREARESOMEDIFFERENCES,ANDINT
5、HESYMBOLICUNDERSTANDINGOFTHEBREADTHOFUNDERSTANDINGOFTHERELATIONSHIPOFTHESETWOSYMBOLSTHERESULTSSHOWTHATSTUDENTSHAVETHEACADEMICLEVELANDTHEIRUNDERSTANDINGOFTHEDIFFERENTSYMBOLSMORECONSISTENTPERFORMANCE【KEYWORDS】THELANGUAGEOFMATHEMATICAL；THEUNDERSTAND；SIXTHGRADEII目录1引言111研究背景112研究意义22研究的理论基础221数学符号语言2211
6、数学符号语言的内涵2212数学符号语言的分类2213数学符号语言的功能222数学符号语言的理解3221数学符号语言理解的界定3222数学符号语言理解的过程323“认识论的三角形”模型33学生的数学符号语言理解431理解的广度4311数据列举4312数据统计与分析5313研究结果732字母意义的理解7321数据列举7322数据统计与分析8323研究结果933符号之间关系的理解9331数据列举10332数据统计与分析10333研究结果114结论与思考1241研究结论12411基本结论12412符号理解差异与数学学习之间的关系1242对数学符号语言教学的反思1343研究的局限性及前景13参考文献14
7、11引言11研究背景数学符号语言是数学语言的重要组成部分，数学符号语言的理解和应用是数学学习的重要内容之一。全日制义务教育数学课程标准（实验稿）指出“符号感主要表现在能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题”。大量研究表明，数学符号语言的理解和应用水平对学生的数学成绩有直接的影响，在小学数学教学的“学段目标”中亦包含着数学语言符号学习的相关内容，如“在具体情境中会用字母表示数”“会用方程表示简单情境中的等量关系”等1。国外对学生数学符号语言学习有较早的关注与研究。如美国大学入学考
8、试协会CEEB通称THECOLLEGEBOARD在“绿皮书”“ACADEMICPREPARATIONFORCOLLEGEWHATSTUDENTSNEEDTOKNOWANDBEABLETODO”中，描述了对数学语言能力“要阅读并理解用符号书写的数学表达，特别注意重要的符号，理解符号间的关系”2。全美数学理事会NATIONALCOUNCILOFTEACHERSOFMATHEMATICS在学校数学教育的原则和标准指出对学生的学习要求理解“表面不同的符号表征能描述同样的现象”，“用代数符号表征和分析数学情景和结构”3。加拿大大西洋地区学校毕业基本知识和技能框架指出“数学不仅是科学的主要交流途径，也向学
9、生提供了大量的交流工具，如图表、表格和数学符号”4。六年级是中小学数学衔接阶段，学生数学符号语言学习的重要时期。数学符号语言的理解的差异与数学学习成绩之间的联系密不可分。张奠宙提出“可能存在这样一种循环语言又是在掌握意义的过程中学的，要弄懂语言才会理解意义。”5对于我们数学符号语言的学习来说，要弄懂并且理解它的语言意义是在掌握数学符号语言意义的过程中学习获得的，只有顺利地学习数学符号语言才能理解掌握它，而掌握了数学符号语言才能学好数学。数学家莱克斯与格罗特认为“熟练地掌握数学的基本技巧，就好比音乐一样，需要大量运算和符号操作。它所使用的是一些特别的非口语的语言一些新符号被定义，一些老字符因限制
10、或改变其意义被重新定义”6。所以，由于数学符号语言的抽象性，难理解，因而导致了一些学生的学习困难。目前，小学数学符号语言教学中存在着片面的认识，教学往往将符号作为一个记号直接简单地交给学生，以记忆模仿为主，存在书写不规范等诸多方面的问题，缺乏对符号意义以及相关知识的理解。虽然，教育科学研究开始重视数学符号问题，但是很少从学生数学符号语言理解的角度关注，所有具有一定局限性。1中华人民共和国教育部全日制义务教育数学课程标准M北京北京师范大学出版社，20012钟启泉国际普通高中基础学科解析M上海华东师范大学出版社，20033全美数学教师理事会，蔡金法等译美国学校数学教育的原则和标准M北京人民教育出版
