1、空间直线和平面知识串讲空间直线和平面：（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化： 线 线 线 面 面 面 公 理 4 (a/b,/c a/c) 线 面 平 行 判 定 /,/aba 面 面 平 行 判 定 1 ab/,/ 面 面 平 行 性 质 abA,/,/线 面 平 行 性 质 aba/面 面 平 行 性 质 1 /a 面 面 平 行 性 质 / A b a a b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：线 线 线 面 面 面 三 垂 线 定 理 、 逆 定 理 PAOaPOA,为在 内 射 影则 线 面 垂 直 判 定 1 面 面 垂 直 判 定 abO
2、l, a 线 面 垂 直 定 义 lal 面 面 垂 直 性 质 ， 推 论 2 baa, a面 面 垂 直 定 义 ll， 且 二 面 角成 直 二 面 角3. 平行与垂直关系的转化： 线 线 线 面 面 面 线 面 垂 直 判 定 2 面 面 平 行 判 定 2 线 面 垂 直 性 质 2 面 面 平 行 性 质 3 ab/ abb/ a/ /a a 4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。 ”5. 唯一性结论：（三）空间中的角与距离1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角 ：090（2）直线与平面所成的角：090（ 时 ， 或 ）b（3）二面角：二面角的平面角 ，
3、01802. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离构造三角形，解三角形，求该线段的长。4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。【典型例题】例. 在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点，那么 AM 与 CM 所成角的余弦值为（ ）52.53.20.B23.A分析：如图，取 AB 中点 E，CC 1 中点 F 连结
4、 B1E、B 1F、EF则 B1E/AM，B 1F/NC EB 1F 为 AM 与 CN 所成的角又棱长为 1 B5262， ，cosEFEF125选 D例 3. 已 知 直 线 平 面 ， 直 线 平 面 ， 有 下 面 四 个 命 题 ：lm / /llml其中正确的两个命题是（ ）A. 与 B. 与 C. 与 D. 与分析：对 于 正 确llml/对 于 ， 如 图lal/错对 于 正 确lm/对 于 ， 如 图lm/错正确，选 D例 4. 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点
5、F。 （1）证明 PA/面 EDB。 （2）PB平面 EFD。证：（1）连 AC，AC 交 BD 于 O，连 EO底面 ABCD 是正方形点 O 是 AC 中点又 E 为 PC 中点EO/PA又 面 ， 且 面DBPAEB PA/面 EDB（2）PD底面 ABCD BCPD又 且C BC面 PDC BCDE又 E 为等直角三角形中点 CP且 DE面 PBC DEPB 又 已 知 且EFBDE PB 面 DEF例 5. 正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB 1BC 1，求证：A 1CBC 1。证明：设 E、E 1 分别是 BC、B 1C1 的中点，连 AE，A 1E1，B 1E，E 1C则
6、面 ， 面 及AA/BCEAB面 面11111/注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。例 6. 下列正方体中，l 是一条体对角线， M、N、P 分别为其所在棱的中点，如何证明 l面 MNP。（ 1） D1 P C1 M A1 B1 l D C A B N （ 2） D1 C1 A1 B1 l N M D C P A B （ 3） D1 C1 A1 P B1 N l D C M A B 分析： 在 侧 面 的 射 影 显 然 与 、 垂 直l NMPNlP， 面 显 然 分 别 与 在 底 面 上 射 影 垂 直 及 与 垂 直l M面如图，取棱 A1A、DC、B 1C1 的中点，分别记
7、为 E、F、G，显然 EMFNGP 为平面图形，而 D1B 与该平面垂直l面 MNP例 7. 如 图 ， 斜 三 棱 柱 中 ， ， ， ，ABACB810ACB=90，侧棱与底面成 60的角。（ ） 求 证 ： 面 面 ；1AC（ ） 求 侧 面 的 面 积 。2B分析： 要 证 明 面 面 ， 只 要 证 明 面 ， 又 ， 只 要ACBCABCA 证 明 ， 故 只 要 证 明 平 面 。BCA 证明： （ ） 为 菱 形1 又 面 B 又ACB=90，即 ACBC C面 又 面 面 面BCAAB（ ） 作 于2D面 面 ， 为 交 线 DABC面与 底 面 成 的 角 ， 即 为 侧
8、棱 60 过 作 于 ， 连 结 ， 则EABE又 ，D860486043cossinD 为 AC 中点在 中RtABC ADB61025E ()(2224358SEAB平 行 四 边 形 108516例 8. 已知 RtABC 中， C=90，AC=8 ，BC=6，D、E 分别是 AB、AC 的中点，沿 DE 将ABC 折成直二面角，使 A 到 A的位置（如图） 。求：（1）C 到 AD 的距离；（2）D 到平面 ABC 的距离；（3）AD 与平面 ABC 所成角的正弦值。解：（1）二面角 A DEB 是直二面角又 AEED，CEED ED面 AEC 及 EC面 AED作 EFAD 于 F，
