1、1第四章 平面向量一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如：（1）已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量 向左平移 3 个单位平移后得到的向量AB是_2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；03单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是AB)；|BA4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，ab记作： ，规定零向量
2、和任何向量平行 。ab提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0三点 共线 共线；ABC、 、 AB、6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。如aa（2）下列命题：（1）若 ，则 。 （2）两个向量相等的充要条件是它们ab的起点相同，终点相同。 （3）若 ，则 是平行四边形。 （4）若 是平DCABABCD行四边形，则 。 （5）若 ，则 。 （6）若 ，则 。其中正ABD,ca/,bc/确的是_（答：（4） （5
3、） ）二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；AB2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；abc3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ，xyi为基底，则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的j a,ij,xya坐标， 叫做向量 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标a,xy与向量的终点坐标相同。2三平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2。如12（1）若 ，则 _(1,)b
4、(,)(,)cc（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. B. 120,e12,(5,7)eC. D. (35)(6) 13()4（3）已知 分别是 的边 上的中线 ,且 ,则 可用向,ADBEAC,B,ADaBEbC量 表示为_,ab（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 2 srC的值是 _sr四实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规aa定如下： 当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0；当 P12点在线段 P P 的延长线上时 1；当 P 点在线段 P P 的延长线上时121；若点 P 分有向线段 所成的比为 ，则点 P 分有向线段 所成
5、的比012 2为 。如1若点 分 所成的比为 ，则 分 所成的比为_AB34ABP（答： ）7373线段的定比分点公式：设 、 ， 分有向线段 所成的1(,)Pxy2(,)xy(,)Px12P比为 ，则 ，特别地，当 1 时，就得到线段 P P 的中点公式12xy12。在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ， 、 的意义，12xy (,)xy1,)2(,)xy即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 。如（1）若 M（-3，-2） ，N（6，-1） ，且 ，则点 P 的坐标为_1MPN3（答： ） ；7(6,)3（2）已知
6、 ，直线 与线段 交于 ，且 ，则 等(,0)3,2)AaB12yaxAB2AMBa于_（答：或）十一平移公式：如果点 按向量 平移至 ，则 ；曲(,)Pxy,hk(,)Pxyxhyk线 按向量 平移得曲线 .注意：（1）函数按向量平移(,)0fxy,ahk()0fxy与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 如（1）按向量 把 平移到 ，则按向量 把点 平移到点_(2,3)(1,2)a(7,2)（答：（，） ） ；（2）函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，xysina 12cosxy则 _a（答： ）),4(812、向量中一些常用的结论：（1）一个
7、封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） ，特别地，当 同向或有|abab ab、 0|ab；当 反向或有 ；当 不共线| 、 0| 、(这些和实数比较类似).|（3）在 中，若 ，则其重心的坐标为ABC123,xyBCxy。如123123,xyG若ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3，4） 、 （-1，-1） ，则ABC 的重心的坐标为_（答： ） ；24(,)3 为 的重心，特别地 为1()3PGABPCGAB0PABCP的重心；BC 为 的垂心；C向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直()(0| 线)； 的内心；|ABPACPBA（3）若 P 分有向线
8、段 所成的比为 ，点 为平面内的任一点，则12M，特别地 为 的中点 ；12M 12P（4）向量 中三终点 共线 存在实数 使得 ABC、 、 ABC、 、 、且 .如1平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 , ,若点 满足O)13(A)BC O,其中 且 ,则点 的轨迹是_ BOA21R21,121C（答：直线 AB）9平面向量部分常见的题型练习类型（一）：向量的夹角问题1.平面向量 ，满足 且满足 ，则 的夹角为 ba,4,1b2.bab与2.已知非零向量 满足 ，则 的夹角为 , ）（， 与3.已知平面向量 满足 且，则 的夹角为 4).(a，且）（ ba与4.设非零向量 、 、 满
9、足 ，则 bccba|,| ,5.已知 的 夹 角 。与求a,7,326.若非零向量 满足 则 的夹角为 ,0).2(a， 与类型（二）：向量共线问题1. 已知平面向量 ，平面向量 若 ，则实数 ），（ x3） ，（ 182babx2. 设向量 若向量 与向量 共线，则 ），（） ，（ 21baa)74(，c3.已知向量 若 平行，则实数 的值是（ ），（） ，（ x与 xA-2 B0 C1 D2_)0,(),54(),2(.4k CBAkOkO则 三 点 共 线 ， 且，已 知 向 量5已知 ，设 ， 且 ，则 x 的值为 ），（） ，（） ，（ 7331xaba（ ）(A) 0 (B) 3
10、 (C) 15 (D) 186已知 =（1，2） ， =（-3，2）若 k +2 与 2 -4 共线，求实数 k 的值；abab7已知 ， 是同一平面内的两个向量，其中 =（1，2）若 ，且 ，求 的坐标c 52cac8.n 为何值时，向量 与 共线且方向相同？），（ 1n),4(n109.已知 ，求 的坐标。且),21(,3baab10.已知向量 ，若（ ） ，则 m= )2,1(,cm），（） ，（ bac11.已知 不共线， ，如果 ，那么 k= , 与 的方向关系是 ba, badkc,cdcd12. 已知向量 ，则 且），（） ，（ 21mb ba32类型（三）: 向量的垂直问题1已
11、知向量 ，则实数 的值为 axa且），（ )6,3(x2已知向量 abnbn垂 直 ， 则与） ， 若，（） ，（ 2113已知 =（1，2） ， =（-3，2）若 k +2 与 2 -4 垂直，求实数 k 的值aa4已知 ，且 的夹角为 ，若 。4,a与 3的 值垂 直 ， 求与 25.已知 求当 为何值时， 垂直？),(0(bb与6.已知单位向量 mnnm）， 求 证 ： （的 夹 角 为和 27.已知 求与 垂直的单位向量的坐标。,24），（aa8. 已知向量 的 值 为垂 直 ， 则 实 数与且 向 量），（ bab)0,1(,39. kckc， 则）若 （，），（ 2)1(,10. ，）满 足 于 （， 若 向 量），（a,2 _cc） ， 则（类型（四）投影问题1 已知 ， 的夹角 ，则向量 在向量 上的投影为 ，4,5ba与 32ba2 在 中， RtABCACB.,4,则3关于 且 ，有下列几种说法：cab.0 ； ； 在 方向上的投影等于 在)(bc0).(cbabaca方向上的投影 ； ；其中正确的个数是 （ ）
