1、第 1 页 共 26 页 浙江博成教育微积分基本概念第一章 函数、极限连续重点：函数性质与函数的图形函数是微积分的研究对象,因此在课程的开始,要先对函数部分加以复习,要求对函数的概念、表示方法、性质及基本初等函数的图形有较好的理解与掌握.极限是微积分的基础,故需要介绍一下,因为不考试,故不作复习重点,不作任何要求,也不做练习题.一、函数（一）函数的概念1函数的定义【定义 1.1】 设在某一变化过程中有两个变量 和 ,若对非空集合 中的每一点 ,都按照某一xyDx对应规则 ,有惟一确定的实数 与之相对应,则称 是 的函数,记作fy.)(f称为自变量, 称为因变量, 称为函数的定义域, 的取值范围
2、即集合 称为函数xyDyxfy),(|的值域.平面上点的集合 称为函数 的图形.oxfyx),(|),( )(xf定义域 (或记 )与对应法则 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域f与对应法则都相同.2函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：解析法、表格法、图示法.这三种表示方法各有其特点,表格法和图示法直观,解析法便于运算,在实际中经常结合使用.3函数定义域的求法由解析式表示的函数,其定义域是指使该函数表达式有意义的自变量取值的全体,这种定义域称为自然定义域,自然定义域通常不写出,需要我们去求出,因此必须掌握一些常用函数表达式有意义的条件.（二）函数的几何特性1单调性（1
3、） 【定义 1.2】 设函数 在实数集 上有定义,对于 内任意两点 ,当 时,若)(xfD21x12x总有 成立,则称 内单调递增（或单增） ；若总有 成立,则称)(xf2f在 )(f)f在 内严格单增,严格单增也是单增.当 在 内单调递增时,又称 内的单调递增函D)(xf D是数.类似可以定义单调递减或严格单减.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.（2）可以用定义证明函数的单调性,对几个常用的基本初等函数,可以根据熟悉的几何图形,找出其单调区间.对一般的初等函数,我们将利用导数来求其单调区间.2有界性【定义 1.3】 设函数 ,若存在实数 0,使得对任意 ,都有内 有 定 义在 集 合 D
4、xf)( MDx ,则称 在 内有界,或称 为 内的有界函数.|)(|xfM)(xff【定义 1.4】 设函数 ,若对任意的实数 0,总可以找到一 ,使得内 有 定 义在 集 合f ,则称 在 内无界,或称 为 内的无界函数.|ff )(f第 2 页 共 26 页 浙江博成教育有界函数的图形完全落在两条平行于 轴的直线之间.x函数是否有界与定义域有关,如 （0,+）上无界,但在1,e上是有界的.ny1有界函数的界是不惟一的,即若对任意 ,都有 ,则也一定有 D|()|fxM|)(|xf.)0,(aM3奇偶性【定义 1.5】 设函数 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意 ,都有)(xf D
5、,则称 为 D 内的奇（偶）函数 .)()(fxffxf 或奇函数的图形关于原点对称,当 为连续的函数时, =0,即 的图形过原点.偶函数的图)(xf)(f形关于 y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设 为奇函数, 为偶函数,则)(21ff)(,21yg为奇函数； 为偶函数；xx非奇偶函数；1gf为奇函数； 均为偶函数.)( )(),(2121gf常数 C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.【例】 判断下列函数的奇偶性:(1) ;21)(xnxf(2) .0,egx【解】 (1)因为 )1()(
6、1()( 22xnxnf 22),(1(xfxn所以 是奇函数.)1()2xnf(2)因为 )(0,10,( xgexxegxx 4周期性【定义 1.6】 设函数 ,如果存在非零常数 T,使得对任意 ,恒有内 有 定 义在 集 合 Ddf)( D成立,则称 为周期函数.满足上式的最小正数 T,称为 的基本周期,简称周期.)(xfTfx )(xf我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求), 除此以外知之甚少 . 是以 1 为周期的周期y函数. 与 的图形分别如图 1-1(a)和图 1-1(b)所示.y第 3 页 共 26 页 浙江博成教育图 1-1（三）初等函数1基本初等函数（1）常数函数 ,定