11、社200436、664钟启泉，张华世界课程改革趋势研究M北京北京师范大学出版社，20025张奠宙数学教育经纬M南京江苏教育出版社，20036鲍建生数学语言的教学J数学通报，199210212研究意义数学符号语言是数学语言的重要组成部分，具有数学思想交流与传播的作用，在日常的数学教学中具有重要的地位。至今为止，对于数学符号语言研究仍较为薄弱，所以本研究将丰富教育和实践研究。本研究以学生在数学符号理解上差异性的视角，依据语言学和心理学理论，审视分析学困生形成的原因。从数学符号语言学习的角度，对不同学业水平学生的数学符号语言理解情况进行分析，为解决数学学困生问题寻找新途径。进一步准确、深入地了解学生
12、数学符号语言理解的真实水平以及与数学符号语言理解对学生的数学成绩的影响，为教师进行符号教学设计提供有利的理论依据。通过对学生数学符号语言理解的研究以及对数学符号语言教学现状调查分析，并提出具有针对性，有效性的教学策略。2研究的理论基础21数学符号语言数学语言的重要组成部分数学符号语言是对数学对象、关系、运算以及规律等作出表述的一种特殊的语言形式。211数学符号语言的内涵数学符号语言作为一门特殊的语言具有高度的概括性、严密的系统性、稳定性的特征。大多数学者都认同数学，其实是一门语言，而这门语言中，数学符号语言是最重要的语言。许多有关涉及数学语言的著作中，大多数都是从数学符号的角度探讨数学语言。有
13、学者指出“数学语言与日常语言的区别不但是引进了一些专门词汇，并且也包括语法的变化，还有意义的改变。”7。斯托利亚尔认为数学语言是自然语言改进的结果，自然语言和数学语言最大的区别是“变元”的使用，而两者都包含语义与句法两方面8。212数学符号语言的分类PIMM的关于数学符号语言分类大致分为为第一类是标识符号LOGOGRAMS，即为是特殊记号，常常由字母的变形所得或大家约定的，有专门的表达意思。第二类是象形符号PICTOGRAMS，即为一般由直观的图形抽象而成，特点是具有形象性，几何中经常使用。第三类是标点符号PUNCTUATIONSYMBOLS，即为主要从语言中标点符号的形式借用而来，但它表示意
14、义的不同。第四类是字母符号ALPHABETICSYMBOLS，即为它们通常从某种语言文字或语言字母取自而来9。213数学符号语言的功能如果没有合适的数字符号就不能将算术推向前进，尤其是如果没有专门的数学符号和公式简直就不可能有现代数学。SKEMP指出数学符号有以下十种功能“传递知识、记载知识、形成新的概念、7DAVIDPIMMSYMBOLSANDMEANINGSINSCHOOLMATHEMATICSMROUTLEDGE,195512、2225、1908苏AA斯托利亚尔著，丁尔升等译数学教育学M北京人民教育出版社，19849DAVIDPIMMSPEAKINGMATHEMATICALCOMMUNI
15、CATIONINMATHEMATICSCLASSROOMMROUTLEDGE,1987113、125130、1401423使复杂多样的分类变得简单明了、解释、使反省活动成为可能、有助于揭示结构、使操作程序自动化、信息的恢复和理解以及创造性的智力活动”10。希伯特HIEBERT和卡彭特CARPEMTER认为数学符号有两个主要功能其一、公共的功能，它涉及到把己知的纪录下来以便共享或交流。其二、个人的功能，它涉及到组织和处理想法”,基于对“内部的表示和外部的表示”以及“内部的联系和外部的联系”的分析11。22数学符号语言的理解“网络联系说”对于理解的基本观点是“知识是通过不同的方式来表征的，各种表征
16、之间是以网络的形式联系在一起的，理解就是建立知识之间的这种联系。”“学习原则”提出的一个重要观点是对事实或过程没有理解性的记忆往往会导致学习效果不佳。得到正确的答案并不足以表明精通于数学，且纯粹的记住计算公式而不去理解其本质的概念是极不明智的替代方式12。随着学习过程中日益增多的数学符号，学生理解数学符号语言的能力也就必然成为影响学生数学学习的主要因素。221数学符号语言理解的界定数学符号贯穿于数学教学活动过程中，每一个数学符号都所表示一定的数学意义。数学符号语言的理解是指解释数学符号的过程，这里的解释即认得数学符号，不仅是对数学符号的“识别”，同时是数学符号语言意义的建立，即数学符号“告诉”