9、连结 CF，则 CFAD CF 即为 C 点到直线 AD 的距离在 RtAED 中，EFAD=AEED EF43512CE22154()/BCADEB/D2面，面，）（ DE/ 面 ABCE 到面 ABC 的距离即为 D 点到平面 ABC 的距离过 E 作 EMAC 于 M ED 面 AEC 又 BC/EDBC面 AEC BCEM EM面 ABC 为 点 到 平 面 的 距 离 即 为 点 到 面 的 距 离 且ABCABCEM =2或者用体积法：由 VDABCD 即 13ShABCBCD hSEEABC 212（ ） 设 与 平 面 所 成 角 为35DA2hD2 及的 距 离 为点 到 面
10、） 知又 由 （sinhA25例 9. 如 图 ， 直 三 棱 柱 中 ， ， ， ， 侧 棱BCACBCB19012M11 1， 侧 面 的 两 条 对 角 线 交 点 为 ， 的 中 点 为 。（ ） 求 证 ： 平 面 ；DM（ ） 求 面 与 面 所 成 二 面 角 的 大 小 。21（1）证明： 连 结 ， 则CABC112又 为 中 点 DBD易 知 面111是 在 底 面 上 射 影故 只 要 MC1设 BE在 和 中RttBBM11112又 90C11ttM B1又 90 CCEB1 90 MCBCD1由 知 面D（2）解： AB123D11即 为 正 三 角 形 ， 取 中
11、点 ， 则FB1又取 BC 中点 N，连结 NF NC/2又 NFBD 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角FB1又 ， DB22261()F123，在 中 由 余 弦 定 理DCB1 cos ()() NFNBF121223613 所 求 二 面 角 为 arcs3【模拟试题】一. 选择题1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（ ）A. 成异面直线 B. 相交 C. 平行 D. 平行或相交2. 已知直线 a，b，平面 ， ， ，有下列四个命题 /， ； /， ； ， ； aba， ， /其中正确的命题有（ ）A. B. C. D. 以上都不对3. 边长为 a
12、的正三角形 ABC 中，ADBC 于 D，沿 AD 折成二面角 BAD C 后，a12，这时二面角 BADC 的大小为（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 904. 设 a，b 是两条异面直线，P 是 a，b 外的一点，则下列结论正确的是（ ）A. 过 P 有一条直线和 a，b 都平行B. 过 P 有一条直线和 a， b 都相交C. 过 P 有一条直线和 a， b 都垂直D. 过 P 有一个平面与 a，b 都平行5. 若 a，b 是异面直线，点 A、B 在直线 a 上，点 C、 D 在直线 b 上，且 AD=AC，BD=BC ，则直线 a，b 所成的角为（ ）A. 90 B. 60
13、C. 45 D. 30二. 填空题6. 设正方体 ABCD1的棱长为 1，则（1）A 点到 1的距离为_（2）A 点到 的距离为_（3）A 点到面 BD1的距离为_（4）A 点到面 的距离为_（5） 11与 面 的距离为_7. 如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 DCB、 中点，现沿 AE、AF、EF 把它折成一个四面体，使 B、D 、C 三点重合于 G，则 VAEF=_。8. 把边长为 a 的正三角形 ABC 沿高线 AD 折成 60的二面角，则点 A 到 BC 的距离为_。9. 如图 PA O 面，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，E、F 分别是 A 在 PB、PC 上的射影
14、，给出下D C A B D1 C1 A1 B1 列结论：AFPB，EFPB ，AF BC ，AE 平面 PBC，其中正确命题的序号是_。10. 平面 平 面 ，其交线为 l， AB， ，AB 与 所成角为 30，则 AB 与 所成角的取值范围是_。三. 解答题11. 四面体 ABCS 中，SB、SC、SA 两两垂直，SBA=45，SBC=60，M 为 AB 的中点。求：（1）BC 与面 SAB 所成的角；（2）SC 与平面 ABC 所成角的正弦值。13. 在矩形 ABCD 中，已知ABD12，E 是 AD 的中点，沿 BE 将ABE 折到 ABE的位置，使ACD。（1）求证：平面 E平面 BCDE。（2）求 和面 BCD 所成角的大小。14. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中，ABC=90，SA面 ABCD，SA=AB=BC=1，AD12。（I）求 VSABCD；（II）求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值。【试题答案】一. 1. C 2. C 3. C4. C（当 P 点和直线 a 确定的平面 与 b 平行时，则过 P 点的直线与 a 不相交，B 错，当 P 点在 a 或 b 上时，D 不成立）5. A二. 6. （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ）162324352
