1、1微专题：构造函数法解选填压轴题高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。几种导数的常见构造：1对于 ，构造xgfxgfh若遇到 ，则可构0aa2对于 ，构造xf xfx3对于 ，构造()feh4对于 或 ，构造fx()0fxf()xfhe5
2、对于 ，构造0fx6对于 ，构造xfh一、构造函数法比较大小例 1已知函数 ()yf的图象关于 y 轴对称,且当 (,0)()0xfxf成立， ， ,则 的大小关系是 ( ) 0.2.()afAlog3l)bA33log9lcfA,abcc.Bac.Cba.D【解析】因为函数 ()yfx关于 y轴对称,所以函数 ()yxf为奇函数.因为 ()()xffxf,所以当 ,0时, ()0ffxf,函数 ()yf单调递减,当 ()x时,函数 y单调递减.因为 0.21, 13og, 392,所以 0.23119ogog,所以 bac,选 D. 变式: 已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，
3、R()fx()fx()0fxf若 ，则下列关于 的大小关系正确的是（ D ）(),2(,ln2afbfc,abc.Ac.Bab.Cb.D例 2已知 为 上的可导函数，且 ，均有 ，则有()fxRxR()fx2A ， B ，2016()(0eff2016)()fef2016()(0eff()fC ， D ，2016()(eff2016)()fef 2016()(eff()f【解析】构造函数 则 ，(),xfge2()()()x xfefffge因为 均有 并且 ，所以 ，故函数 在 R 上单调递减，,xR()f， 0x()0gx()xfg所以 ，即(2016)2016()gg， 20162016
4、()(ffffee， ，也就是 ，故选 D()()efff，变式: 已知函数 为定义在 上的可导函数，且 对于任意 恒成立， 为自然xR()fxxRe对数的底数，则（ C ）2016.(1)(0)()Afefef、 2016.(1)(0)()Bfefef、C、 D、例 3在数列 中， 则数列 中的最大项为( )na1()n,()NnaA B C D不存在 235【解析】由已知 ， ， ，13242a54易得 . 猜想当 时， 是递减数列 234,anna又由 知 ，令 ，1nl(1)nl()xf则 22ll()xxf当 时， ，则 ，即3ln1ln0()0fx在 内为单调递减函数， ()fx,
5、时， 是递减数列，即 是递减数列2lnana又 ， 数列 中的最大项为 故选 B1323练习 1已知函数 对任意的 满足 ,则（ ）A)(xfy)2(，()cos()in0fxfxB. C. D. 42)0(ff30f 43)4()32ff提示：构造函数 ，选 D()cosgx二、构造函数法解恒成立问题例 1若函数 y= 在 R 上可导且满足不等式 恒成立，对任意正数 、 ，若)(xf ()0xffab，则必有（ ）abA B C D()ffa()bfaf()afbf()ff【解析】由已知 构造函数 ，()0x)(xF则 ， 从而 在 R 上为增函数。()Fffx 即 ，故选 C。ab()b(
6、)abf例 2已知 是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足 0，对任意正数 、)(xf )(xff a，若 ，则必有（ ）A B C D()afbf()bfaf()afbf()bf【解析】 ， ，故 在（0，+）上是减函数，xfF)(0)(2xfxfF)(由 ，有 ，即 。故选 A。abafbf变式 1.设 是 上的可导函数， 分别为 的导函数，且满足()fg、 R()g、 ()fg、，则当 时，有（ C ） 0fxxx.()()Abf.()()BfafxCfxgDxgb变式 2. 设函数 时，有（ C ）bxaxfbaxf 则 当且上 均 可 导在 ),(,)(,A B)(xf)(xC
7、D)(fxg )(fxgbf例 3设函数 在 R 上的导函数为 ，且 ，下面不等式恒成立的是（ ）()f x 22()f4A B C D0)(xf 0)(xf xf)(xf)(【解析】由已知，首先令 得 ，排除 B，D令 ，则 ，2()()gxf()2()gxfxf 当 时，有 ，02()0gf gx 所以函数 单调递增，所以当 时， ，从而 ()x0x0)(xf 当 时，有 ，2()2() ()ffx 所以函数 单调递减，所以当 时， ，从而 ()gxx0g)(xf综上 故选 A0f例 4 如果 ，那么下面的不等式恒成立的是（ ）22(1)()1xyA B C D0x0xy0xy【解析】构造
8、函数 ，易证 在 R 上是奇函数且单调递增2()lg)()f R()f211xy+2()l()fx2l()y= =lg1 = 0g 即：)fxfyf又 是增函数 即 。故选 B(xy练习 1. 已知 ，则实数 的关系是（ D ）yx )5.0(log)5.0log3131 yx,A. B. C. D.yxyx0【解析】构造函数 ， 是增函数，又 ， ，故选 D13()(log2)fx(f()fxy0x练习 2. 已知函数 是 R 上的可导函数，当 时，有 ,则函数 的y 0xf xfF1)(零点个数是( B )A.0 B.1 C. 2 D.3【解析】由 ，得 ，构造函数 ，xfxF1)(1()
9、fxg()xf则 ，当 时，有 ,当 时，g()f00)(ff ()0xff即当 时， ，此时函数 单调递增，此时0x()()ff5，g()0x当 时， ，此时函数 单调递减，此时 ，()()0xffxg()xg()0x作出函数 和函数 的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数1y的零点个数为 1 个故选 BxfxF1)(三、构造函数法解不等式例 1.函数 f(x)的定义域为 R， f(1) 2，对任意 xR ， ，则 f(x)2x4 的解集为( )()fA(1,1) B(1，)C( ，1) D(，)【解析】构造函数 G(x)f(x )2x4，所以 ，由于对任意 xR， ，2Gf