17、了什么，从数学符号中获得了什么信息。结合“语义三角形”理论，有学者认为“从这些数学符号中挖掘出它们所表示的那些数学意义的过程就是数学符号语言的理解过程”13。222数学符号语言理解的过程DUVAL分析了数学符号理解的组成和解释学生经历过的数学符号语言理解过程中遇到的障碍，其具有认知复杂性14。数学符号语言的理解大致需要经历三个阶段符号识别、语言分析、意义建构。符号识别阶段是指通过视觉信息所获得的一些形式特征来确定数学符号是什么样的，从而调动有关数学符号的相关信息。语言分析阶段是指在获得识别并调动符号的相关信息基础上，运用语言知识来建立符号之间的结构关系，从而确定符号之间的意义关系。符号意义建构
18、是指将多个数学符号的语义进行整合，结合相关知识进行加工、处理，从而在整体上掌握符号的意义15。23“认识论的三角形”模型本研究借鉴了STEINBRING从认识论的角度所提出的一个模型16，见图23。10AD亚历山大洛夫，王元、万哲先等译数学它的内容、方法和意义第一卷M北京科学出版社，200111格劳斯，陈昌平等译数学教与学手册M上海教育出版社，1999149151、43745212ANDREASJSTYLIANIDESLEARNINGMATHEMATICSWITHUNDERSTANDING,THEMONTANAMATHEMATICSENTHUSIASTJISSN15513440,2007,VO
19、L4,NO1,PP10311413汤强7一9年级学生数学符号语言的理解与表示D重庆西南大学，200914RAYMONDDUVALACOGNITIVEANALYSISOFPROBLEMSOFCOMPREHENSIONINALEARNINGOFMATHEMATICS,EDUCATIONALSTUDIESINMATHEMATICSJ,20066110313115汤强7一9年级学生数学符号语言的理解与表示D重庆西南大学，200916STEINBRING，HEINZWHATMAKEASIGNAMATHEMATICALSIGN一ANEPISTEMOLOGICALPERSPECTIVEONMATHEMATI
20、CALINTERACTIONEDUCATIONALSTUDIESINMATHEMATICSJ2006，VOL614图233学生的数学符号语言理解本研究采取测验法的形式，以万里国际小学六年级159名学生为被测验对象。根据学生六年级上学期期末数学成绩作为划分依据，将学生的数学期末考试成绩前27的学生划为学优生，成绩后27的学生划为学困生，其余学生划为中等生。研究从不同学业水平的学生对相同的数学符号及其表达式所获取不同的信息情况进行分析，不同的学生对符号理解结果是具有一定差异的。下面，我们将针对差异主要体现的符号理解的广度、字母意义的理解以及符号之间关系的理解三个方面进行分析。31理解的广度从测验的
21、第一大题的回答结果，即从不同学生最后所能给出的尽量多的信息来看，学生对数学符号语言理解的广度与他们对于能够联想到的信息量的多少等等有关。在数学符号语言理解的广度上，不同学业水平的学生是有差异的，也就是说，对于同一个数学符号，不同学业水平的学生所能够联想到的信息是不同的。311数据列举学生在面对日常学习生活中熟悉数学符号时，会联想到一些相关信息，然而，一方面，就学生产生的某个联想而言，其出现的频率存在差异。例如，面对“A”，仅有少数学生能够联想到“B”，学生能够联想到“公式”就更少了，而大多数学生都能联想到“字母”。又例如，面对“一”，仅有少数学生能够联想到“”或者“乘除法”，而大多数学生都能联
22、想到“减法”。另一方面，从学生个体来看，不同学生个体对于相一个数学符号在能够联想到的信息的数量上存在明显差异。一部分学生联想到的信息丰富。例如，对于数学符号“A”，一些学生既想到了“一个数”，也能联想到“B”，还能联想到“A”相关的信息以及一些与A有关的“公式”等等。又例如，对于数学符号“一”，一些学生能够联想到“负号”、“减法”、“加法、乘法、除法”等等。一部分学生能够联想到的信息单一。例如，对于数学符号“A”，一些学生只能想到“一个数”；又例如，对于5数学符号“一”，一些学生只能联想到“减法”，或者只能联想到“负号”等。根据对学生测验结果来看，类似的例子还有很多，而以上通过对几个例子的举例
