1、必修二立体几何典型例题【知识要点】1空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：有公共点：相交，记作：abA，其中特殊位置关系：两直线垂直相交无公共点：平行或异面平行，记作：ab异面中特殊位置关系：异面垂直(2)空间直线与平面：有公共点：直线在平面内或直线与平面相交直线在平面内，记作：a 直线与平面相交，记作：a A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交无公共点：直线与平面平行，记作：a (3)空间两个平面：有公共点：相交，记作： l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交无公共点：平行，记作： 2空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，
2、那么这条直线上所有的点都在此平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性
3、质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：【例题分析】例 2 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是 AB，PC 的中点，求证：MN平面 PAD【分析】要证明“线面平行” ，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加) 中位线辅助证明证明：方法一，取 P
4、D 中点 E，连接 AE，NE底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是 AB，PC 的中点，MACD ， .21CDAE 是 PD 的中点，NECD， .MANE，且 MANE，AENM 是平行四边形，MNAE又 AE 平面 PAD，MN 平面 PAD，MN平面 PAD方法二取 CD 中点 F，连接 MF，NFMFAD ，NF PD，平面 MNF平面 PAD，MN平面 PAD【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：ac，bc， a ，a a，bb a， babab abab(2)证明线面平行：a ab b ，a a aa a(3)证明面面平行： a ，b a，
5、a ， a，b ，abA 例 3 在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA 1AC ，ABAC ，求证： A1CBC 1【分析】要证明“线线垂直” ，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明 A1C 垂直于经过 BC1 的平面即可证明：连接 AC1ABCA 1B1C1 是直三棱柱，AA 1平面 ABC，ABAA 1又 ABAC，AB平面 A1ACC1，A 1CAB又 AA1AC，侧面 A1ACC1 是正方形，A 1CAC 1由，得 A1C平面 ABC1，A 1CBC 1【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABAC”都要将
6、其向“线面垂直”进行转化例 4 在三棱锥 PABC 中，平面 PAB平面 ABC，AB BC，APPB ，求证：平面PAC平面 PBC【分析】要证明“面面垂直” ，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可以通过“线线垂直”进行转化证明：平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，且 ABBC ，BC平面 PAB，APBC又 APPB，AP平面 PBC，又 AP 平面 PAC，平面 PAC平面 PBC【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：ac，bc， ab abab(1)证明线面垂直：am，an ab，b ，a ，lm，n ，mnA a ，al
7、a a aa(1)证明面面垂直：a，a 例 5 如图，在斜三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 A1ABB1 是菱形，且垂直于底面ABC， A1AB 60，E，F 分别是 AB1，BC 的中点()求证：直线 EF平面 A1ACC1；()在线段 AB 上确定一点 G，使平面 EFG平面 ABC，并给出证明证明：() 连接 A1C，A 1E侧面 A1ABB1 是菱形， E 是 AB1 的中点，E 也是 A1B 的中点，又 F 是 BC 的中点，EF A 1CA 1C 平面 A1ACC1，EF 平面 A1ACC1，直线 EF平面 A1ACC1(2)解：当 时，平面 EFG平面 ABC，证明如下：3
8、G连接 EG，FG 侧面 A1ABB1 是菱形，且A 1AB60，A 1AB 是等边三角形E 是 A1B 的中点， ，EGAB31G平面 A1ABB1平面 ABC，且平面 A1ABB1平面 ABCAB，EG平面 ABC又 EG 平面 EFG，平面 EFG平面 ABC例 6 如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，E 是 AC 的中点()求证：平面 BEC1平面 ACC1A1；() 求证：AB 1平面 BEC1【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考证明：() ABCA 1B1C1 是正三棱柱，AA
