1、 线面垂直与面面垂直基础要点1.、若直线 与平面 所成的角相等，则平面 与 的位置关系是（ B ）a,A、 B、 不一定平行于 C、 不平行于 D、以上结论都不正/确2.、在斜三棱柱 , ,又 ,过 作 底面 ABC，垂1CA901BA1CH足为 H ，则 H 一定在（ B ）A、直线 AC 上 B、直线 AB 上 C、直线 BC 上 D、ABC 的内部3.、如图示，平面 平面 ， 与两平面 所成的角分别为 和 ，,46过 A、 B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ，则AB（ A ）:A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:34.、如图示，直三棱柱 中， ,11190,4DC 上有一动点
2、P，则 周长的最小值是 12,CA5.已知长方体 中， ,1DCBA2B若棱 AB 上存在点 P，使得 ,则棱 AD 长的取值范围是 。题型一：直线、平面垂直的应用1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥 P-ABC 中，D，E，F 分别为棱PC，AC，AB 的中点. 已知 .,685PACB， ，线面垂直线线垂直 面面垂直BA BA CD1B1C1D1A1D CBA求证：(1) ；(2) .PADEF平 面 BEAC平 面 平 面证明： (1) 因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA. 又因为 PA 平面 DEF，DE 平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF. (2) 因
3、为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6，BC 8，所以DEPA，DE PA3，EF BC4. 1212又因 DF5，故 DF2DE 2EF 2，所以DEF90 ，即 DE 丄 EF. 又 PAAC ，DEPA ，所以 DEAC. 因为 ACEFE，AC平面 ABC，EF平面 ABC，所以 DE平面ABC. 又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC. 2. (2014,北京卷，文科) 如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于1ABC底面， ， ， 、 分别为 、 的中ABC12EFBC点.（1）求证：平面 平面 ；（2）求证： 平面11/.E证明：（1）在三棱柱 中，1ABC
4、,B底 面 1, ,BABC平 面.AE平 面 1平 面 平 面(2)取 AB 的中点 G，连接 EG，FG、 分别为 、 的中点, ,F1CB1,2FGA,则四边形 为平行四边形，1 11AECA， ， ， 1FGE.,EBAB平 面 平 面 平 面3如图， P是 BC所在平面外的一点，且 P平面 ，平面 PC平面BC求证 分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直 证明：在平面 PAC内作 PD，交 C于 D因为平面 PAC平面 B于PC， D平面 ，且 ，所以 BA平 面 又因为 平面B，
5、于是有 B 另外 平面 ， 平面 ，所以 由及 ，可知 平面 因为 平面 ，所以 A说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直 线面垂直 线线垂直4. 过点 S引三条不共面的直线 SA、 B、 C，如图， 90BS，60BC，若截取 a(1)求证：平面 A平面 ；(2)求 到平面 的距离分析：要证明平面 ABC平面 S，根据面面垂直的判定定理，须在平面 ABC或平面 BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线(1)证明： aS，又 60， 和 都是等边三角形， a，取 的中点 H，连结 A， BCH在 BSCRt中， S， ， a2， 2)(22 aa
6、A， S在 SHA中， 2a，2SH， 2aA， 2， A， 平面 SBC 平面 BC，平面 平面 或： S，顶点 在平面 BS内的射影 H为 的外心，又 为 Rt， H在斜边 上，又 为等腰直角三角形， 为 的中点， A平面 A平面 C，平面 A平面 BSC(2)解：由前所证： S， ， 平面 ， S的长即为点 到平面 B的距离， aSH2，点 到平面 AC的距离为 a25.、如图示，ABCD 为长方形，SA 垂直于 ABCD 所在平面，过 A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB、 SC、 SD 于 E、 F、 G，求证：AESB,AGSD6.在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PCD 是正三
7、角形，且与底面 ABCD 垂直，已知底面是面积为的菱形， ，M 是 PB 中点。3260ADC(1)求证：PA CD(2)求证：平面 PAB 平面 CDM7.在多面体 ABCDE 中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2， 面 ABC，AE/CD。AED CBASGEFMDC BAP(1)求证：AE/平面 BCD；(2)求证：平面 BED 平面 BCD题型二、空间角的问题1.如图示，在正四棱柱 中，1ABCD，E 为 上使 的点，平面1,3ABE交 于 F，交 的延长线于 G，求：EC1（1）异面直线 AD 与 所成的角的大小（2）二面角 的正弦值1AG2.如图，点 A在锐二面角 MN的棱 上
8、，在面 内引射线 AP，使 与MN所成的角 P为 45，与面 所成的角大小为 30，求二面角 MN的大小分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形） ，通过解三角形使问题得解EDCBAC1A1DB CB1GFAE D1解：在射线 AP上取一点 B，作 H于 ，连结 AH，则 B为射线 AP与平面 所成的角， 30再作 MNQ，交 于 Q，连结 ，则HQ为 B在平面 内的射影由三垂线定理的逆定理， ， 为二面角 MN的平面角设 a，在 AQRt中， aABB2,45,90 ,在 RtBHQ中， ,2,90aBH 2sinaBQH,BQ是锐角， 45
9、,即二面角 MN等于 45说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线3. 正方体 1DCA的棱长为 1， P是 AD的中点求二面角 PBDA1的大小分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到 AB垂直于平面 1D， B在平面 1A上的射影就是 1AD再过 P作
10、 1的垂线 PF，则 面 ，过 F作 1的垂线 E， PF即为所求二面角的平面角了解：过 P作 1BD及 A的垂线，垂足分别是 E、 F，连结 面 ， F面 1， PFAB，又 1AD， PF面 1ABD又 1E， B， E为所求二面角的平面角 Rt1 ， 1而 2AP， 1D， 21A， 42PF在 1B中， 51PB 1BDE， 23B在 ERt中， 22，在 PFRt中，1sinPF， 304.PA 垂直于矩形 ABCD 所在平面，M 、 E、 N 分别是 AB、 CD 和 PC 的中点，（）求证：MN平面 PAD（）若二面角 P DC A 为 ，求证:平面 MND平面 PDC45.已知
11、正方体中 ，E 为棱 上的动点，1BCD1C（1）求证： BD (2) 当 E 恰为棱 的中点时，求证：平面 平面1E 1ABD（3）在棱 上是否存在一个点 E，可以使二面角 的大小为 ？如果存在，1 1ABE45试确定 E 在棱 上的位置；如果不存在，请说明理由。C题型三、探索性、开放型问题1.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，中心为O。设 平面 ABCD，EC/PA, 且 PA=2。问PA 当CE 为多少时，PO 平面 BED。CBADPEMNEOBCDAP2.已知ABC 中， ,AB平面 BCD， ,E、 F 分别90,1BCD 60ADB是 AC、 AD 上的动点，且 ()AEF（1）求证：不论 为何值，总有平面 BEF平面 ABC（2）当 为何值时，平面 BEF平面 ACD?
