1、1应用题中的不变量一、部分量不变例 1、育红小学六年级图书角原来有科技书与文艺书本数比是 56，借出 10 本科技书后，科技书与文艺书本数比是 34。科技书原来有多少本？解法一：本题文艺书本数不变。由原来有科技书是文艺书本数的 ，现在科技书是文艺书本数的 ，56 34则文艺书本数是 10（ ）本，得科技书原来有的本数。56 3410（ ）56 34 5610 112 56100（本）解法二：本题文艺书本数不变。由科技书与文艺书本数比。原来 561012现在 34912则文艺书本数的份数 12 不变，得科技书原来有的本数。10（109）10100（本）例 2、小军原有的钱数是小明的 3/4，小军
2、用去 100 元后，这时小军的钱数是两人总钱数的 5/17。小军原来有多少元钱？ 思路点拔 ：题中小军的钱数减少了，总钱数也减少了，但小明的钱数没有变，因此，我们可以把小明的钱数看作单位“1”。这时“小军用去 100 元后，这时小军的钱数是两人总钱数的 5/17”就转化为“小军用去 100 后，这时小军的钱数是小明的 5/(17-5),即 5/12”，再根据题中前两个条件可知，100 元相当于小明的钱数的 3/4-5/12=1/3。因此小明的钱数是 1001/3=300(元) ，小军原有钱数是3003/4=400（元）例 3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的 9/16，后来又转走了 4
3、 名男生，这时男生人数占班级总人数的 8/15,求六（4）班原来有学生多少名？ 思路点拔 ：从男生转走了 4 名看出，男生人数和班级总人数都发生了变化，但女生人数没有变。因此可以把女生人数这个不变量看作单位“1”，原来男生人数占班级总人数的 9/16,女生人数就占班级总人数的 1-9/16=7/16,原来男生人数是女生人数的 9/167/16=9/7；现在男生人数占总人数的 8/15，女生人数就占班级总人数的 1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的 8/157/15=8/7,男生人数减少了 4 名，分率减少了 9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为 41/7=28(名) ，六（4
4、）班原有学生人数是287/16=64(名)例 4、有含糖率为 7%的糖水 600 克，要使含糖率变为 10%，需再加入多少克糖?思路点拔 ：糖水 600 克中有水:600*(1-7%)=558 克，所以,现在糖水总量是:558/(1-10%)=620 克 那么要加糖:620-600=20 克例 5、鸡栏里有公鸡和母鸡共 80 只，其中公鸡,后来又买回若干只公鸡后，母鸡占总只数的，问又买回多少只公鸡？ 思路点拔 ：首先，找准不变量：母鸡只数，可以直接计算出来，算出其只数 80(1)=44 只。 2然后，计算出来的公鸡 44 只代入变化后的关系中，找出其对应分率（1=）。 接着，算出变化后的总只数
5、：44=100 只。 最后，对比变化前后总只数，得出结论：10080=20 只。二、两个量和不变例 6、实验学校组织学生大扫除，六年级学生参加大扫除的人数是未参加的 ，后来又有 12 名学生14主动参加，现在参加大扫除的人数是未参加的 ，那么六年级有学生多少人？13解法一：本题六年级学生的人数和不变。学生参加大扫除的原来的人数是六年级的 ，现在的14 1人数是六年级的 ，得六年级学生人数。13 112（ ）13 1 14 112120240（人）解法二：本题六年级学生的人数和不变。由参加大扫除的与未参加的人数比。原来 14416现在 13515则六年级学生人数和的份数 416515 不变，得六
6、年级学生人数。12（54）（515）240（人）例 7、小丽有故事书 108 本，小芳有故事书 140 本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的 3 倍。问小芳借了多少本故事书给小丽？思路点拔 ：小芳借了若干本故事书给小丽前后，小芳和小丽拥有故事书的本数都发生了变化，但两人拥有故事书的总本数不变，这是本题解题的关键。即(108+140)本就是小芳现有故事书的本数的(3+1)倍，因此小芳现有故事书的本数是(108+140) (3+1)=62 本，所以小芳借给小丽故事书的本数是140-62=78（本）。可以验证一下：(108+78)(140-78)=18662=3，答案正确。例
7、 8、有一个书架，上层与下层书的数量比是 2：3，现从上层拿 15 本书给下层，这时上层与下层书的数量比是 3：7，求原来上、下层各有多少本书？ 思路点拔 ： 根据题意，上、下两层书的本数都发生了变化，而上下两层书的总数量是不变的，可把总数量看作单位“1”。抓住总数量不变，根据上层与下层书的数量比是 2:3,知道上层书占总数的2/5；又根据上层与下层书的数量比是 3:7,知道上层书占总数的 3/10，两人故事书的总本数是：15（2/5-3/10）=150（本），所以上层原有书 1502/5=60（本），下层原有书 150-60=90（本）。例 9、某校合唱队人数是舞蹈队人数的 3/2，如果将合
