1、1第二章习题 2-11. 试利用本节定义 5 后面的注(3)证明:若 xn=a,则对任何自然数 k,有limxn+k=a.lim证:由 ,知 , ,当 时,有lin01N1nxa取 ,有 , ,设 时(此时 )有1Nk0n1nkNkx由数列极限的定义得 .limnxa2. 试利用不等式 说明:若 xn=a,则 x n=|a| .考察数列 xn=(-1)ABlilimn,说明上述结论反之不成立.证: lim0, .使 当 时 , 有nx naNxa 而 n于是 ,,使 当 时 , 有即 nnxanxa由数列极限的定义得 lim考察数列 ,知 不存在,而 , ,(1)nnxnx1nxlimnx所以
2、前面所证结论反之不成立。3. 利用夹逼定理证明:(1) =0; (2) =0.limn2221()()n lin2!证:(1)因为 22221()()n2而且 , ,21lim0nlin所以由夹逼定理,得.22211li 0()()n n(2)因为 ,而且 ,40!131: :limn所以,由夹逼定理得 2li0!n4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) xn= ,n=1,2, ;1e(2) x1= ,xn+1 ,n=1,2,.2证:(1)略。(2)因为 ,不妨设 ,则12kx12:故有对于任意正整数 n,有 ,即数列 有上界,xnx又 ,而 , ,1(2)n0n所以 即
3、 ,0x1nx即数列是单调递增数列。综上所述,数列 是单调递增有上界的数列,故其极限存在。n习题 2-21 . 证明: f(x)=a 的充要条件是 f(x)在 x0 处的左、右极限均存在且都等于 a.0lim证:先证充分性:即证若 ,则 .00lilimxxa0li()xf由 及 知:0li()xf0li()xf,当 时,有 ,1,01x()fxa当 时,有 。223取 ,则当 或 时,有 ,12min,0x0x()fxa而 或 就是 ,0x于是 ,当 时,有 ,,0x()fxa所以 .0li()xfa再证必要性:即若 ,则 ,0lim()xf00li()lim()xxffa由 知, ,当 时
4、,有 ,0lim()xf,由 就是 或 ,于是 ,当0x0x0,或 时,有 .0x0x()fa所以 00limli()xxf综上所述, f(x)=a 的充要条件是 f(x)在 x0 处的左、右极限均存在且都等于 a.0li2. (1) 利用极限的几何意义确定 (x2+a),和 ;0li0lix1e(2) 设 f(x)= ,问常数 a 为何值时, f(x)存在.12e, xalim解:(1)因为 x 无限接近于 0 时, 的值无限接近于 a,故 .2x20li()xa当 x 从小于 0 的方向无限接近于 0 时, 的值无限接近于 0,故 .1e1ex(2)若 存在,则 ,0lim()xfli()
5、lim()xxff由(1)知 ,2200lixaa10li()exxf所以,当 时, 存在。a3. 利用极限的几何意义说明 sinx 不存在.limx解:因为当 时, 的值在-1 与 1 之间来回振摆动,即 不无限接近某xsnsinx一定直线 ,亦即 不以直线 为渐近线,所以 不存在。yA()yfyAlmx习题 2-341. 举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量.解:例 1:当 时, 都是无穷小量,但由 (当 时,0xtan,sixsincotax0x)不是无穷大量,也不是无穷小量。cosx例 2:当 时,
6、与 都是无穷大量,但 不是无穷大量,也不是无22x穷小量。例 3:当 时, 是无穷小量,而 是无穷大量,但0xtanxcot不是无穷大量,也不是无穷小量。tancot1x:2. 判断下列命题是否正确:(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量;(2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量;(3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量;(4) 有限个无穷小量之和为无穷小量;(5) 有限个无穷大量之和为无穷大量;(6) y=xsinx 在(-,+)内无界,但 xsinx;lim(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量;(8) 无穷小量的倒数都是无穷大量.解:(1)错误,如第 1 题例 1;(2)正确,见教材2
7、.3 定理 3;(3)错误,例当 时, 为无穷大量, 是有界函数,0xcotxsinx不是无穷大量;cotsincx:(4)正确,见教材2.3 定理 2;(5)错误,例如当 时, 与 都是无穷大量,但它们之和1x不是无穷大量;1()0x(6)正确,因为 , 正整数 k,使 ,从而0M2+M,即 在 内无界,(2+)()sin(2+)fkkksinyx(,)又 ,无论 多么大,总存在正整数 k,使 ,使0XX,即 时, 不无限增大,即 ;()si()f xsixlimsnx(7)正确,见教材2.3 定理 5;(8)错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量,但其倒数无意义。3. 指
8、出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量.(1) f(x)= ,x2; (2) f(x)=lnx,x0 +,x1,x+;2345(3) f(x)= ,x0 +,x0 -; (4) f(x)= -arctanx,x+;1e 2(5) f(x)= sinx,x; (6) f(x)= ,x .212解:(1) ,即 时, 是无穷小量,所以 是无2lim(4)0x因 为 4214x穷小量,因而 也是无穷大量。23(2)从 的图像可以看出,()lnf,所以,当 时, 时,10lin,li0,ilxxx0xx是无穷大量;()f当 时, 是无穷小量。x()lnfx(3)从 的图可
