1、第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或 Monte-Carlo 方法求其近似值 . 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的定理 9.1（Cauchy 收敛原理） f(x)在a, + ）上的广义积分收敛的充分必要条件是： , 存在 A0, 使得 b, adxf)( 0A 时，恒有b |)(|/bdxf证明：对 使用柯西收敛原理立即得此结论
2、blim0)(xf同样对瑕积分 ( 为瑕点), 我们有bad定理 9.2（瑕积分的 Cauchy 收敛原理）设函数 f(x)在a,b) 上有定义，在其任何闭子区间a, b 上常义可积，则瑕积分 收敛的dxf充要条件是: , , 只要 01,那么积分 收敛，如 f(x)cadxf)(，p 1,则积分 发散xcadxf)(其极限形式为定理 9.9 如 ( , p1), 则积分 收xlimlfp)0adxf)(敛如 , 而 , 1, 则 blilxfp)(laxf)(发散.例 9.8 判断下列广义积分的收敛性。(1) 11)ln(dx(2) (m0, n0)1xn解：（1）因为 0 x1)lx2)(
3、由 收敛推出 收敛12d11lndx（2）因为 所以当 n m1 时，积分xlim,nnx收敛. 当 n m 1 时，积分 发散1dn1dxn对于瑕积分，使用 作为比较标准，我们有下列柯西判bapdx)(别法定理 9.10 设 x=a 是 f(x)在a,b 上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积 ,那么（1） 如 0 f(x) (c0), p0), p 1, 则 发散f瑕积分的 Cauchy 判断法的极限形式为定理 9.11 设 kxfapx)(lim如 0 k0)0cosinqp解：（1）1 是被积函数的唯一瑕点因为 =1limx )1)()(2221xkd)1(2k由 知瑕积分收敛p（2）0
4、与 都是被积函数的瑕点先讨论 由,cosin40xdqp0lim1cosinxqp知: 当 p0), 当 时收敛10)cos(dxx31当 时发散.3证明: =0limx)cos1(3x0li23cos1x= 0lixcs2所以当 3 1 时，即 时，瑕积分收敛当 3 1，即 时，313瑕积分发散前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果定理 9.12（积分第二中值定理）设 g(x)在a,b上可积，f (x)在a,b 上单调，则存在 a,b 使=bdxgf)( aadfdf)()(为了证明定理 9.12，我们先讨论下列特殊情况引
5、理 9.1 设 f(x)在 a, b上单调下降并且非负，函数 g(x)在a,b 上可积，则存在 c a,b，使=f(a)dxgf)(cdg证明：作辅助函数 = f(a) 对a,b 的任一分法tP: a=x0x1x2xn=b我们有=badxgf)(dxgfniii )(1由此得到| |baxf)( xfnixii)(11=| |dgfinixi )1xxfiixi |(|(|11x i)(1fLni这里 L 是|g (x)|在a,b 的上界 , 是 在 上的振幅，从)(fwixi,1这个估计式可知, 当 时,应当有P0dxgfnixii)(11badgf)(我们来证明)(min,xbaxxfni
6、xii)(11)(ma,b为此，引入记号G(x)= adtg)(并作如下变换 xfnixii)(11= 1iiiiGf= )(1iniixf )(11inixf= )(1iniixGf )(10inixf= （ ） iiif1iif 0)(0aGx= )()(1ini ii xfxf )(nf因为 , , 0ii n0所以 dxgxfniii)(11= )(ii iiGff )(nxf )(1nni ii fxff mi,bax= m,abx同样可证dgfnixii)(11)(ax)(,Gfb我们证明了不等式 )(min)(,xGafbxdxgfnixii)(11)(ma)(,xfbx即 )(
7、i,baxxfniii)(11)(a,bx现令|p| , 取极限，就得到0)(min,baxbadxgf)()(ma,b因此，存在 c a,b，使得= （因为 在 上是连续函)(dxgf)()(xba,数）也就是 = 证毕baxf)(caf)(下面我们证明定理 9.12证明：如 f(x)是单调下降的，则 f(x)f(b)单调下降且非负，由引理12.2.1 知，存在 c a,b , 使)=badgf()( cadxgf)(即 =baxf)( ,)()(bccafxf对 f(x)单调上升的情形，可作类似讨论 .使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法定理 9.13 若下列两个条件之一满足，则 收敛adxgf)(（1） （Abel 判别法） 收敛，g( x)在a, 上单调有界;adxf)（2） （Dirichlet 判别法）设 F(A)= 在a, 上有界，g(x )在Aafa, 上单调, 且 g(x)=0.)lim证明：（1） , 设| g(x)| M， a, ), 因 收敛，0adf)(由 Cauchy 收敛原理， , 使 时, 有A01AdfA2|)(|1由积分第二中值定理，我们得到
