1、2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， 的联合分布密12(,)pX度函数是一个 p 维的函数，而边际分布讨论是 的子向量的概率分布，其概率密度12(,)pX函数的维数小于 p。2.2 设二维随机向量 服从二元正态分布，写出其联合分布。12()X解：设 的均值向量为 ，协方差矩阵为 ，则其联合分布121221密度函数为。1/2 12 21 1() exp()()f x x2.3 已知随机向量 的联合密度函数为12)X121212()()(,)dcxabxcaxcfxd其中 ， 。求1ab2（1）随机变量 和 的边缘密度函数、均值
2、和方差；X（2）随机变量 和 的协方差和相关系数；12（3）判断 和 是否相互独立。（1）解：随机变量 和 的边缘密度函数、均值和方差；1X21 212()()()()dxcxabxcaxcf dd1221222)()()dc xbabac12 12 20()()()dcdcxtxtd1212 20()()()cdcabattbdba所以 由于 服从均匀分布，则均值为 ，方差为 。1X2同理，由于 服从均匀分布 ，则均值为 ，方差2X2 1,()0xxcdfd其 它 2c为 。21dc（2）解：随机变量 和 的协方差和相关系数；1X212cov(,)x 121212 12()()()dbca
3、dcxabxcaxcx dd()3612cov,x（3）解：判断 和 是否相互独立。X2和 由于 ，所以不独立。12121(,)()xff2.4 设 服从正态分布，已知其协方差矩阵 为对角阵，证明其分量是相互独立的(,p随机变量。解： 因为 的密度函数为12(,)pX 1/211(,.)ex()()pfxx又由于212p221p则21221p 1(,.)pfx211/22 212exp() ()1p p x 2221 3112 ()()()1exp.p pxx 则其分量是相互独立。211()e().pii pii f 2.6 渐近无偏性、有效性和一致性；2.7 设总体服从正态分布， ，有样本
4、。由于 是相互独立的正态分布随(,)pNX12,.nX机向量之和，所以 也服从正态分布。又 111()nnni iii iEE所以 。22111()nnni ii i iDDXX(,)pNX2.8 方法 1： 1()niii1nii1()()niiEX1niiEX。1()ni n方法 2： 1()niiiSX-1(ni ii X-)-X)11()2()()nnii ii i n -)1()()()niiiX-XX1()()niii n-1()()()niiiEn SX-X。 故 为 的无偏估计。1()()niii E- 1nS2.9.设 是从多元正态分布 抽出的一个简单随机样本，试求 的分布。
5、(1)2()nX,., (,)pNX证明： 设 为一正交矩阵，即 。*()11ijnn I令 ，1212n=()=X ,34,iX由 于 独 立 同 正 态 分 布 且 为 正 交 矩 阵所以 。且有12()n 独 立 同 正 态 分 布， ， 。1nnii1()niiEn()VarnZ1()(,23,)naajEr 1naj10najir1()()naajVrr2211nnajjaj所以 独立同 分布。又因为121n (0,)N1()njjiSX1njjX因为 11nni ini i XZ又因为 nnjj 2211 1212nnXX 1212nZZ 所以原式 nnjjnjj ZX11 12.
6、nnZ-故 ，由于 独立同正态分布 ，所以1njjS121,n (0,)pN1(,)njpjW2.10.设 是来自 的简单随机样本， ，()iX,piN1,23,ik（1）已知 且 ，求 和 的估计。2.k1 2.k1（2）已知 求 和 的估计。,解：（1） ， 112.ankinxx12.ankaiii kx(2) 1ln(,)kL 21ln()exp anknp aiaii-1(x)()1l()l()l22ankaiaiip-, ()()21 11ln, ()()0ankaiiiL X解之，得1l(,)()0(,2.)jnj ijji k，1jnjjijx12.jnkjjji kniixx
7、第三章3.1 试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。其基本思想和步骤均可归纳为：第一，提出待检验的假设 和 H1；第二，给出检验的统计量及其服从的分布；0第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界 值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受） 。均值向量的检验：统计量 拒绝域均值向量的检验：在单一变量中当 已知 20()Xzn /2|z当 未知 2 0()tS/2|(1)tn（ 作为 的估计量）221()niiX一个正态总体 00H：协差阵 已知 21200()()(TnpX20T协差阵 未