9、以看出, ,1e1100lime,liexx所以,当 时, 是无穷大量;0x1()xf当 时, 是无穷小量。e(4) ,lim(arctn)02xx当 时, 是无穷小量。(arctn2fx(5) 当 时, 是无穷小量, 是有界函数,1xsi是无穷小量。sinx(6) 当 时, 是无穷小量, 是有界变量,21x21x是无穷小量。221x习题 2-41.若 f(x)存在, g(x)不存在,问 f (x)g(x), f(x) g(x)是否存在,0lim0li0limx0li为什么?6解:若 f(x)存在, g(x)不存在,则0lim0li(1) f(x )g(x)不存在。因为若 f(x)g(x)存在
10、,则由0 0lim或 以及极限的运算法则可得()gx()g(x),与题设矛盾。0li(2) f(x )g(x)可能存在,也可能不存在,如: , ,则0lim()sinfx1()gx, 不存在,但 f(x)g( x)= 存在。0lisnx1x0lim01li又如: , ,则 , 不存在,而()if()cosg2lisnx2limcosxf(x)g( x) 不存在。0lim2litanx2. 若 f(x)和 g(x)均存在,且 f(x)g(x),证明 f(x) g(x).0li0 0li0li证:设 f(x)=A, g(x)=B,则 ,分别存在 , ,使得当00lim12时,有 ,当 时,有1x)
11、f02x()gxB令 ,则当 时,有2in,0()Afxg从而 ,由 的任意性推出 即ABB.00lim()li()xxf3. 利用夹逼定理证明:若 a1,a2,a m 为 m 个正常数,则=A,lin2nna其中 A=maxa1,a2,,a m.证:因为 ,即12n nma :112nmAaA :而 , ,由夹逼定理得linA1lin:.12linnm4 . 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明:若7x1 ,x2= ,,x n+1= (n=1,2,) ,则 xn 存在,并求该极限.2xlim证:因为 有12,1今设 ,则 ,由数学归纳法知,对于任意kx11kkkxx正整数 n 有 ,即
12、数列 单调递增。1nn又因为 ,今设 ,则 ,由数学归纳2x2kx122kkx法知,对于任意的正整数 n 有 ,即数列 有上界,由极限收敛准则知 存在。n limnx设 ,对等式 两边取极限得 ,即 ,limnxb12nnx2b2b解得 , (由极限的保号性,舍去) ,所以 .2b1limnx5. 求下列极限:(1) ; (2) ;lin32451nlin1cos2n(3) ; (4) ;limn2limn1()3n(5) .lin13n解:(1)原式= ;234lim155nn(2)因为 ,即当 时, 是无穷小量,而 是有界变li()02n12ncosn量,由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小
13、量得: ;lim()0nn(3)22lim()linn而 ,2231lili0nn8;22lim()limnnn(4) ;11()()313lili22nnnn:(5) .11()14()4222limlilim3()33 nnn n6. 求下列极限:(1) ; (2) ;3lix291lix2354(3) ; (4) ;limx4262limxsncox(5) ; (6) ;0lih3()x3lix1(7) ; (8) ;1lix2n lixsin(9) ; (10) ;limx22x1limx3()x(11) .0(sin)解: 23331lilili9()6xxx(2) 11lim(54
14、0,li2xx22113li,lim354x x即 (3) ;442266lili0xx9(4) ;2sincosinco2lm1xx(5) 22300()()()()lilihhxhx;22()()3(6) 33912limli1(1)4()xxx;3 322(2)4li lim3()x xx(7)2 21 1(1(1)li lin nx x 212lim()(1)nx xxx ;23(n(8) (无穷小量 与有界函数 之积为无穷小量)sinl0x1xsix;siilimlns1xx(9)2222()()li()limx xx;222li lim11x xx(10) 1limx3()x231
15、()limx23 211()1lilixxx21()lix10(11) 当 时, 是无穷小量, 是有界函数,0x21sinx它们之积 是无穷小量,即 。21sinx20limsi0x习题 2-5求下列极限(其中 a0,a1 为常数):1. ; 2. ; 3. xcotx;0limxsn530lixtan2s50li4. ; 5. ; 6. ;0lix1cox0limx2coxlimx17. ; 8. ; 9. ;0lixcot3sinx0lix1a0lixxa10. ; 11. ; 12. ;limx(1)llix32xlix21x13. ; 14. ; .0lixarcsn0limxarctn解:1. ;05s5si5li333x x:2. 0 0ta221i25limlisncoincosnx x x:;0251sli5six3. ;0 00litliml1cos0six xx4. 20000sinnin1co 2limlililixxxxx :;0sin22lm1x:5. 220007373si sinicos5 32limllim()x x x x