1、高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析版权所有 河南省睢县高级中学 李仲旭 电话： 13598362767 邮箱：-18-五、竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况， 经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型 .一、两种模型模型 1：“轻绳类”绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力( 圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图 1、图 2 所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1)临界条件：在最高点，绳子( 或圆圈轨道) 对小球没有力的作用， vgR0(2)小球能通过最高点的条件： ，
2、当 时vgRvg绳对球产生拉力，圆圈轨道对 球产生向下的压力.(3)小球不能过最高点的条件： ，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运 动.模型 2：“轻杆类” 有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图 3 所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类” ， 如图 4 所示，)：(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度 0v(2)小球过最高点时， 轻杆对小球的弹力情况：当 时，轻杆对小球有竖直向上的支持力 ，其N大小等于小球的重力，即 ；Nmg当 时，因 ,则 .0vgR2vR2vgmR轻杆对小球的支持力 竖直向上，其大小随速度
3、的增大而减小，其取值范围是 0g当 时 ， ；v0N当 时 ，则 ，即 ，gR2vmR2vNg杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时， 临界条件应是小球重力、电场力和洛 伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度 (应根据具体情况具体分析)vgR另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的 换成g，若在其他天体上则把 换 成 .g月 天 体二、两种模型的应用【例 1】如图 5 所示，质量为 的小球从光滑的斜面m轨道的 点由静止下滑，A若小球恰能通过半径为的竖直圆形轨
4、道的最R高点 而做圆周运动，B问 点的高度 至少应h为多少?【解析】此题属于“轻绳类” ，其中“恰能”是隐含条件，即小球在最高点的临界速度是 ，根据机械能守恒定律得vRg临 界 21mgh临 界把 代入上式得： v临 界 min52h【例 2】如图 6 所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带负电 、质量为 且重力大于所受电场力的小球，q从光滑的斜面轨道的 点由静止下滑，若小球恰能通A过半径为 的竖直圆形轨道的最高点 而做圆周运动，RB问 点的高度 至少应为多少?Ah【解析】此题属于“轻杆类” ，带电小球在圆形轨道的最高点 受到三个力作用:电场力 ，方向竖BFqE直向上；重力 ；弹力 ，方向竖直向
5、下由向心mgN力公式，有 2BvgNqER要使小球恰能通过圆形轨道的最高点而做圆周运动，B说明小球此时处于临界状态，其速率为临界速度，临界条件是 由此可列出小球B 0N的临界状态方程为 2BvmgqER根据动能定理，有 21()()Bhmv解之得： min52h说明 把式中的 换成 ，较容易求出gqE2BvRmin52hR【例 3】如图 6 所示，在竖直向下的匀强电场中，一个带正电 、质量为 且重力大于所受电场力的小球，qm从光滑的斜面轨道的 点由静止下滑，若小球恰能通A过半径为 的竖直圆形轨道的最高点 而做圆周运动，B问 点的高度 至少应为多少?Ah【解析】此题属于“轻绳类” ，题中“恰能”
6、是隐含条件，要使带电小球恰能通过圆形轨道的最高点 而做圆周运动，说明小球此时处于临界状态，其速率图 1 图 2图 3 图 4图 5图 6高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析版权所有 河南省睢县高级中学 李仲旭 电话： 13598362767 邮箱：-19-为临界速度，临界条件是 由此可列出小球Bv 0N的临界状态方程为： 2BvmgqER根据动能定理，有 21()()Bhm由上述二式解得： min52小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中， 电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关我 们不妨可以这
7、样认为，例 2 中的“ 等效重力加速度 ”比例 1 中的1g重力加速度 减小，例 3 中的 “等效重力加速度 ”比g 2例 1 中的重力加速度 增大例 2 中 ， ；1vR临 界 21mhRmv临 界例 3 中 ， 2g临 界 2g临 界把 代入各自对应的式子， 结果 、 分别都约v临 界 12去了，故 min5hR【例 4】如图 7 所示，一个带正电 、质量为q的电荷，从光滑的斜面轨道的 点由静止下A滑，若小球恰能通过半径为 的竖直圆形轨道R的最高点 (圆弧左半B部分加上垂直纸面向外的匀强磁场)，问点 的高度至少应为多少?A【解析】此题属于“轻绳类” ，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通
