1、第十五届小学希望杯全国数学邀请赛四年级第 2 试 真题1. 计算：110025411=_2. 有 15 个数，它们的平均数是 17，加入 1 个数后，平均数变成 20，则加入的数是_3. 若 abc 和 def 是两个三位数，且 a=b+1, b=c+2, abc3+4=def=,则 def= 4. 已知 a+b=100，若 a 除以 3，余数是 2，b 除以 7，余数是 5，则 ab 的值最大是_5. 如图所示，两个完全相同的等腰三角形中各有一个正方形，图乙中的正方形面积为 36 平方厘米，则图甲中的正方形面积为_平方厘米6. 边长为 20 的正方形的面积恰好等于边长为 a 和边长为 b 的
2、两个正方形的面积的和，若 a 和 b都是自然数，则 a+b=_7. 今年是 2017 年，年份的数字和是 10，则本世纪内，数字和是 10 的所有年份的和是_8. 在纸上画 2 个圆，最多可以得到 2 个交点，画 3 个圆，最多可得到 6 个交点。那么，如果在纸上画 10 个圆，最多可得到_个交点9. 小红带了面额 50 元，20 元，10 元的人民币各 5 张，6 张，7 张，她买了 230 元的商品，那么有_种付款方式。10. 甲、乙、丙的三个数的和是 2017，甲比乙的 2 倍少 3，乙比丙的 3 倍多 20，则甲是_11. 篮球比赛中，三分线外投中 1 球得 3 分，三分线内投中 1
3、球得 2 分，罚篮投中 1 球得 1 分，某球队在一次比赛中共投进 32 球，得 65 分，已知 2 分球的个数比三分球的个数的 4 倍多 3 个，则这个球队在比赛中罚篮共投中_球12. 篮球比赛中，三分线外投中 1 球得 3 分，三分线内投中 1 球得 2 分，罚篮投中 1 球得 1 分，某球队在一次比赛中共投进 32 球，得 65 分，已知 2 分球的个数比三分球的个数的 4 倍多 3 个，则这个球队在比赛中罚篮共投中_球二、解答题（每小题 15 分，共 60 分.）每题都要写出推算过程.1313.甲、乙两人同时从 A、B 两地出发，相向而行，甲每分钟走 70 米，乙每分钟走 60 米，两
4、人在距离中点 80 米的地方相遇，求 A，B 两地之间的距离14.老师给学生分水果，准备了两种水果，其中橘子的个数比苹果的个数的 3 倍多 3 个，每人分2 个苹果，则余下 6 个苹果，每人分 7 个橘子，最后一人只能分得 1 个橘子，求学生的人数15. 两个相同的正方形重合在一起，将上层的正方形向右移动 3 厘米，再向下移动 5 厘米，得到图中的图形，已知阴影部分的面积是 57 平方厘米，求正方形的边长。16. 商店推出某款新手机的分期付款活动，有两种方案供选择：方案一：第一个月付款 800 元，以后每月付款 200 元方案二：前一半时间每月付款 350 元，后一半时间每月付款 150 元两
5、种方案付款总额和时间都相同，求这款手机的价格。第十五届小学希望杯全国数学邀请赛四年级第 2 试真题答案01.计算：110025411=_【答案】16【学习时间点】启智数学 B 体系 三年级秋季第 1 讲【考点】乘除法凑整【解析】110025 4 11=110011254=100254=1602.有 15 个数，它们的平均数是 17，加入 1 个数后，平均数变成 20，则加入的数是_【答案】65【学习时间点】启智数学 B 体系 四年级秋季第 3 讲【考点】平均数，两组平均数间的关系【解析】第一组数的总和是 1517=255，加入一个数之后，第二组数总共有 15+1=16 个数，其平均数是 20，