9、 1平面 ABC，BEAA 1ABC 是正三角形，E 是 AC 的中点，BEAC ，BE平面 ACC1A1，又 BE平面 BEC1，平面 BEC1平面 ACC1A1()证明：连接 B1C，设 BC1B 1CDBCC 1B1 是矩形，D 是 B1C 的中点， DEAB 1又 DE 平面 BEC1，AB 1 平面 BEC1，AB 1平面 BEC1例 7 在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD， ABDC，PAD 是等边三角形，已知 BD2AD8， 542A()设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PAD；()求四棱锥 PABCD 的体积【分析】本题中的数量关系较多，可考
10、虑从“算”的角度入手分析，如从 M 是 PC 上的动点分析知，MB，MD 随点 M 的变动而运动，因此可考虑平面 MBD 内“不动”的直线BD 是否垂直平面 PAD证明：() 在ABD 中，由于 AD4，BD8， ，54AB所以 AD2BD 2AB 2故 ADBD 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD 平面 ABCD，所以 BD平面 PAD，又 BD 平面 MBD，故平面 MBD平面 PAD()解：过 P 作 POAD 交 AD 于 O，由于平面 PAD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD因此 PO 为四棱锥 PABCD 的高，又PAD 是边长为 4 的等边三
11、角形因此 .324P在底面四边形 ABCD 中，ABDC，AB2DC，所以四边形 ABCD 是梯形，在 RtADB 中，斜边 AB 边上的高为 ，即为58梯形 ABCD 的高，所以四边形 ABCD 的面积为 故.245824S.3162431ABCDPV练习一、选择题：1已知 m，n 是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是( )(A)若 m ， n ，则 m n (B)若 m ，n ，则 mn(C)若 ， ，则 (D)若 m ，m ，则 2已知直线 m，n 和平面 ， ，且 mn，m ， ，则( )(A)n (B)n ，或 n (C)n (D)n ，或 n 3设 a，b
12、是两条直线， 、 是两个平面，则 ab 的一个充分条件是( )(A)a ，b ， (B)a ，b ， (C)a ，b ， (D)a ，b ， 4设直线 m 与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )(A)在平面 内有且只有一条直线与直线 m 垂直(B)过直线 m 有且只有一个平面与平面 垂直(C)与直线 m 垂直的直线不可能与平面 平行(D)与直线 m 平行的平面不可能与平面 垂直二、填空题：5在三棱锥 PABC 中， ，平面 PAB平面6PBAABC，PAPB，ABBC，BAC 30，则 PC_ 6在直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，当底面 ABCD 满足条件_时，有A1CB
13、1D1( 只要求写出一种条件即可)7设 ， 是两个不同的平面，m，n 是平面 ， 之外的两条不同直线，给出四个论断：mn n m 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题_8已知平面 平面 ， l ，点 A ，A l，直线 ABl，直线 ACl ，直线m ，m ，给出下列四种位置： ABm ；AC m；AB ；AC ，上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是_三、解答题：9如图，三棱锥 PABC 的三个侧面均为边长是 1 的等边三角形，M，N 分别为 PA，BC的中点()求 MN 的长；()求证：PABC10如图，在四面体 ABCD 中，CBCD ，ADBD，且
14、E、F 分别是 AB、BD 的中点求证：()直线 EF平面 ACD；()平面 EFC平面 BCD11如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BCAD ， ，G，H 分别AFBEADBC21,/,21为 FA，FD 的中点()证明：四边形 BCHG 是平行四边形；()C，D，F ，E 四点是否共面 ?为什么?()设 ABBE，证明：平面 ADE平面 CDE专题七 立体几何参考答案练习一、选择题：1B 2D 3C 4B二、填空题：5 6ACBD(或能得出此结论的其他条件 )07、 ；或、 8三、解答题：9()解：连接 MB，MC三棱锥 P
15、ABC 的三个侧面均为边长是 1 的等边三角形， ，且底面ABC 也是边长为 1 的等边三角形23MCBN 为 BC 的中点，MNBC在 Rt MNB 中， 22BN()证明：M 是 PA 的中点，PAMB，同理 PAMCMBMCM，PA平面 MBC，又 BC 平面 MBC，PA BC 10证明：()E 、F 分别是 AB、BD 的中点，EF 是ABD 的中位线，EF AD 又 EF 平面 ACD，AD 平面 ACD，直线 EF平面 ACD()EFAD，ADBD，EFBDCBCD，F 是 BD 的中点，CFBD CFEFF，BD平面 CEFBD 平面 BCD，平面 EFC平面 BCD11()
16、由题意知，FG GA ，FHHD，GHAD， ,21ADGH又 BCAD， ，GHBC ，GHBC ，ADBC21四边形 BCHG 是平行四边形()C，D，F ，E 四点共面理由如下：由 BEAF， ，G 是 FA 的中点，F得 BEFG ，且 BEFGEFBG 由()知 BGCH ，EF CH，故 EC，FH 共面，又点 D 在直线 FH 上，所以 C，D，F，E 四点共面()连结 EG，由 ABBE，BEAG，BE AG 及BAG90，知 ABEG 是正方形，故 BGEA由题设知 FA，AD ，AB 两两垂直，故 AD平面 FABE，BGADBG平面 EAD，BGED又 EDEAE，BG平面 ADF由()知 CHBG，CH平面 ADE由()知 F平面 CDE，故 CH 平面 CDE，得平面 ADE平面 CDE
