1、专题一 求极限的方法【考点】求极限1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为 2-3 题 12-18 分左右，而用极限的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在 0 比 0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数） 、夹逼准则（常用于数列的连加） 、单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助
2、方法的运用，比如因式分解，分子有理化，变量代换等等。4、 两个重要极限 ，注意变形，如将第二个式0sinlm1x10li()lim()xxx e子 中的 变成某趋向于 0 的函数 以构造“ ”的形式的典型求极10li()xxe()f1限题目。5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如：（1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限（2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解题，如 因左右极限不相等而在这点极限不存在。 （当式子中出现绝对值和1limxee 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）（3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法：看是否能直接
3、求出这个和式(如等比数列求和)再求极限夹逼定理用定积分的概念求解。（4）如果 f(x)/g(x)当 xx0 时的极限存在，而当 xx0 时 g(x)0，则当 xx0 时 f(x)也 0（5）一个重要的不等式： （ ）sinx0*其中方法考到的可能性较大。6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理）8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。【例题精解求极限的方法】方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。【例 1】求极限 1limnx解 =1211()limlimnnxxxn注：此题通过洛必达法则进行求
4、解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。【例 2】求极限 22li()xx解 222211li1limx xx注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法有理化和采取倒变量的方法。2、一个最基本的多项式极限 (系数均不为 0)：112linnmxaabxb若 nm，则极限为正无穷；若 nm，则极限为 0；若 n=m，则极限为 。 （本质为比较次数）1ab要注意的是 是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里 的最高次的 次x x12来计算，如 的次数为 1。2方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限【例 3】设 ， ,证明 存在并求之1u12(1,2.)nnuulimnu方法三：
5、利用夹逼定理适用于无限项求极限时可放缩的情况。【例 4】求极限 1lim23.nnn解 因 1=. =nnn而 li1linn故由夹逼定理 =1lim123.nnn方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则未定式极限。 （化加减为乘除！）【例 5】求极限tan0limxxe解 原式=tan0 0(1)(tan)li lim1xxxx xeex【例 6】求极限121lim()xxa解 =111122 2()li()=li()limxx xxx x xaa 2limlnl(1)x【例 7】求极限 224031+tan1sinlims()xxx解 原式= 22403(tsi+ta1sin)lisn(1)
6、(x xx= =02tailims3x02tco)limsn43xx= 021li463x【例 8】求极限 01coss3limxx解：直接运用洛必达法则和等价量代换可得=01cos23lix=00n4cosin239cos2in3lilimx xx=0sic csilmix x=0 0o2s3cssi li lix xx=1+4+9=140snc4oin239cos2in3lx x【例 9】求极限 limog()abxx解： 由换底公式，= ( )= = ln()iabxliabxlimabx若 ，则极限为 ；若 ，则极限为 ，综上，极限为ax,b方法六：幂指函数求极限取对数再取指数。【例
7、10】21limsinn()解 2 2 21011sinlisi=lisinlmnxtnx t2sin1i0silim1ttt t 3 20 0sin0cos11l lim36t tt teee 【例 11】1ln+limarct2xx0()解 +1lnarctn2lnim()l+liarct=2x xx xe2 211()()arctn 02 1limlim()1 arctn2x xxxx xxe e 21lim1xxee【例 12】求极限cotliarxxx注意 x 是趋向正无穷，此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少，分析底数易知底数趋向于正无穷。但是指数 arccotx 这个函数不是很
8、熟，可以通过图像先分析 cotx 再分析arccotx 趋向于多少，最后得出结论是指数趋于 0。故是一个“ ”型，所以要用“先取0对数再取指数”的方法。对于之后 arccotx 的处理，若用罗比达对其求导则会发现再接下来比较难做，这里给出一个转化为熟悉的，可等加量代换的式子的方法，方法较灵活，需要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度。解 原式= = =1arcotlnlimxex 1limarcotlnxxe11limarctnlxxe= = =ln1lnlixxex1limxxe关于第三个等号左右的变化：令 ，则 ，故 ，cotyarx1cotany1tyx，综上，1arctnyx1cottn
9、arx方法七：运用泰勒定理求极限适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。【例 13】求极限 2201lim(cos)xxe解 ,2421+80， 23cos1()0!xox，代入原式可得，22()xeox，原式= = =42420232()lim1()1!x xoxo 404()lim32xox16方法八：通过定积分的概念来求极限【例 14】求 2222lim(.)149nnn解 由于此题无法直接对式子进行化简，也无法用夹逼定理，故想到用定积分的概念来求解，即 原式=22221lim(.)49nnn= 222211li .31n nn = 21limni此时由定积分的概念可将上面的和式看成被积函数
10、 在0,1上的定积分，故21()fx= =2222li(.)149nnn120d4【例 15】求极限 111 limln(1).lim(!)li ninn ne 解 1 11()2.()2.li(!)=li lin nn nn113lim(.)nn1231limln(.)n ne1lilnniie10lnxde 10(ln)| 1xxee【例 16】2221sisilimlnkkk【分析】此题看似复杂，其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的和式求极限，故再次想到用定积分的概念求解。故我们需要找到定积分概念中和式极限的“ ”和“ ”。1n()if“ ”我们可以类似【例 5】 ，自己把这一项构造出来
11、，而 这一项不同于我们以往做1n ()if过的题目中 经常取小区间的左端点 或右端点 ，而是取了中间一个点，但是无()if1in论如何，由于“取点的任意性” ，只要能表示成 中的一种即可看作为1(),()iiffn0 到 1 上 的定积分。()fx解： 原式= 221sinsinliml1nkkk1 1200lln(l)xdxxd故原式=00lxdx10l4【一些核心问题&问的很多的题目 】1、求极限的时候到底什么时候可以直接代进去？【例子 1】 021sincoslimxx【例子 2】 0cscs3li1oxx【例子 3】 22403+tan1sinlims()x xx【例子 4】 ,20liln1xax0a2、苏德矿版微积分 P104 T107令 ，化简方程sinxt21dyxxy【一些练习题，有点难度，可做可不做】1、 2lim.!3(1)!nn2、 =1， =2， ， ，求1u23n12nnu1limnu3、311.limnnx xx答案：1、12、03、 !n