6、那么第二组数的总和是 1620=320。加入的数是 320-255=65。03【答案】964【学习时间点】启智数学 B 体系 三年级暑假第 5 讲【考点】枚举法【解析】由题目可知，a=b+1=c+2+1=c+3，所以 a=c+3,b=c+2,现在从小到大进行枚举：当 c=0 时，b=2,a=3,第一个三位数是 320，所以答案是 3203+4=964，符合题意。当 c=1 时，b=3,a=4,第二个三位数是 431，此时4313+4=1297，不是三位数，不符合题意，并且之后的答案都不会是三位数。所以答案是 964。04 已知 a+b=100，若 a 除以 3，余数是 2，b 除以 7，余数是
7、 5，则 ab 的值最大是_【答案】2491【学习时间点】启智数学 B 体系 四年级春季第 4 讲【考点】整除，余数，和定积大【解析】a 可以表示成 3x+2 的形式，b 可以表示成 7y+5 的形式，代入 a+b=100 中去，得到 3x+7y=93，因为 3x和 93 都可以被 3 整除，根据整除的可减性，可知 7y 也可以被 3 整除，又因为 7 不能被 3 整除，所以得知 y 可以被 3 整除，所以 b 进一步可以表示成 21z+5 的形式，因为 b230，不符合题意综合以上情况，总共有 1+4+4+2=11 种付款方式。10 甲、乙、丙的三个数的和是 2017，甲比乙的 2 倍少 3
8、，乙比丙的 3 倍多 20，则甲是_【答案】1213【学习时间点】启智数学 B 体系 三年级秋季第 5 讲【考点】和差倍线段图，设份数【解析】由线段图可知，令丙为 1 份，乙是 3 份多 20，甲线段到红色端点处，有 3 份+20+3 份+20，总共是 6 份多 40，可实际上甲线段只到右边的黑色端点处，未到红色顶端处，所以甲线段实际长度为 6 份多 37。那现在丙是 1 份，乙是 3 份多 20，甲是 6 份多 37，三者的和是 2017，可知道 1+3+6=10 份是对应 2017-37-20=1960 的，所以 1 份是 196010=196，则甲是 1966+37=1213。11 篮球
9、比赛中，三分线外投中 1 球得 3 分，三分线内投中 1 球得 2 分，罚篮投中 1 球得 1 分，某球队在一次比赛中共投进 32 球，得 65 分，已知 2 分球的个数比三分球的个数的 4 倍多 3 个，则这个球队在比赛中罚篮共投中_球【答案】4【学习时间点】启智数学 B 体系 三年级秋季第 11 讲【考点】鸡兔同笼，寻找问题中的“头”和“腿”【解析】可以让题目中的 2 分球与三分球之间成整倍关系，即 65-23=59 分，32-3=29 球。那题目可转化成：共进 29 球，得 59 分，且此时已知 2 分球的个数是三分球个数的 4 倍，那根据多元素鸡兔同笼的做法，可将 2分球与三分球合体为
10、一个物体，即（24+31 ）（1+4 ）=2.2，即将 2 分球与三分球合体为“2.2 分球”，那题目可转化为：罚球有 1 个头， 1 条腿。5 个“2.2 分球”有 11 条腿。总共有 29 个头，59 条腿。那进一步扩倍，将所有腿分成 5 条小腿，即题目转变成：罚球有 1 个头，5 条小腿，1 个“2.2 分球”有 1 个头，11 条小腿。总共有 29 个头，595=295 条小腿。每个 “2.2 分球”比罚球多 11-5=6 条小腿。假设所有的 29 个头都是“2.2 分球”，那么应该会有 2911=319 条小腿，可实际上只有 295 条小腿，多出了 319-295=24 条小腿，那罚
11、球的数量应为246=4 个，即这个球队在比赛中罚篮共投中 4 球。12 篮球比赛中，三分线外投中 1 球得 3 分，三分线内投中 1 球得 2 分，罚篮投中 1 球得 1 分，某球队在一次比赛中共投进 32 球，得 65 分，已知 2 分球的个数比三分球的个数的 4 倍多 3 个，则这个球队在比赛中罚篮共投中_球【答案】4【学习时间点】启智数学 B 体系 三年级秋季第 11 讲【考点】鸡兔同笼，寻找问题中的“头”和“腿”【解析】可以让题目中的 2 分球与三分球之间成整倍关系，即 65-23=59 分，32-3=29 球。那题目可转化成：共进 29 球，得 59 分，且此时已知 2 分球的个数是