7、义域为(-,+), 图形为平行于 轴的直线.在 轴上的截距为 .Cyxyc（2）幂函数 ,其定义域随着 的不同而变化.但不论 取何值,总在（1,+）内有定义,且x 图形过点（1,1）.当 0 时,函数图形过原点（图 1-2）（a） (b)图 1-2（3）指数函数 ,其定义域为（-,+）.)1,0(xy当 0 1 时,函数严格单调递减.当 1 时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以 为底的指数函数,即 （图 1-3）exe（4）对数函数 ,其定义域为（1,+）,它与 互为反函数.微积分),(log xy中常用到以 e 为底的对数,记作 ,称为自然对数.对数函数的图形过点
8、（1,0） （图 1-4）ny(图 1-3) (图 1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设 0.fbaxbaxf ),(,)( 对 任 意区 间 内 二 阶 可 导在 (x则 (1) 在 内严格单调减少；（2） 在 上为凸弧,均不充分.fx)(ba)1b此题可以用举例的方法来说明（1） 、 （2）均不充分.由初等函数的图形可知, 为凸弧. =4xyy在（,）上严格单调递减,但 =-12 0,因此（1）,（2）均不充分,故选 E.此题若把34y题干改成 0,则（1） ,（2）均
9、充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非f)(常便捷.第 4 页 共 26 页 浙江博成教育2反函数【定义 1.7】 设函数 的定义域为 ,值域为 ,如果对于每一个 ,都有惟一确定的)(xfyDRRy与之对应,且满足 是一个定义在 以 为自变量的函数,记作Dxy.)(1f并称其为 反函数.)(xfy习惯上用 作自变量, 作因变量,因此 反函数常记为 .)(xfyRxfy),(1函数 与反函数 的图形关于直线 对称.f)(1fy严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性. 互为反函.aaxlog与0,+的反函数为 ,而 （ ,0）的反函数为 （图 1-2（b） ）.
10、xy2 x,23复合函数【定义 1.8】 已知函数 .又 ,u R ,若 非空,ffRyDufy,),( Dxu),(ff则称函数 fxf|),(为函数 的复合函数.其中 称为因变量, 称为自变量, 称为中间变量.)()(xufy与 yu4初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量 明显地表示成 的形式,则称其为显然函数.y)(xfy等.1),3(1, 222 xxny设自变量 与因变量 之间的对应法则用一个方程式 表示,如果存在函数y 0),(yxF（不论这个函数是否能表示成显函数）,
11、将其代入所设方程,使方程变为恒等式：)f fDxfF,0)(,其中 为非空实数集 .则称函数 由方程 所确定的一个隐函数.fDfyy如方程 可以确定一个定义在0,1上的隐函数 .此隐函数也可以表示成显函数的形式,即1yx 10)1()2xxf但并不是所有隐函数都可以用 的显函数形式来表示,如 因为 我法用初等函数表yey达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如 .012x（五）分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个x以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如 .0,1,)(.0,1,)(2 xnexgxf
12、 x都是定义在（,）上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）第 5 页 共 26 页 浙江博成教育极限是微积分的基础.（一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如 称为通项.na21,1极限定义【定义 1.9】 设数列 ,当项数 无限增大时,若通项 无限接近某个常数 ,则称数列 收敛na Ana于 A,或称 A 为数列 的极限,记作 Aanlim否则称数列 发散或 不存在.nanali2数列极限性质（1）四则极限性质 设 ,则byxnnli,li).0(limli .lili)(li.li bayxaycxcnnnnnnnn（2