23、说明，也可以充分体现和反映了一个现象，也就是说不同的学生面对同样的数学符号会产生不同的联想，获得信息也不同。312数据统计与分析当面对相同的数学符号的时候，不同的学生所能够联想的信息存在差异，通过数据举例我们已经感受到了差异，而在联想到信息的数量上是最能直接地体现其差异。我们从不同学业水平不同的六学生的联想结果的角度来看，结果体现出了一定的差异，见表3121和表3122。6结果表明，不同学业水平的六学生对于相同的数学符号产生的联想结果是有差异的。例如，表3121和表3122中的11，即面对“”，能够联想到两个或者两个以上的学困生有0人，即是六年级学困生人数的0，而学优生有395，此外，中等生有
24、41。又例如，表3122中的12，即对于“A”，能联想到两个或者两个以上学困生中有0人，即是六年级学困生人数的0，然而，学优生有372，中等生也有68。所以，总的说来，面对同样的数学符号，产生最少联想的是学困生，其次是中等生，而学优生能够产生相对比较多的联想。由此看来，学生数学符号理解的广度与学生的学业水平是有直接的影响。此外，表3121和表3122的结果显示出，从个别的问题来看，例如，当面对“一”和“1”的时候，还是有相当比例的学困生产生联想的量能够达到2个或以上。但是，从测验问卷结果的整体角度来看，学优生产生联想的量几乎都能够达到2个及其以上的，而学困生中能够产生2个以上的联想却很少。7从
25、卡方检验结果分析见表3123，不同学业水平的学生面对相同题目时，每一个题的回答都是有极其显著性的差异。例如，对于数学符号“1”，即表中的1（3），依据表3123中的数据，分别计算出的值为133272，在001的显著性水平上出现显著差异。再例如，对于“1”，即表中的1（4），依据表3123中的数据，分别计算出的值为101324，在001的显著性水平上同样出现了显著差异。这个检验结果充分体现了，学生在符号理解的广度上，学困生要明显劣于学优生和中等生，中等生其次，而学优生最好。313研究结果结果表明,不同学业水平的六年级学生在数学符号语言理解的广度上存在显著差异，即学优生理解的广度最佳，而中等生其次
26、，学困生是最差的。此外，由同样的数学符号语言依据学生所联想到的信息出现的频率，我们不难发现，不同学业水平学生的联想存在“层次”之分，最容易联想的层次是数学符号语言的本义，以及其运算意义，学困生的符号语言理解几乎都只达到这一层面，即大多数的学困生的符号理解几乎都是主要以数学概念的直接表示为主的数学符号语言外部的联系，和主要以运算关系的数学符号语言内部的联系。不同学业水平的学生在符号理解的广度上的不同，这与学生个体的认知结构中，有没有具备相关符号信息，以及提取信息时所需要的“刺激”强度的大小等因素有关。32字母意义的理解字母是学生比较早接触到的数学符号，同时，字母也是数学符号语言的重要组成部分，学
27、生对于含有字母的数学表达式意义的理解受到对其所包含的字母意义的理解的直接影响。从测验结果来看，学生对字母意义的理解存在一定的特征以及理解差异性。其一，体现学生在字母意义的理解上市基于“字母代表数”，对于字母理解的意义更倾向于“数”；其二，体现于学生在字母表示什么样的数上的判断差异。321数据列举学生对于字母的理解常常是倾向于“数”的理解。例如，从给出了多个联想的那些学生来看，他们写在第一个的联想几乎都是“一个数”，这也就表明了，他们首先联想到的是“数”。此外，许多学生看见字母“A”总是能够联想到“数”，就那些只能给出一个联想的学生而言，大多数联想到的也都是“一个数”。一些学生在将字母理解为“数
28、”的基础上，常常存在着一定的区分。例如，他们将“AX”不是解释为“A等于X”，而是解释为“X等于A”。通过了解，我们知道了原来虽然只是顺序不同的两种解释，然而却反映了在他们心目中的字母“A”和字母“X”不一样的地位，即他们认为字母“X”是专门表示“未知数”的。我们用图示表示学生对字母的理解情况，图321概括如下8图321322数据统计与分析面对数学符号“A”，159位学生参与问卷测验，并且产生了多种不同的联想信息，回答结果包括“一个数”，“B”，“一条直线”，“A2”以及一些“公式”。结果显示，有150位学生联想到了“一个数”，占总人数的943，其中，首先想到了“一个数”，即将“一个数”写在在