8、过圆形轨道的最高点 ，说明B小球此时处于临界状态，其速率 为临界速率，临界Bv条件是 ，由此可列出小球的临界状态方程为0N2BvmgqR， 21h由式可得: 24()BmgvqR因 只能取正值，即Bv 2()2Bq则22min 4()8RghqRg【例 5】如图 8 所示，在竖直向下的均匀电场中，一个带正电 、质量为 的电荷，从光滑的斜面轨道的m点由静止下滑，若小球恰能通过半径为 的竖直圆A形轨道的最高点 (圆弧左半部分加上垂直纸面向外B的匀强磁场)，问点 的高度 至少应为多少?Ah【解析】此题属于“轻绳类” ，题中“恰能”是隐含条件，要使小球恰能通过圆形轨道的最高点 ，说明小球B此时处于临界
9、状态，其速率 为临界v速率，临界条件是 ，由此可列出小球的临界状0N态方程为 2BBvmgqER21()()h由式可得: 4()()BmvqgqE因 只能取正值，即Bv24()()2RqgmR则 222in 4()()8()mhqBgqEgER小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度 的方向垂直，它们对小球都不做功，v而临界条件是 0N【例 6】如图 9 所示，为竖直平面内的光ABD滑绝缘轨道，其中 段AB是水平的， 段为半径 的半圆，两0.2mR段轨道相切于 点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小 .一不带电的35.01V/mE绝缘小球甲，以速度 沿水平轨道向右运
10、动，与静止0v在 点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两B球的质量均为 ，乙所带电荷量21.kgm， 取 .(水平轨道足够长，甲、52.0Cq/s乙两球 可视为质点，整个运动过程无电荷转移)（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点 ，D求乙在轨道上的首次落点到 点的距离；B（2）在满足(1)的条件下。求的甲的速度 ；0v（3）若甲仍以速度 向右运动，增大甲的质量，保0v持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到 点的B距离范围.【解析】 （1）在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为 ，乙离开 点到达水平轨道Dv的时间为 ，乙的落点到 点的距离为 ，则tBx图 7图 8图 9
11、高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析版权所有 河南省睢县高级中学 李仲旭 电话： 13598362767 邮箱：-20- 2DvmgqER21()2mgqEtxt联立得 0.4x（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为 、 ，根据动v甲 乙量守恒定律和机械能守恒定律有0mvv乙甲 22211乙甲联立得 0乙由动能定理，得 22D1mgRqEmv乙联立得 05()5/sv（3）设甲的质量为 ，碰撞后甲、乙的速度分别为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有Mmv、 0mv 22211Mv联立得 0mv11由 和 ，可得 11 02mv 12设乙球过 点时速度为 ，由动能定理得DD2212gRqE13联
12、立 得 1213 /s8/sv 14设乙在水平轨道上的落点距 点的距离 ，有 BxDxvt15联立 得：1415 0.m.6x 【例 7】如图 10 所示，杆长为 ，L一端固定一质量为 的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动 求：210/sg(1)小球在最高点 的速度 为AAv多少时，才能使杆和小球 的作m用力为零?(2)小球在最高点 时，杆对小球的作用力 为拉力F和推力时的临界速度分别是多少?(3)若 ， ， ，则在最高0.5kgm.L0.4/sAv点 和最低点 ，杆对小球 的作用力多大?AB【解析】此题属于“轻杆类” 若杆和小球 之间无m相互作用力，那么小球做
13、圆周运动的向心力仅由重力提供，根据牛顿第二定律，有：g 2AvgL解得 AvL(2)若小球 在最高点 时，受拉力 ，受力如图 11mAF所示，由牛顿第二定律，有: 21vFmgL解得 1Fg若小球 在最高点 时，受推力 ，受力如图 12AF所示，由牛顿第二定律，有: 2vmL解得： 2FLvg可见 是杆对小球 的作用力 在推力和A F拉力之间突变的临界速度(3)杆长 时，临界速度 ，0.5mL02.m/svgL，杆对小球有推力 ，有.4/sAvvA，则 由 至 只有重力做2AgF4.8NFB功，机械能守恒设 点所处水平面为参考平面,则B,2211AmvLv解得 24.5m/sBg在最低点 ，小
14、球 受拉力 ，由BF2BvgmL解得 2.3NBBvFL【例 8】如图 13 所示，光滑的圆管轨道 部分平直，A部分是处于竖直平面内半径为 的半圆，圆管截CR面半径 ，有质量为 、半径比 略小的光滑小球以rmr水平初速度度 射入圆管.0v(1)若要小球能从 端出来，初速 多大?C0v(2)在小球从 端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速度 各应满足什么条件?0v图 13【解析】本题综合考查了竖直平面内圆周运动临界问题；属于“轻杆类” (1)小球恰好能到达最高点的条件是 ，由机械能0Cv守恒，初速度应满足： ，201mgR即 04vgR要使小球能从 端出来，需 ，所以入射速CCv度 0(2
15、)在小球从 端出来瞬间，对管壁压力有以三种典型情况：刚好对管壁无压力，此时重力恰好充当向心力，图 10图 11 图 12高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析版权所有 河南省睢县高级中学 李仲旭 电话： 13598362767 邮箱：-21-即 .2CvmgL由机械能守恒定律，知 22011CmvgRv联立解得: 05vgR对下管壁有压力，应有，相应的入射速度 应2CmgL0v满足 045vg对上管壁有压力，此时应有，相应的入射速度 应2Cg0v满足 05vR小结 本题中的小球不能做匀速圆周运动，它的合力除最高点与最低点过圆心外，其他条件下均不 过圆心，因而在一般位置处，它具有切向加速度 .