8、知 21),(pFn 2(1)npF（ ） 2 100(1)()()TnnXS两个正态总体 012H：有共同已知协差阵 12()()(nmTpY20T有共同未知协差阵 2,1)()pFTFnmF（其中 ）2 1()()nn XYSXY协差阵不等 mn-1()(,)pFFpnZSF协差阵不等 1()(,)n- 多个正态总体 kH210：单因素方差 (1)(,)SAFFnkEnF多因素方差 (,1)pT协差阵的检验检验 00pHI：/2/21expnpetrS00p：/2/2*npt检验 12k 012k：统计量 /2/2/11i iknpnnpki iS3.2 试述多元统计中霍特林 分布和威尔克
9、斯 分布分别与一元统计中 t 分布和 F 分布的关系。2 答：（！）霍特林 分布是 t 分布对于多元变量的推广。2而若设 ， 且 与2 212()()()nXt SXS (,)pN(,)pWnSX相互独立， ，则称统计量 的分布为非中心霍特林 T2 分布。p2=()1()若 ， 且 与 相互独立，令 ，则 (,)N0,pWn21Tn。21,1)nTFp（2）威尔克斯 分布在实际应用中经常把 统计量化为 统计量进而化为 统计量，利用 统计 2TF量来解决多元统计分析中有关检验问题。与 统计量的关系p1n2统计量及分别任意 任意 1 111(,)(,)npnFp 任意 任意 2 11 1(,2)(
10、,)npn1 任意 任意 112212(,)(,)F2 任意 任意 121 212(,)(,)nnn 3.3 试述威尔克斯统计量在多元方差分析中的重要意义。答：威尔克斯统计量在多元方差分析中是用于检验均值的统计量。012kH： 1ijHij： 至 少 存 在 使用似然比原则构成的检验统计量为 给定检验水平 ，查(,1)pnkETAWilks 分布表，确定临界值，然后作出统计判断。第四章4.1 简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。答： 设 p 维欧几里得空间 中的两点 X= 和 Y= 。则欧几里得距离为 (1, 2) (1, 2)。欧几里得距离的局限有在多元数据分析中，其度量不合理。会受到实
11、际问题中量纲=1(-)2的影响。设 X,Y 是来自均值向量为 ，协方差为 的总体 G 中的 p 维样本。则马氏距离为 D(X,Y)= 。当 即单位阵时，D(X,Y)= = 即欧几里()-1()-1= ()()=1(-)2得距离。因此，在一定程度上，欧几里得距离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧几里得距离的推广。4.2 试述判别分析的实质。答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。设 R1，R2，Rk 是 p 维空间 R p 的 k 个子集，如果它们互不相交，且它们的和集为 ，则称 为 的一个划分。判别分
12、析问题实质上就是在某种 1， 2意义上，以最优的性质对 p 维空间 构造一个“划分” ，这个“划分”就构成了一个判别规则。4.3 简述距离判别法的基本思想和方法。答：距离判别问题分为两个总体的距离判别问题和多个总体的判别问题。其基本思想都是分别计算样本与各个总体的距离（马氏距离） ，将距离近的判别为一类。两个总体的距离判别问题设有协方差矩阵 相等的两个总体 G1和 G2，其均值分别是 1和 2，对于一个新的样品 X，要判断它来自哪个总体。计算新样品 X 到两个总体的马氏距离 D2（ X， G1）和 D2（ X， G2） ，则X ， D2（X ， G1） D2（X，G 2）1 X ， D2（X
13、， G1） D2（X， G2，2具体分析，12(,)(,)11221 112212112()()() XX1 2122()()()()记 则判别规则为 WXX ，W(X)1 0X ，W(X)02多个总体的判别问题。设有 个总体 ，其均值和协方差矩阵分别是 k,21 和 ，且kkG,21 k,21。计算样本到每个总体的马氏距离，到哪个总体的距离最小就属于哪个总体。21具体分析， 21(,)()()DXX1112()CXI取 ， ， 。I11 k,2可以取线性判别函数为 ， ()WIX1相应的判别规则为 若 iG1max()ikCI4.4 简述贝叶斯判别法的基本思想和方法。基本思想：设 k 个总体
14、 k,21 ，其各自的分布密度函数 ，假设 k 个总体)(,)(,21xxkff各自出现的概率分别为 ， ， 。设将本来属于 总体的样品错判到总体kq,21 0i1kiqiG时造成的损失为 ， ji,。jG)|(jC设 个总体 kG,21 相应的 维样本空间为 。kp),(21kR在规则 下，将属于 i的样品错判为 的概率为RjxdfijPji)(),|(jiki,21,则这种判别规则下样品错判后所造成的平均损失为kj RijPCRir1),|()|)|( ki,21则用规则 来进行判别所造成的总平均损失为 Rkirqg1),()(kij RijPCq1),|()|贝叶斯判别法则，就是要选择一种划分 kR,21 ，使总平均损失 达到极小。Rg基本方法： kij ijPCqRg1),|()|)( xdfijqij ij1)(|(令 ，则 kjRiij df1)(|(x1(|)()kiijjfhxkjRjdhg1)()(x若有另一划分 ，),(*2*1kR kjRjdg1*)(则在两种划分下的总平均损失之差为 kijRjiji dh1*)()( x