29、问卷中的第一位的人数有136位，占总人数的855，但是，依旧有55位只给出了一种联想，占总人数的346，。统计信息结果见表322。结果显示，学生对字母理解更倾向于“数”。通过对数据的分析，我们可以发现，从学生对字母符号的理解是不同的。然而从数据来看，不同学业水平的学生关于在联想到的第一个信息上并没有的显著差异，例如学优生有39人占907第一个想到的是“一个数”，中等生和学困生第一个联9想到的是“一个数”的分别有67人918和38人884，对不同学业水平的六年级学生联想到第一个信息的结果进行2检验（2037,P005），2检验结果显示，不存在显著差异，即不同学业水平的六年级学生面对“A”联想到第
30、一个信息的结果没有显著差异。也就是说，六年级的学困生、中等生与学优生在对理解字母意义方面的时候，关于几乎都是倾向于“数”的情况是相同的。323研究结果结果表明,不同学业水平的六年级学生，在字母意义的理解上都具有相同的特征，即为都倾向于“数”。具有这样的倾向性，主要是由于学生在日常数学学习活动中，最早学习的就是字母表示数，同时，在数学学习过程中，经常用到、见到用字母表示数。所有，在对字母的理解上，不同学业水平的六年级学生并没有显著的差异。同时，我们也发现一些学生个体在对于什么字母表示什么样的数上，具有自己的理解。不同学业水平的学生对字母意义的理解都是倾向于“数”，这是因为在日常数学学习活动中，经
31、常性地接触到的并日积月累形成的“字母表示数”信息，而形成的习以为常的理解。33符号之间关系的理解当学生进行数学学习活动时，通常会面对的数学符号表达式是由单个数学符号而组成的，而这些数学表达式中的数学符号之间，必然会存在一定的搭配关系。其一，运算关系。例如“MN”中，“M”、“”与“N”之间的搭配关系。其二，结构关系。例如“MN”中，“M”与“N”之间的搭配关系。当然，同样的数学符号之间的搭配可能具有多种搭配关系。例如中“N1”的“1”与“N”之间的搭配关系，当理解为“1除以N”时，可以说是一种运算关系，当理解为“”，一种是以分数线隔开的上下结构时，也可以是一种结构关系，此时的数学意义为“N为分
32、母，不能为O”或者“N的倒数”。其三，逻辑关系。例如“MN”中。“M”、“”与“N”之间的搭配关系。从学生的符号理解结果来看，我们不难发现，有些学生侧重符号之间的运算关系，有些学生侧重符号之间的结构关系，有些学生侧重符号之间的逻辑关系，宗旨，不同的学生个体有着不同的侧重关系。我们可以用“认知三角形”表示三类不同的侧重（见图33）。图3310331数据列举一些学生侧重于符号之间运算关系的理解。例如，对于解释“N1”的数学意义这个问题，有学生将其理解为“L除以N”。例如，对于解释“ABL”的数学意义这个问题，有学生给出解释为“A乘以B等于1”，也有学生给出的解释是“A1，BL”，还有学生给出的解释
33、为“A与B的乘积等于1”。再例如，对于解释“ABBC”的数学意义这个问题，有学生给出的解释为“将B约去，A等于C”，还有学生的理解为“A与B的乘积等于B与C的乘积”。上述例子体现了学生对于数学符号的理解是基于运算关系方面的理解，即将其视为运算对象。一些学生侧重于符号之间的结构关系的理解。例如，对于解释“N1”的数学意义这个问题，有学生将其解释为，“N不能等于0”，也有学生对“N1”给出的解释为“N的倒数”。再例如，对于解释“1YX”的数学意义这个问题，有学生给出的解释为“X和Y成正比例”，即满足正比例关系的式子。以上例子表明，有些学生关在符号之间的结构关系，他们能够从形式化结构的数学符号之间关
