1、5.3 直线与平面的夹角课时目标 1.理解直线与平面的夹角的概念.2.会利用向量的方法求直线与平面的夹角1直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的_所成的角，其范围是_，斜线与平面所成的角是这条直线与平面内的一切直线所成角中_的角2直线和平面所成的角可以通过直线的_与平面的_求得，若设直线与平面所成的角为 ，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为 ，则有 sin _.一、选择题1在三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 夹角的大小是( )A30 B45 C60 D902.如图所示，四面体 SABC 中
2、， 0， 0， 0， ，SBA45 ，SA SB SB SC SA SC SBC60，M 为 AB 的中点则 BC 与平面 SAB 的夹角为( )A30 B60C90 D753平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的 2 倍，则斜线与平面所成角的大小为( )A30 B60C45 D1204如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N，P 分别是棱 CC1，BC，A 1B1 上的点，若B 1MN90，则PMN 的大小是( )A等于 90B小于 90C大于 90D不确定5若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的角等于( )A30 B60C150
3、 D以上均错6正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的中点，且SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是( )A30 B60 C150 D90题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7.如图所示，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都相等，D 是 A1C1 的中点，则直线AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 _8正方形 ABCD 的边长为 a，PA平面 ABCD，PA a，则直线 PB 与平面 PAC 所成的角为_9在正三棱柱 ABCA1B1C1 中侧棱长为 ，底面边长为 1，则 BC1 与侧面 ACC1A1 所2成的角为_. 三、解答
4、题10.如图所示，在直三棱柱 ABOABO 中，OO4，OA4，OB3，AOB90 ，D 是线段 AB的中点，P 是侧棱 BB上的一点，若 OPBD，求 OP 与底面 AOB 所成角的正切值11.如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 ABBC2AD ，AS平面ABCD，AD BC，AB BC，且 ASAB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 的余弦值能力提升12.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2.以 BD 的中点 O 为球心，BD 为直径的球面交 PD 于 M.(1)求证：平面 ABM平面 PCD；(2)求直线 PC 与平面 A
5、BM 所成的角的正弦值13已知三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，AB AC ，PAAC AB，N 为 AB 上12一点，且 AB4AN，M ，S 分别为 PB，BC 的中点(1)证明：CMSN ；(2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小直线与平面所成角的求法(1)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得(2)向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直 线与平面所成的角为 ，a与 u 的夹角为 ，则有 sin |cos | 或 cos sin .|au|a|u|53 直线与平面的夹角知识梳理1射影 最小0
6、，22方向向量 法向量 |cos |作业设计1C2B 0， 0， ， ，即 SBSC，SASC，又 SBSAS，SB SC SA SC SB SC SA SC SC平面 SAB，SBC 为 BC 与平面 SAB 的夹角又SBC60，故 BC 与平面 SAB 的夹角为 60.3B4A A 1B1平面 BCC1B1，故 A1B1MN，则 ( )MP MN MB1 B1P MN 0，MB1 MN B1P MN MPMN，即PMN90.也可由三垂线定理直接得 MPMN.5B 当直线 l 的方向向量 与平面 的法向量 n 的夹角 n，小于 90时，直线 l 与平面 所成的角与之互余6A 如图所示，以 O
7、 为原点建立空间直角坐标系设 ODSOOAOB OC a，则 A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P .(0， a2，a2)则 (2a,0,0)， ， (a，a,0)CA AP ( a， a2，a2) CB 设平面 PAC 的法向量为 n，可求得 n(0,1,1) ，则 cos ，n .CB CB n|CB |n| a2a2 2 12 ，n60， 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 906030.CB 7.45解析 不妨设正三棱柱 ABCA1B1C1 的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系( x轴垂直于 AB)，则 C(0,0,0)，A( ， 1,0)，B1( ，1,
8、2)，D ，3 3 (32， 12，2)则 ， ( ，1,2)，设平面 B1DC 的法向量为 n( x，y,1)，CD ( 32， 12，2) CB1 3由Error! 解得 n( ，1,1)3又 ，DA ( 32， 12， 2)sin |cos ，n| .DA 458309.6解析 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中取 AC 的中点 O，OBAC，则 OB平面 ACC1A1，BC1O 就是 BC1 与平面 AC1 的夹角以 O 为坐标原点建立如图所示的空 间直角坐标系，则 O(0,0,0)，B ，(32，0，0)C1 ，(0，12，2) ， .OC1 (0，12，2) BC1 ( 32，12
9、，2)cos ， OC1 BC1 OC1 BC1 |OC1 |BC1 | .(0，12，2)( 32，12，2)14 2 34 14 294332 32 ， ，即 BC1 与平面 ACC1A1 的夹角为 .OC1 BC1 6 610解 如图，以 O 点为原点建立空间直角坐标系，则 B(3,0,0)，D .(32，2，4)设 P(3,0，z)，则 ， (3,0 ，z)BD ( 32，2，4) OP BDOP， BD OP 4z0，z .92 98P .BB平面 AOB，(3，0，98)POB 是 OP 与底面 AOB 所成的角tanPOB ，983 38故 OP 与底面 AOB 所成角的正切值为
10、 .3811解 由题设条件知，可建立以 AD 为 x 轴， AB 为 y 轴，AS 为 z 轴的空间直角坐标系(如图所示) 设 AB1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D ，S(0,0,1)(12，0，0) (0,0,1) ，AS (1，1,1)CS 显然 是底面的法向量，它与已知向量 的夹角 90 ，AS CS 故有 sin |cos | ，|AS CS |AS |CS | 113 33于是 cos .1 sin26312(1)证明 依题设，M 在以 BD 为直径的球面上，则 BMPD.因为 PA底面 ABCD，AB 底面 ABCD，则 PAAB.又 ABAD，PA
11、ADA，所以 AB平面 PAD，则 ABPD，又 BMABB.因此有 PD平面 ABM，又 PD 平面 PCD.所以平面 ABM平面 PCD.(2)解 如图所示，建立空间直角坐标 系， 则 A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，设平面 ABM 的一个法向量 n(x，y ，z)，由 n ，nAB AM 可得Error!令 z1，则 y1，即 n(0,1 ， 1)设所求角为 ，则 sin ，|PCn|PC |n| 223故所求的角的正弦值为 .22313.(1)证明 设 PA1，以 A 为原点，AB， AC，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴正向建立空间直角坐标系如图所示，则 P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0， )，12N( ，0,0)，S(1，0)12 12所以 (1，1， )， ( ， ，0)CM 12 SN 12 12因为 00，CM SN 12 12所以 CMSN.(2)解 ( ，1,0)，NC 12设 a(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量， 则Error!即Error! 令 x2，得 a(2,1，2)因为|cosa， | ，所以 SN 与平面 CMN 所成的角为 45.SN |aSN |a|SN | | 1 12322| 22
