1、二面角的求法一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例 1（全国卷理）如图，四棱锥 SABCD中，底面 为矩形， SD底面 ABC， 2D2DCS，点 M 在侧棱 上， =60（I）证明：M 在侧棱 的中点 （II）求二面角 SMB的大小。练习 1（山东）如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD，,E，F 分别是 BC, PC 的中点.（）证明：AEPD; （）若 H 为 PD 上的动点，60
2、ABCEH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 ，求二面角 EAFC 的余弦值.62二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。例 2(山东卷理) 如图，在直四棱柱 ABCD-A 1B C D 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E、E 1、 F 分别是棱 AD、AA 1、AB 的中点。(1)证明：直线 EE 1/平面 FCC ； (2)求二面角 B-FC -C 的余弦值。 练习 2（天津）如图，在四棱锥 中，底面 是
3、矩形ABCP已知 60,2,2,3DAB（）证明 平面 ； （）求异面直线 与 所成的角的大小；PAD（）求二面角 的大小三补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱） ，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例 3（湖南）如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60，E是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA 2.（）证明：平面 PBE平面 PAB;（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小.练习 3 已知斜三棱
4、柱 ABCA1B1C1 的棱长都是 a，侧棱与底面成 600 的角，侧面 BCC1B1底面ABC。（1）求证：AC 1BC ；（2）求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。A B CEDPE ABCFE1A1B1C1D1D四、射影面积法（ ）cosSq=射凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。斜射S例 4 （北京理）如图，在三棱锥 中， ， ，PABC290ACB， APB（）求证： ；C（）求二面角 的大小；练习 4： 如图 5，E 为正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 CC1
5、的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成锐角的余弦值.五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例 4：（天津卷理）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 12AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD 平面 CDE；求二面角 A-CD-E 的余弦值。
6、练习 5、 （湖北）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 .1ABCABC1（）求证： ；AB（）若直线 与平面 所成的角为 ,二面角 的大小为 ，试判断 与C11的大小关系，并予以证明.ACBPA1D1B1C1EDBCA图5二面角大小的求法的归类分析一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点） ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例 1 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，求二面角 B-PC-D 的大小。二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面 角；例
7、2 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA平面 ABCD，PA=AB=a， ABC=30，求二面角 P- BC-A 的大小。三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例 3 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，求 B-PC-D 的大小。四、射影面积法（ ）cosSq=射凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小，其中 为平面角的大小，此方法不必在图形中画
8、出平面角；斜射S例 4 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。五、补棱法:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法） 。例 5、在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。 （补形化为定义法）pAB CDLHjAB CDPHjAB CDPHlAB CDP六、向量法：向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，
9、用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例 6、 （湖北）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 .1ABCABC1（）求证： ；（）若直线 与平面 所成的角为 ,二面角 的大小为 ，试判断 与 的大小关系，并予以证明.11由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：二面角大小的求法答案定义法：本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1 中从二面角 SAMB 中半平面 ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ） ；在另一半平面 ASM 内过该垂足（F）作棱 AM 的垂线（如 GF） ，这两
10、条垂线（BF、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例 1（2009 全国卷理）证（I）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形 AM中过点 作 FA交 M于点，则点 为 AM 的中点，过 F 点在平面 ASM 内作 G， GF 交 AS 于 G，连结 AC，ADCADS，AS-AC，且 M 是 SC 的中点，AMSC， GFAM，GFAS，又 为 AM 的中点，GF 是AMS 的中位线，点 G 是 AS 的中点。则GFB即为所求二面角. ，则 ，又 ， ,2SM26CS2 ， 是 等 边 三 角 形 ， ,
11、 2A06BA3BF在 中， ， ， ，09G214,二面角 SAM的大小为3622132cos FBG )36arcos(练习 1（2008 山东）分析：第 1 题容易发现，可通过证 AEAD 后推出 AE平面 APD，使命题获证，而第 2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S，和两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦值。 （答案：二面角的余弦值为 ）51二、三垂线法本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例 2）过二面角 B-FC 1-C 中半平面FGBFC 上的一已知点 B 作另一半平