34、系中获得一定信息，并能够从错综复杂的符号之间关系中确定特殊的结构关系。一些学生侧重于符号之间逻辑关系的理解。例如，对于解释“1AB”的数学意义这个问题，有学生将其理解为“A与B互为倒数”。例如，对于解释“1YX”的数学意义这个问题，有学生给出的解释是“X与Y互为相反数”。从所获得的数学符号的信息的质上来看，一些学生的符号理解甚至是有问题的，例如，对于“1YX”，有些学生从“一”仅能获得“相反数”的信息。再例如，从学生所获得的数学符号的信息的量上来看，以上的例子所体现的学生数学符号的理解并不是很全面，例如，对于“A0”，有些学生从“”获得“小于0”的信息，而没从“A”的这方面获得相应信息。所以，
35、这样的对于数学符号理解是关注到了数学符号之间的逻辑关系，有涉及到一定的推理过程，而不是仅仅停留在数学运算的层面，同时，提供了为获得更多的信息的机会。332数据统计与分析在测验问卷第二大题中有6个问题是需要解释数学意义，在对6个问题的回答中，根据159位学生对符号之间搭配关系的理解关注情况，如若学生对6个问题只要有两个回答体现出符号之间的结构关系，我们就将其归类为涉及关注到了结构关系的一类，逻辑关系一类和运算关系一类同样如此。根据对回答结果的统计，结果情况如表3321结果显示，参与测验的全部学生，也就是100的学生涉及关注到了符号之间的运算关系；涉及关注到符号之间的结构关系有385的学生；而涉及
36、关注到符号之间的逻辑关系只有275的学生。从结果我们可以发现，对数学符号之间的搭配关系的理解，六年级学生最主要是倾向于运算关系，其次是结构关系，然后才是逻辑关系。11但是，从认知的角度我们不难发现，对于个别问题，符号单一结构水平的理解几乎全部的学生都能够达到，而多元结构及其以上水平只有一部分学生能够达到。这种的现象还体现在数据上，结果见表3322表3322结果显示，通过不同学业水平学生对同一个问题的回答情况的观察比较，我们不难发现优等生和相当一部分中等生更能够关注符号之间的非运算关系，即为结构关系或者逻辑关系，而仍有一部分中等生和学困生只关注到符号之间的运算关系。从认知的角度来看，学优生对数学
37、符号语言理解绝大多数处于多元结构的水平或者更高，同时，也有相当一部分中等生处于多元结构的水平，而学困生绝大多数都只处于单一结构水平。333研究结果结果表明,不同学业水平的六年级学生在符号关系的理解上存在的差异明显。中等生和学困生是倾向数学符号语言之间的运算关系，而学优生更倾向于非运算关系，即能够涉及到逻辑关系和结构关系。但是，从总体上看，大部分学生都更倾向于符号之间的运算关系，其次是符号之间的结构关系，最后才是符号之间的逻辑关系。对符号关系理解的不同，主要是因为不同学业水平学生所具备的相关能力、符号意识所致，此外，学生个体对符号形成的习以为常的理解也是造成不同的原因之一。124结论与思考41研
38、究结论当面对相同数学符号语言时，不同学业水平的六学生的理解过程存在一定的差异性，所表现出来的理解信息的结果也是不同的。这些不同从数学符号语言理解的广度、字母意义的理解以及符号之间关系的理解这三个方面体现出来。411基本结论首先，不同学业水平的六年级学生在数学符号语言理解的广度上存在显著差异，即学优生理解的广度最佳，而中等生其次，学困生是最差的。此外，由同样的数学符号语言依据学生所联想到的信息出现的频率，我们不难发现，不同学业水平学生的联想存在“层次”之分，最容易联想的层次是数学符号语言的本义，以及其运算意义，学困生的符号语言理解几乎都只达到这一层面，即大多数的学困生的符号理解几乎都是主要以数学
39、概念的直接表示为主的数学符号语言外部的联系，和主要以运算关系的数学符号语言内部的联系。其次，不同学业水平的六年级学生，在字母意义的理解上都具有相同的特征，即为都倾向于“数”。具有这样的倾向性，主要是由于学生在日常数学学习活动中，最早学习的就是字母表示数，同时，在数学学习过程中，经常用到、见到用字母表示数。所有，在对字母的理解上，不同学业水平的六年级学生并没有显著的差异。同时，我们也发现一些学生个体在对于什么字母表示什么样的数上，具有自己的理解。最后，不同学业水平的六年级学生在符号关系的理解上存在的差异明显。中等生和学困生是倾向数学符号语言之间的运算关系，而学优生更倾向于非运算关系，即能够涉及到