16、【例 9】如图 14 所示，一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径(比细管的半径大得多)，R在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球 ，AB、质量分别为 ，沿m、环形管顺时针运动，当球运动到最低点时，速度为 ， 球恰到最高点，AAv若要此时圆管的合力为零， 的速度 为多大？B【解析】本题综合考察了竖直平面内圆周运动临界问题的分析，属于“轻杆类” 在最低点对 球进行受力分析，如图 15 所示，应用牛顿第二定律有2AAvNmgR由牛顿第三定律，球 对管有向下的压力 ，AN根据题意 ,即球 对对管有向上的压力 ，AB B球 受力情况，如图 16 所示，由牛顿第三定律，管对球 有向下的压力 ,
17、，对球 应用牛顿NB第二定律，有： ,由于2BvmgRAB联立可得 2(1)Av三、小球在凸、凹半球上运动如图 17 所示，小球在凸半球上最高点运动时：(1)当 ，小球不会脱离凸半球且能通过凸半0vgR球的最高点(2)当 ，因轨道对小球不能产生弹力，故此时小球将刚好脱离轨道做平抛运动图 17 图 18(3)当 ，小球已脱离凸半球最高点做平抛运动vgR如图 18 所示，小球若通过凹半球的最低点 时速度只要即可0由以上分析可知，通过凸 (或凹)半球最高点( 或最低点)的临界条件是小球速度 (或 )0vgR0v【例 10】如图 19 所示，汽车质量为 ，以不41.5k变速率通过凸形路面，路面半径为
18、，若汽车安全m行驶，则汽车不脱离最高点的临界速度为多少?若汽车达到临界速度时将做何种运动?水平运动位移为多少? 【解析】(1)此题属于“轻绳类” ，即轨道只能沿某一方向给物体作用力，临界条件为汽车对轨道压力，则汽车不脱离最高点的临界速度为 ，则有：0N 0v，可得 ；2vmgR0gR(2)当 时，汽车在轨道最高点仅受重力作用，0且有初速度 ，故做平抛运动，则， ,可得: 21gt0xvt2x【例 11】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 的小球，甩m动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离 后落地，如图 20 所示已d知
19、握绳的手离地面高度为 ，手d与球之间的绳长为 ，重力加速度为 忽略手的34g运动半径和空气阻力（1）求绳断时球的速度大小 和球落地时的速度大1v小 2v（2）问绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？【解析】 （1）设绳断后球飞行时间为 ，由平抛运动t规律，有：竖直方向 214dg水平方向 ，得：1vt1d由机械能守恒定律，有：，得：2213()4mvgd25g（2）设绳能承受的最大拉力为 ，这也是球受到绳T图 14图 15 图 16图 19图 20高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖
20、析版权所有 河南省睢县高级中学 李仲旭 电话： 13598362767 邮箱：-22-的最大拉力大小，球做圆周运动的半径为 34Rd由向心力公式，有 ，解得21vTmg1Tmg（3）设绳长为 ，绳断时球的速度大小为 ，绳承受l 3v的最大拉力不变，有 ，得23vTgl38gl绳断后球做平抛运动，竖直 位移为 ，水平位移为dl，时间为 ，有： ，x1t21dlt31xvt得： ，()43l当 时， 有极大值 2dlxmax23d总结 竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题，其关键是分清属于“轻绳” 类还是“ 轻杆”类， “轻绳”只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力，在最高点 对物体拉力为零是临界条件，即 ；在最高点， “轻杆”对物体既0F拉可以产生拉力，也可以产生支持力，还可以对物体的作用力为零，杆与物体之间的作用力 为零是临界条件，即 0N在处理带电小球在竖直平面内做圆周运动时，一定要区分“几何最高点” 与“ 力学最高点 ”不一定是对应的，上面总结的“轻绳类“ 和“轻杆类”规律必须是“ 力学最高点”