12、三分球个数的 4 倍，那根据多元素二、解答题（每小题 15 分，共 60 分.）每题都要写出推算过程.13甲、乙两人同时从 A、B 两地出发，相向而行，甲每分钟走 70 米，乙每分钟走 60 米，两人在距离中点 80 米的地方相遇，求 A，B 两地之间的距离【答案】2080 米【学习时间点】启智数学 B 体系 三年级春季第 13 讲【考点】行程问题线段图；速度差和路程差的分析；速度和与路程和的分析【解析】由路线图可知，甲走了一半路程多 80 米，乙走了一半路程少 80 米，甲乙的路程差为 80+80=160 米，因为速度差时间=路程差，速度差为 80-70=10 米/分，所以时间为 16010
13、=16 分钟，相遇问题中，根据相遇问题的公式：速度和时间= 总路程，得：A、B 两地距离为（70+60）16=2080 米。14 老师给学生分水果，准备了两种水果，其中橘子的个数比苹果的个数的 3 倍多 3 个，每人分 2 个苹果，则余下 6 个苹果，每人分 7 个橘子，最后一人只能分得 1 个橘子，求学生的人数【答案】27 人【学习时间点】启智数学 B 体系 四年级暑假第 3 讲【考点】和差倍综合应用题，画线段图，份数扩倍，盈亏问题思想【解析】题目中出现和差倍关系，那先假设苹果为 1 份，可是因为每人分 2 个苹果，所以需要扩倍份数。由线段图可知：苹果有 2 份，橘子有 6 份多 3 个，每
14、个学生分 7 个橘子，最后一人只有 1 个，可以假设橘子多出 6 个（红色线段部分），则橘子给每个学生分 7 个，正好可以分完。同理，可以让苹果总数少 6 个，正好每个学生分 2 个。从线段图可得知：2 份学生=2 份水果 -6 个（苹果与学生的线段图）1 份学生=1 份水果-3 个7 份学生=7 份水果-21 个且 7 分学生=6 份水果 +9 个（橘子与学生的线段图），所以： 7 份水果-21 个=6 份水果+9 个。得到 1 份水果是 30 个，所以学生是有 30-3=27 人。15 两个相同的正方形重合在一起，将上层的正方形向右移动 3 厘米，再向下移动 5 厘米，得到图中的图形，已知
15、阴影部分的面积是 57 平方厘米，求正方形的边长。【答案】9 厘米【学习时间点】启智数学 B 体系 四年级暑假第 6 讲、第 7 讲【考点】巧算面积，图形拼接，寻找份数【解析】将原正方形分成 4 块，先看第、第块的面积和与第、第块的面积和，因为正方形四条边长相等，其关系只与 5 厘米、3 厘米的两条边长相关。所以设第、第 块的面积和是 5 份，则第、第块的面积和则是3 份，且得知（+ ）+（+）=阴影部分面积+ =57+35=72 平方厘米，总共是有 5+3=8 份占 72 平方厘米，所以一份是 728=9 平方厘米，+=59=45 平方厘米，所以正方形边长是 455=9 厘米。16 商店推出
16、某款新手机的分期付款活动，有两种方案供选择：方案一：第一个月付款 800 元，以后每月付款 200 元方案二：前一半时间每月付款 350 元，后一半时间每月付款 150 元两种方案付款总额和时间都相同，求这款手机的价格。【答案】3000 元【学习时间点】启智数学 B 体系 三年级暑假第 3 讲【考点】基本应用题，寻找题目数量关系，寻找题目条件变化下的不变量。【解析】题目中有部分条件发生变化，但是不变化的有两个量：付款总额、时间，根据题目数量关系：平均月付款额=付款总额时间，得知两个方案的平均月付款额是相同的。那方案二中，因为前一半每月付款 350 元，后一半时间每月付款 150 元，所以方案二的平均月付款额是（350+150）2=250 元，所以第一个方案的平均月付款额也是 250 元，那方案一中，第一个月超出了平均月付款额 800-250=550 元，而后的每个月都得多分配