40、逻辑关系和结构关系。但是，从总体上看，大部分学生都更倾向于符号之间的运算关系，其次是符号之间的结构关系，最后才是符号之间的逻辑关系。412符号理解差异与数学学习之间的关系在符号理解的过程中，不同学业水平的六年级学生在众多方面出现显著的差异。例如，在数学符号理解的广度上，不同学业水平学生之间存在明显的差异；在对符号关系的理解上，不同学业水平的学生存在显著差异。总体说来，在很多方面，学优生都有明显地优于中等生和学困生。所以结果表明，学生所具有的学业水平与他们在数学符号语言理解上的不同表现是比较相一致。学生数学符号语言理解上的问题是制约他们数学学习发展的因素之一。导致不同学业水平的六年级学生在数学符
41、号语言理解上所出现不同表现的原因是多方面的。通过对部分学生，尤其是学困生联想结果以及解释符号意义所得的信息，进行针对性的访谈分析，我们发现，学生在数学符号语言理解存在一些问题，并且学困生对于符号语言理解的能力相对较差。首先，不同学业水平的学生在符号理解的广度上的不同，这与学生个体的认知结构中，有没有具备相关符号信息，以及提取信息时所需要的“刺激”强度的大小等因素有关。其次，不同学业水平的学生对字母意义的理解都是倾向于“数”，这是因为在日常数学学习活动中，经常性地接触到的并日积月累形成的“字母表示数”信息，而形成的习以为常的理解。最后，对符号关系理解的不同，主13要是因为不同学业水平学生所具备的
42、相关能力、符号意识所致，此外，学生个体对符号形成的习以为常的理解也是造成不同的原因之一。42对数学符号语言教学的反思不同学业水平的六年级学生在数学符号语言理解上所出现的不同表现,以及产生这些理解问题的因素是多方面。学生所获得的符号语言知识及所具备的符号意识与教师日常教学的进行息息相关。所以，在日常数学教学中，与数学符号语言相关内容，教师应该如何开展教学，如何让学生尤其是学困生更有效的掌握数学符号语言知识和具备良好的符号意识，这是值得我们进一步去思考的。我们通过对教师的访谈以及教学现状的了解，提出了一下几点建议。数学符号语言教学应该注重教学活动中学生的意识行为，关注学生的自觉行为。当在教学教学中
43、涉及符号时，教师要以准确理解数学符号的含义为教学重点和难点。在教学设计的过程中，教师要明确的目标和要求，组织教学，让学生充分清晰地理解数学符号概念。学生对于数学符号语言的理解，是建立在感性认知的基础上，通过对已获得的感性材料，进行合理加工、整理，获得简洁的概括性认识，把握事物的本质特性和内在联系。数学符号语言教学应该注重“教”与“学”。数学符号语言的教学是一个长期培养的过程，在整个教学活动中，教师需要正确的引导、点拨。涉及到符号教学时，教师必须重视对符号语义的分析。对于一个符号，学生要充分了解符号本质涵义，才能掌握和应用自如的。教师在教学活动过程中，要给表示概念的符号赋予具体的内容，而学生在学
44、习过程中要主动探讨问题，并且充分理解数学语言表达式的意义。数学符号语言教学应该兼顾“内容”与“形式”。内容与形式是数学符号语言不可缺少的两个方面。在进行数学符号教学时，教师要鼓励学生动手实践，让学生在动手操作的过程中，通过各种感官和大脑的复杂反应活动，建立起关于符号的特征与联系的感觉、知觉、表象或观念。在数学符号教学的内容上，要重视抓住符号的符号本质，引导学生进行对比与辨析，通过分析数学符号的区别与联系，帮助学生理解符号自身的含义和符号的内在逻辑联系。43研究的局限性及前景通过对六年级学生数学符号语言的理解的研究，我们获得了较为丰富的研究结论和比较深刻的认识。同时，我们感受到学生数学符号语言理
45、解的复杂性。所以，我们在研究基本完成之后开始反思，发现其中仍存在许多的不足。例如，许多学生在数学符号语言理解上的不同表现能够被观察到，但是，对于他们心理层面的剖析程度却不够深入。此外，学生数学符号语言理解的复杂性决定了其教学的复杂性，由于本文所提出的一些教学建议，因为并没有经过实践的检验，所以一定会存在一些可行性的问题。关于学生数学符号语言研究的领域是相对较为广阔，希望通过本文对学生数学语言符号理解的研究，可以为学困生找到解决数学学习困难的一个新颖并有益的思路或方法，为教师反思自己的符号教学提供的实践参考依据和有价值的帮助。14参考文献1中华人民共和国教育部全日制义务教育数学课程标准M北京北京
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