13、） （ 为任意正整数）.knlili 122axaxnn （3）若 ,则数列 是有界数列.lin（4）夹逼定理 设存在正整数 ,使得 时,数列 满足不等式 .0N0nnzyx, nnyxz若 ,则 .azynnlimli axnli利用此定理可以证明重要极限（e 2.718,是一个无理数）.nn1li（5）单调有界数列必有极限 设数列 有界,且存在正整数 ,使得对任意 都有nx0N0Nn（或 ）,则数列 的极限一定存在.nx1nx1nx利用此定理可以证明重要极限（e 2.718,是一个无理数）.n1lim（二）函数的极限1 时的极限x【定义 1.10】 设函数 在 上有定义 ,当 时,函数 无
14、限接近常)(xf )0(|ax)(xf数 A,则称 当 时以 A 为极限,记作)(f.)(limAxfn当 或 时的极限x第 6 页 共 26 页 浙江博成教育当 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记 （ ）时, 无限接近常数 A,则称x x)(xf当 （ ）时以 A 为极限,记作)(fx .)(lim)(li)(lim.xfAxfxf nnn 3 时的极限0x【定义 1.11】 设函数 在 附近（可以不包括 点）有定义,当 无限接近 时,函)(f00 )(0x数 无限接近常数 A,则称当 时, 以 A 为极限 ,记作)(f x)(f.li0xfx4左、右极限若当 从 的左侧（ ）趋于 时, 无
15、限接近一个常数 A,则称 A 为 时 的左x00x0)(f 0x)(f极限,记作或 .lim0Axfxxf)0(若当 从 的左侧（ ）趋于 时, 无限接近一个常数 A,则称 A 为 时 的右x0)( 0x)(f极限,记作或 .li0xfx xf)0(.(lim)li)( 000 fAxx （三）函数极限的性质1惟一性若, 则 A=B.BxfAxfxx)(lim,)(li002局部有界性若 .则在 的某邻域内（点 可以除外）, 是有界的.fxli0 0x)(xf3局部保号性若 .且 A0（或 A0,则存在 的某邻域（点 可以除外）,在该邻fx)(li0 0域内有 0（或 0。)(xf若 。且在
16、的某邻域（点 可以除外）有 0（或 0，则必有fx)(lim0 0x)(xf)(xfA0（或 A0） 。4不等式性质若 ， ，且 AB，则存在 的某邻域（点 可以除外） ，使 xfx)(li0 Bxg)(li0 0x0x)(xf.)(g若 ， .且在 的某邻域（点 可以除外）有 或（ Afx)(lim0 x)(li0 0x0x)(xfg)(xf） ，则 A B。)(5四则运算同数列第 7 页 共 26 页 浙江博成教育（四）无穷小量与无穷大量1无穷小量的定义【定义 1.12】 若 ，则称 是 时的无穷小量。0)(lim0xfx )(xf0（若 则称 是 时的无穷大量） 。,)(li0gx 02
17、无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3无穷小量的运算性质（i）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。（ii）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。（iii ）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4无穷小量阶的比较设 ，0)(lim,0)(li0 xxa .)()(, ,)(, )(,1,)()(li0 高 阶 的 无 穷 大是 比称 高 阶 的 无 穷 小是 比称 记 作为 等 价 无 穷 小 与称时特 别为 同 阶 无 穷 小与称 xxxkkxx 5等价无穷小常用的等价无穷小： 是，0x )0(1)(,1,axnxxex等价无穷小具有传递性，即 ，又 。)(等价
18、无穷小在乘除时可以替换，即 ，)(,*xx则 )(lim)(li*)( 00xx或或第二讲 函数的连续性、导数的概念与计算重点：闭区间上连续函数的性质、导数的定义、几何意义、基本初等函数的求导公式、复合函数求导公式、导数的四则运算。三、函数的连续性（一）函数连续的概念1两个定义【定义 1.13】 设函数 的定义域为 。若 ，则称)(xfyDx0, )(lim00xfx第 8 页 共 26 页 浙江博成教育点连续；若 中每一点都连续，则称 点右连续。0)(xf在 Dxf在)( 0)(xf在【定义 1.14】 若 ，则称 点右连续。)(lim00xf在若 ，则称 点左连续。)(li0fx在点连续