12、面 FC1C 的垂线，得垂足 O；再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂线，得垂足 P，连结起点与终点得斜线段 PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线 PB、垂线 BO、射影 OP） 。再解直角三角形求二面角的度数。例 2(2009 山东卷理) 证（1）略解（2）因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以 BF=BC=CF,BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OBCF,又因为直四棱柱 ABCD-A B C D 中,CC 1平面 ABCD,所以 CC1BO,所以OB 平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OPC 1F,垂足为 P,连接 BP,则OPB为二面
13、角 B-FC -C 的一个平面角, 在BCF 为正三角形中, 3B,在RtCC 1F 中, OPFCC 1F, 1P 2O, 在 RtOPF 中, 243B,7cos142OP,所以二面角 B-FC 1-C 的余弦值为 7.练习 2（2008 天津）分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明 AD平面 PAB 后，容易发现平面 PAB平面 ABCD，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点 P 作棱 BD 的垂线，再作平面 ABCD 的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。 （答案：二面角 的大小为 ）ABD439arctn3补棱法
14、例 3（2008 湖南）分析：本题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.）再在完整图形中的 PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（）证略解: （）延长 AD、 BE 相交于点 F，连结 PF.过点 A 作 AHPB 于 H，由（）知 ,平面 PBE平面 PAB,所以 AH平面 PBE.在 RtABF 中，因为BAF60，所以，AF=2AB=2=AP .在等腰 RtPAF 中，取 PF 的中点 G，连接 AG.则 AGPF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG .所以AGH 是平面 PAD 和平面 PB
15、E 所成二面角的平面角（锐角）.在等腰 RtPAF 中， 在 RtPAB 中， 2.AP25.APBAH所以，在 RtAHG 中， 故平面 PAD 和平面210sin.5HGPBE 所成二面角（锐角）的大小是 10arci.5练习 3 提示：本题需要补棱，可过 A 点作 CB 的平行线 L（答案：所成的二面角为 45O）四、射影面积法（ ）cosSq=射例 4 （2008 北京理）分析：本题要求二面角 BAPC 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面 ABP 与平面 ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出 S 原与 S 射于是得到下面解法。解：（）证略（） ， ， APBCBP 又
16、 ， 又 ，即 ，且 ， 平面 取PCAC90AAC中点 连结 ， 是 在平面 内的射影， EB， EEAEPACE 是ABE 在平面 ACP 内的射影，于是可求得： ，22， 则 ，622 11SACE射EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 OPA B CEDPFGHAC BB1C1A1LACBEP,36212EBASBE原设二面角 的大小为 ，则PC1cos原射S二面角 的大小为 3ar练习 4：分析 平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1 交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线，这给解题带来一定的难度。考虑到三角形 AB1E 在平面
17、 A1B1C1D1上的射影是三角形 A1B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。 （答案：所求二面角的余弦值为 cos= ）.32五、向量法例 4：（2009 天津卷理）现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点 为坐标原点。设 ，1AB依题意得， 01B，C， 02D ， 1E ， 0F.21M，（I） ，解 ： 1F ， DEBcos，于 是 所以异面直线 F与DE所成的角的大小为 06.（II ）证明： ，由 2AM ， 1E 0AC02A， 可 得， ，.C.C 平 面， 故又，因 此 ， D平 面， 所 以 平 面平 面而 （III ） .0)(Euzy
18、xu， 则，的 法 向 量 为解 ： 设 平 面 .1(.0）， 可 得令，于 是 uxzy又由题设，平面 A的一个法向量为 .1，v练习 5、 （2008 湖北）分析：由已知条件可知：平面 ABB1 A1平面 BCC1 B1平面 ABC 于是很容易想到以 B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。（答案： ，且 ）2arcsin22,acbc射总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。1.、 AB=AD=a ， , 过 B 作 BHPC
19、 于 H，连结PABDPaBDCPCDHDHPC 故BHD 为二面角 B-PC-D 的平面角 因 PB= a,BC=a,PC= a, PBBC=SPBC= PCBH231212则 BH= =DH 又 BD= , 在BHD 中由余弦定理，得：3a2acosBHD , 又 0BHD 则BHD= ，二面角 B-PC-D 的大小是 。22631aBHDA 323PQ MNB ODA2 解：（三垂线法）如图 PA平面 BD，过 A 作 AHBC 于 H，连结 PH，则 PHBC 又 AHBC，故PHA 是二面角 P-BC-A 的平面角，在 RtABH 中，AH=ABsinABC=aSin30= , 在
20、RtPHA 中，tanPHA=PA/AH= ，则PHA=arctan2. 2a2a3 解（垂面法）如图 PA平面 BD BDAC BDBC 过 BD 作平面 BDHPC 于 H PCDH、BH BHD 为二面角 B-PC-D的平面角，因 PB= a,BC=a,PC= a, PBBC=SPBC= PCBH, 则 BH= =DH， 又 BD= 在BHD 中由余弦定2312123a2a理，得：cosBHD 又263aaBHDA0BHD 则BHD= ，二面角 B-PC-D 的大小是 。324 解（面积法）如图 , 同时，BC平面PADBA于BPA 于 B ，故PBA 是PCD 在平面 PBA 上的射影, 设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 ，则 cos= 2BACDsS=455 解（补形化为定义法）如图 将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCD-PQMN，则 PQPA、PD，于是APD 是两面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中，PA=AD，则APD=45。即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为 45jAB CDPHlAB CDP
