1、线 性 规 划 ， 想 说 懂 你 很 容 易线 性 规 划 是 近 两 年 高 考 的 必 考 内 容 。学习简单线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值）问题。而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的 z=ax+by 的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。1、目标函数形如 z=ax+by 型：例 1（2008.全国）设变量 满足约束条件： ，xy， 2yx， ， 则 的最小值是（ ）yxz3A B C D2468解：画出可行域（如图 1） ，由 可得 ，所以 表示直线yxz331
2、zxz的纵截距，由图可知当直线过点 A（-2，2）时，z 的最小值是-8，31zxy选 D.2、目标函数形如 型：axbyz例 2（2007.辽宁）已知变量 满足约束条件， 2017xy ， ， ，则 的取值范围是（ ）yxA B C D6,59965， ， 36， ，3，解：画出可行域（如图 2） ， 表示可行域内的点（x,y）与原yx点连线的斜率，求得 A（1，6） ，C（ ）, 且求得295KOA=6，K OC= ，所以 ，选 A.59xy3、目标函数形如 z=abx+cy型：例 3.（2008.北京）若实数 满足 则 的y， 10xy， 23xyz图 1图 2图 3最小值是（ ）A0
3、B1 C D93解：画出可行域（如图 3） ，令 u=x+2y,当 x=y=0 时 u 最小为 0，则的最小值是 1.故选 B.23xyz4. 目标函数形如 z= 型：edxcbya例 4已知 x、y 满足 ，则 的取值范围是（ 1234013xy）A1,5 B2,6 C2,10 D3,11解：做出可行域（如图 4） ，因为 ，其中1)(21)(2132xyxyxy可视作可行域内的点与点 C（-1，-1）连线的斜率，且求得1xyKCA=5，K CB=1，所以由图可知 ，所以 选 D.5xy3xy5. 目标函数形如 型：22)()(baz例 5.已知 x、y 满足 ，求 的最0,yx 22)1(
4、)(yxz大值和最小值.解：目标函数的几何意义是可行域的点（x，y）与点 C（1，1）的距离（如图5） ，由图形易知点 C 与可行域内的点 O（0，0）和 A（2，0）的距离最大为 ，2而 的最小值是点 C 到直线 的距离 ，所以 = ， =z 2yx5maxzminz5变式 已知 x、y 满足约束条件 ，求 z=x2+y2的最大值和最小值，03297yx解：画出可行域（如图 6） ，z=x 2+y2表示可行域内的点与原点 O 距离的平方，由图可知，|OA|最大， =（ ） 2=61,最小值为点 O 到直max5线 x+2y-3=0 的距离的平方， =（ ） 2= .inz41|3596. 目
5、标函数形如 z=|ax+by+c|型：图 4图 5图 6例 6. 已知 x、y 满足 ，求 z=|x+2y-4|的最大值.0524yx解：因为 ,所以 z 可看作是可行域内任| z意一点（x,y）到直线 x+2y-4=0 的距离的 倍.由图 7 知，点 C 到直5线 x+2y-4=0 的距离最大,由 可得 C（7，9）所以02yxzmax=|7+29-4|=21.7. 目标函数形如 z=ax2+by2型：例 7.已知变量 x、y 满足 ，求 z=4x2+y2的最值61x解：做出可行域，即以原点为中心的共离心率的椭圆系（如图 8） ，由 z=4x2+y2得 ，目标函数 z 的几何意义是椭圆长轴的平142z方，当椭圆分别经过 C（4，2） ，B（1，2， ）时 z 取最大值和最小值，=68， =8.此题还可以进一步引申，求 z=4x2-y2的最值。maxzin 图 7图 8