19、点既左连续又右连续。f在 0)(在2连续函数的运算连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续，因而初等函数在其定义区间内处处连续。（二）间断点1若 都存在，且不全等于 ，则称 为 的第一类间断点。)(lim)(li00xfxfx与 )(0xf0)(xf其中若 存在，但不等于 （或 在 无定义） ，则 为 的可去间断点。)(0f若 都存在，但不相等，则称 为 的跳跃间断点。lili00ffxx与 f2若 中至少有一个不存在，则称 为 的第二类间断点。)()(00与 0x)(（三）闭区间上连续函数的性质若 在区间 内任一点都连续，又 ，则称函数)(xf,ba )(lim),(li bff
20、ffbxx 在闭区间 上连续。,1最值定理设 在 上连续，则 在 上必有最大值 M 和最小值 m,即存在 ，使)(xf,ba)(xf,ba ,21bax。11mM且2价值定理设 在 上连续，且 m,M 分别是 在 上最小值与最大值 ,则对任意的 ，)(xf, )(xf, ,Mmk总存在一点 。kcfbac)(使【推论 1】 设 在 上连续，m,M 分别为最小值和最大值，且 mM0,则至少存在一点x,ba。0)(,f使【推论 1】 设 在 连续，且 ，则一定存在 使 。, 0)(bf ,bac0)(cf推论 1，推论 2 又称为零值定理。第二章 导数及其应用一、导数的概念1导数定义【定义 2.1
21、】 设 y=f(x)在 x0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量 ,函数值有一x相应改变量 ,若极限)(0fxfyxffxy )(limli 000存在,则称此极限值为函数 y=f(x)在 x0点的导数,此时称 y=f(x)在 x0点可导,用第 9 页 共 26 页 浙江博成教育表示. 0000 )(,)( xdfxdyxyxf 或或或若 在集合 D 内处处可导（这时称 f(x)在 D 内可导）,则对任意 ,相应的导数y D将随 的变化而变化,因此它是 x 的函数,称其为 y=f(x)的导函数,记作)(0xf0. dfy)(,或或或2导数的几何意义若函数 f(x)在点 x0处可导,则
22、 就是曲线 y=f(x)在点（x 0,y0）处切线的斜率,此时切线方程为)(0xf.)(0fy当 =0,曲线 y=f(x)在点（x 0,y0）处的切线平行于 x 轴,切线方程为 .)x )(0xfy若 f(x)在点 x0处连续,又当 时 ,此时曲线 y=f(x)在点（x 0,y0）处的切线垂直于 x 轴,切)(xf线方程为 x=x0.3左、右导数【定义 2.2】 设 f(x)在点 x0点的左侧邻域内有定义,若极限 xff)(lim00存在,则称此极限值为 f(x)在点 x0处的左导数,记为 0f=)(0f xf)(li0类似可以定义右导数.f(x)在点 x0点处可导的充要条件是 f(x)在点
23、x0点处的左、右导数都存在且相等,即存在.)()()( 000 xffxf 存 在若 f(x)在（a,b）内可导,且 及 都存在,则称 f(x)在a,b 上可导.a)(bf4可导与连续的关系若函数 点可导,则 在点 处一定连续.0)(xfy在xf0此命题的逆命题不成立.邮导数定义,极限 存在可知, 在 点可导,xfyxx )(limli00 )(xf0必有 ,故 在 点连续.但 在 点连续只说明当 时,也有 ,而当 的无y)(f )f0yy穷小的阶低于 时,极限即不存在,故 在 点不可导.只有 与 是同阶无穷小,或 是比(y高阶的无穷小时, 在 点才可导.xf0例如, 点连续,但不可导.|,3
24、1xx在二、导数的运算1几个基本初等函数的导数（1） .0yc第 10 页 共 26 页 浙江博成教育（2） .,1aaxyxy（3） xxeyeyn,;（4） .11,logna2导数的四则运算（1） ；)()(xuc（2） ；vvx（3） ；)(x（4） ；)()(2xvxv3复合函数的导数设函数 在 x 处可导,而函数 在相应的点 处可导,则复合函数u)(ufy)(xu在点 x 处可导,且)(fy.dyxfd或4高阶导数（二阶导数）若函数 区间（a,b）内可导,一般说来,其导数 仍然是 x 的函数,如果)(fy)(xfy也是可导的,则对其继续求导数,所得的导函数称为 的二阶导数,记为 .x 2,)(df【注】 更高阶的导数 MBA 大纲不要求,二阶导数主要用来判定极值、函数凹凸区间及拐点.导数的计算要求非常熟练、准确.第三讲 微分、导数的应用（1）重点：微分的概念及运算、求曲线切线方程的方法、函数单调区间、极值、最值的求法三、微分1微分的概念【定义 2.3】 设 在 的某邻域内有定义,若在其中给 一改变量 ,相应的函数值的改)(xfy0 0xx变量 可以表示为y ).()()(0 xAfxf其中 A 与 无关,则称 在 点可微,且称 A 为 在 点的微分,记为)(0(f0.00xdxy是函数改变量 的线性主部.xy