10、2f所以 0 恒成立，所以 G(x)f(x)2x4 是 R 上的增函数，又由于 G(1)f( 1)2(1)40，所以 G(x)f(x)2x40，即 f(x)2x4 的解集为(1，)，故选 B.变式 1. 已知函数 满足 ，且 ，则 的解集为（ ）R1)(f1)(f 21)(fA. B. C. D. x或 x【解析】构造新函数 ,则 ，()()2Fxf()1()10Ff，对任意 ，有 ，即函数 在 R 上单调递减，1()fxR2x()Fx所以 的解集为 ，即 的解集为 ，选 D.0x(,)(f(,)变式 2.定义在 R上的函数 fx，其导函数 满足 ，且 3f，则关于 x的不等式x()1f1fx
11、的解集为 (,2)变式 3.已知函数 为定义在 上的可导函数，且 对于任意 恒成立，且 ，()fxR()fxxR(1)fe则 的解集为 ()xfe,1)变式 4.函数 的定义域是 ， ，对任意 ， ，则不等式f 20(fRx()1fx的解集为（ A ）1)(xxfA. B. C. D. 01 -或 0xx或例 2 设 是定义在 R 上的奇函数，且 ，当 时，有 恒成立，则不等()fx(2)0fx2()ff式 的解集是 解：因为当 x0 时，有 恒成立，即 0 恒成立，2()xff()fx6所以 在 内单调递减()fx0,)因为 ，所以在（0，2）内恒有 ；在 内恒有 f()0fx(2,)()0
12、fx又因为 是定义在 R 上的奇函数，()x所以在 内恒有 ；在 内恒有 ,()0fx(2,)()fx又不等式 的解集，即不等式 的解集所以答案为 （0，2） 2()xf 0fx(,)变式 1. 已知定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式)0, ()fx (fxfx的解集为（ C ）)2(421()04( fxfxA B. C. D. ,0， )2016,()0216(，变式 2.函数 的定义域为 R， ，对任意 xR，都有 成立，则不等式()fx()16f)fx的解集为（ C ）2()01fA. B. C. D. ,(,)(,2)(,)变式 3. 设 是定义在 上的函数，其导函
13、数为 ，若 ， ,则)xfyRfx()1fx(0)217f不等式 的解集为（ D ）()2016feeA. B. C. D. ,(,)(2016,),0(),(),(变式 4.函数 是定义在 上的偶函数, ,且 时, ,则不等式)(xfRfxfxf的解集是_ _（提示：构造的 为奇函数， ）0)(xf g0f例 4 设 是 上的可导函数， ， ，则不等式()g、 ()()0fxgf(3)的解集为 ()f(3,)变式 1设 分别是定义在 上的奇函数、偶函数，当 时，()fx、 Rx， ，则不等式 的解集为 .()0fg()g()0fg(,3)(0,变式 2已知 上的函数 满足 ，且 ，若Rfx、
14、 ()xfa()fxfgx，则关于 的不等式 的解集为 . (1)5fglog1a1(0)2，变式 3. 设奇函数 定义在 上，)(xf ),0(,(7其导函数为 ，且 ，当 时， ，则关于 的不等式()fx02fxsincos0fxfxx的解集为_ .f2sin6f(,)(,)6（提示：构造的 为偶函数）)(ifxg四、构造函数法求值例 1设 是 上的可导函数，且 ， ， .则 的值为 .()fxR()fxf(0)1f2()fe(1)f提示：由 得 ，所以 ，即 ，()fx 0xxe0x设函数 ，则此时有 ，()Fe1(2)F故 ，1xf()fe变式已知 的导函数为 ，当 时， ，且 ，若存
15、在 ，使()x0()fxf(1)fxR，则 的值为 1 .（提示：构造 ）2()fxx 2g例 2已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，R()fx、 ()xfa()()fgxfx，若有穷数列 的前 项和等于 ，则 等于 5 .(1)52fg*()fnNgn312n解： ， ，()()fxfx2g()( 0()fxfxfx即函数 单调递减，0a1又 ，()xfg1()5f即 解得 或 a=2（舍去） 152a2 ，即 ，()xfg(n)1nfg数列 是首项为 ，公比 的等比数列，1()2n12aq ，由 ，解得 n=5。nS31()nnS变式 1 已知 , 都是定义在 R 上的函数， ， ，且xf
16、g0)(xg()()fxgfx8)()(xgaf（ ，且 ） 。 ，若数列 的前 项和大于 62，则 的最小值为（ A 0125)1(gf )(ngf n）A 8 B 7 C 6 D 5变式 2已知 、 都是定义在 R 上的函数， ， ，()fx ()()0fxfgx()xfga在区间 上随机取一个数 ， 的值介于 4 到 8 之间的概率5(1)12fg3,0是（ ）A B C D3812解：由题意， ， 0，()()0fxgfx()fxg函数 在 R 上是减函数， ，0a1f ()f 5(1)()12fgf152a 的值介于 4 到 8，fx3,x在区间 上随机取一个数 x， 的值介于 4
17、到 8 之间的概率是 ，故选 A3,0()fg13P【模型总结】关系式为“加”型（1） 构造()0fxf()()xxefffx（2） 构造 （3） 构造()xfnfx 11()()()()nnnnxffxfxffx（注意对 的符号进行讨论）关系式为“减”型（1） 构造()0fxf2()()()()xxx xffefffee（2） 构造ff 2fffx（3） 构造()0xfnf121()()()()nnn nfffxffxx （注意对 的符号进行讨论）9构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标。
