1、习题 11 解答1 设 ，求yxxf),( ),(1,()1,(),( yxffyxff解 ；f),( xyffxf 22),(;),(;)1,(2 设 ，证明：yxfln, ),(),(,), vfuvxfufvyf),(),(),(),( lnlllnvyfufvxfuf xy3 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1） ;11),(2yf（2） ;)ln(4,2yxxf（3） ;1),(22czbayf （4） .),(22zyxzxf解（1） 1,D（2） xyxyD4,10),(22yx11-1-1Oyx11-1-1O（3） 1),(22czbyaxD（4） 1,0,),( 2
2、2zyxzyxzD4求下列各极限：（1） =210limyxy10（2） 2ln0)l(ln(i2)01eeyx（3） 41)(4li4li00 xyyxyx（4） 2)sin(lm)sin(l0202yxyx5证明下列极限不存在：（1） （2）;li0yxy 220)(liyxyx（1）证明 如果动点 沿 趋向),(xP),(则 ；32limli002 yxxy如果动点 沿 趋向 ，则),(Py)0,( 3limli002yxyyx-a-bcOzabyxOz所以极限不存在。（2）证明 如果动点 沿 趋向),(yxP)0,(则 ；1lim)(lim40220yxxy如果动点 沿 趋向 ，则,P
3、),( 04lim)(li 202202 xyxxxy所以极限不存在。6指出下列函数的间断点：（1） ； （2） 。xyxf),(2yxzln解 （1）为使函数表达式有意义，需 ，所以在 处，函数间断。002x（2）为使函数表达式有意义，需 ，所以在 处，函数间断。yxyx习题 121 （1） , ， .xyz21xz21yz(2) )sin()co()sin(co)cs( xyy2ii2xxxyz (3) ,11)()(yylnz= yln(1+xy)，两边同时对 y 求偏导得 ,1)ln(xyz;)1l()(1)ln( xyxyxzyy(4) ,)(2323yxyxz ;32yxz(5)
4、;xzyuxzyuzxyln,ln1, 2(6) , , ;zyxu21)(zyxu21)(zzyxu2)(ln2.(1) ;0,0,yxxz(2) ),(2sin)(2sinbyaxzba.)(2cos,cos,co byaxbzyxz yxx 3 ,222, zfzfyfy ,zfffyxzx.0)1,(),01(),0( yzxzx4 )2(cos),2(cos,2sin,2sin txztxtxtz txtt .)(co)(co2xtt5.(1) , , ;xyxez2xyz1dzxey2dyx1(2) , , , ;)ln(1y2yx2dyxz22 (3) , , ;22)(1yxy
5、zx 22)(1yxyz2yxdz(4) , ,yzxuuyzlnuyzzln.dxdxzz16. 设对角线为 z,则 , , ,2y2yx 2ydz2yx当 时, =-0.05(m).1.0,5.,86xyx 286)1.0(5.dz7. 设两腰分别为 x、y,斜边为 z,则 ,2yxz， , ,2yzx2yzyd2设 x、y、z 的绝对误差分别为 、 、 ,xyz当 时, 1.0,1.0,24,7yxyx 25472z=0.124,z 的绝对误差2.dz .zz 的相对误差 .z%496.051.8. 设内半径为 r，内高为 h，容积为 V，则 , , ,hr2rVr2h,ddV2当 时,
6、1.0.,0,4rr.)(264.510432413 32cm习题 131. dxzfyfdxfu2)(1yaxezy2)(2)(1zy)1(ax= = .2)(yxzayaxaxe24)(2. = =ffx 4322rcsin1yxy)(l1arcsin4 22443 xyx= =ffz 4322arcsin1yxy.)(ln1arcsin4 224423 xyx 3. (1) = , = .u21fefu21feyfy(2) = , = , = .x1fy 212fzyx2fz(3) = , = , = .xu321yzffu32xzfu3yf(4) = = , = .321ff 321f
7、fz3f4 .(1) , ,1yfxz21fx, ,12f 12121)(yfxfxfyfxz =21122)(ffyz 21ff(2) , ,21xyffx21fxyz.2123142 2212 4)()(fyxfyfyf yffz 12231321 215)()(fyxffxyfy fxfxz2413121 224 )()(fxyffxf fz 5 ,yuxtyutxtuysusu 213, ,222 )(43)(41)(x 2)(4)(43xt.2222 )()(yutus6 (1) 设 , , ,)(, zxexzyF)(1zyxxeF)(1zyxeF,)(1xze,1zxF1zyF
8、xzyxyxzyxyxzyxFzx 2)(21sectan,ta),()2 322222 设= ,222tyxz2)2()(1sectan 322222 yzxyxzyxzyxFy = ,222tz2= ,1zF2secyxyx212tanyxz,x )cot(ot 2222yxzzzx y ).t1(ct 22222 yxzyxFzy (3) 设 , ,xz),(xyzFzxFx1= , = .xzzxFxyzzyyz2(4) 设 , ,ylnln),( Fyx1,zxz12, ,xzzxFzy)(2zyFz7.设 ,3sin32),( x),32cos(1zyxFx, ,)cos(4zyx
9、y )2cos(6zy, ,xz31zxFy32zy1 . 8.设 ,2121,),(),( baFcFbzcyaxzyx zyx ,21Fzx,21bazy.xacyzb9. (1)方程两边同时对 x 求导得解之得,0642dxzyxdz13,)(26zxdy(2) 方程两边同时对 z 求导得解之得022,1zdyzx.,yxzd(3) 方程两边同时对 x 求偏导得解之得,sinco0i1xvuxuev.1)cos(in,siveuxvuu同理方程两边同时对 y 求偏导得解之得,sinco1iyvuyue .1)cos(in,sveuxvuu000000000 0221214()3,(1,)
10、(,12)4,6,12(,)12*4(.66(2),(,),);ppppppzzppuluxyzyuzlulylxuyx习 题。 求 下 列 函 数 的 方 向 导 数解 ：解 ：0000000000221,(),ln,21(,),61*.6(3)ln),(,31,13cosin.32zzppppppyuyzxluxyloxuyxul 与 轴 夹 角 为 ；解 ：000000010122(4),(5,2)(9,4).,5,4312(4,312)(,),98*5*. .(1),sin()cos();pppuxyzplpxzyullulgradffxyxy解 ：求 下 列 函 数 的 梯 度解 ：2222222co*in,s()s()*,ci()cos()*sin()*.(),.1)(),()xyxxxyyyxxxyyyf yxygradf yxyxyef efe 解 ： ,1,.3.23,4,xygradfxy3(-,1)43(-,1)2423(-,1)2(-,)山 坡 的 高 度 z由 公 式 =5-近 似 ， 其 中 x和 y是 水 平 直 角 坐 标 ， 他 决 定 按 最 陡 的 道 路 上 登 ，问 应 当 沿 什 么 方 向 上 登 。解 ： xzy按 最 陡 的 道 路 上 登 应 当 沿 ()方 向 上 登 。