8、唱队队员调 10 人到舞蹈队，则合唱队人数变为舞蹈队人数的 7/8，原合唱队有多少人？ 思路点拔 ： 根据合唱队与舞蹈队的前后人数之比可知，合唱队原来占全体人数的 3/(3+2) ,后来调出 10 人后，占全体人数的 7/(7+8)，则全体人数有：10(3/(3+2) -7/(7+8),求出全体人数后，就能根据原来占全体人数的比求出合唱队原来有多少人了三、两个量差不变例 10、五年级一班原来男、女生人数比是 35，后来男、女生各增加 9 人，现在男、女生人数比3是 34。现在全班共有多少人？解法一：本题男、女生人数差不变。原来男生人数是男、女生人数差的 ，现在男生人数是男、35 3女生人数差的
9、 ，则男、女生人数差是 9（ ）人，得现在全班共有学生人数。34 3 34 3 35 39（ ）34 3 35 3 3 44 391.5742（人）解法二：本题男、女生人数差不变。由男、女生人数比。原来 3535现在 3468则男、女生人数的份数差 5386 不变，得现在全班共有学生人数。9（63）（68）42（人）例 11、今年琪琪 5 岁，妈妈 32 岁，再过多少年妈妈的岁数是琪琪岁数的 4 倍？ 思路点拔 ：不论经过多少年，琪琪和妈妈的年龄差都是不变的。今年妈妈与琪琪的年龄差为 32-5=27（岁） ,等于妈妈的岁数是琪琪岁数的 4 倍时的年龄差，所以 27 岁对应的是那一年琪琪岁数的（
10、4-1）倍。那一年琪琪的岁数是（32-5）（4-1）=9（岁），经过的年限是：9-5=4 （年）。例 12、用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进 6 杯水，连瓶共重 680 克，如果倒进 9 杯水，连瓶共重 920 克，求空瓶的重量。 思路点拔 ：随着倒进的杯数不同，瓶里水的重量和总重量都在变化，但是不管倒进几杯水，每一杯水的重量都是不变的，所以，（920-680）克就正好是（9-6）杯水的重量。对应相除就能求出 1 杯水的重量，（920-680）（9-6）=80 （克）从而就可以求出空瓶的重量。920-809=200 （克）例 13、有甲乙两个粮仓，原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数比是 3：5，
11、从两个仓库都运走后50 吨的粮食后，甲仓库的存粮是乙仓库存粮的 5/9。问原来甲乙两个粮仓各存粮多少吨？ 思路点拔 ：根据题意，甲乙两个粮仓的存粮的吨数都发生了变化，而且它们的总存粮的吨数也发生了变化，但是我们可以发现，由于两个粮仓的存粮数都减少了 50 吨，所以现在两个粮仓存粮的吨数差不变。我们可以把吨数差作为单位“1”。“原来甲仓库存粮与乙仓库存粮的吨数比是 3：5”，可知甲仓库存粮的吨数占吨数差的 3(5-3)=3/2，都运走后 50 吨后，甲仓库存粮的吨数占吨数差的5(9-5)= 5/4。由此可以求出甲乙两个粮仓存粮的吨数差是 50（3/2-5/4）=200（吨），甲仓库存粮的吨数是
12、2003/2=300（吨），乙仓库存粮的吨数是 300+200=500（吨）四、用方程巧解分数应用题例 14、.某车间女工人数是男工人数的 3/4，后来调走男工 24 人，这时男工人数是女工人数的4/5。这个车间现有男工多少人？例 15、育才小学六年级有甲乙两个班，甲班学生人数是乙班的 5/7。如果从乙班调 2 人到甲班，甲班人数就是乙班的 4/5。甲班原来有学生多少人？例 16、甲商店原来的电视机台数是乙商店的 2/3。两家商店分别卖了 8 台电视机后，甲商店的电视机台数是乙商店的 3/5。甲乙两商店原来各有多少台电视机？思路点拔 ： 11 题中，单位“1”不统一，这样不好列方程。在这道题中
13、，有一个“不变量”这个车间的女工人数。所以，我把它看作单位“1”，将所有的量都转化为以它为单位“1”的形式，即把“女工人数是男工人数的 3/4”转化为“男工人数是女工人数的 4/3”，就简单多了。根据数量关系式“原来的男工人数-24 = 现在的男工人数”列出方程：解：设女工人数为 x 人，男工人数原有 4/3x 人，现有 4/5x 人。44/3x-24=4/5xx =454/3x=454/3=604/5x=4/560=36答：这个车间现有男工 36 人。思路点拔 ： 12 题中，“不变量”是两个班学生的总人数。无论两个班的学生怎么调换，总人数都不变。根据这个“不变量”，可以列出数量关系式“甲班
14、原来的人数+乙班原来的人数=甲班现在的人数+ 乙班现在的人数”，并列出方程：解：设乙班原有 x 人，甲班原有 5/7x 人。x+5/7x= (x-2)+4/5(x-2)x=425/7x=5/742=30答：甲班原有学生 30 人。思路点拔 ： 13 题中，两家商店卖出的电视机台数是相等的，都是 8 台。所以，两家商店电视机台数的差始终相等。这个“台数差”和卖出的电视机台数就是“不变量”解决问题的关键。我根据数量关系式“乙商店现在的电视机台数3/5=甲商店现在的电视机台数”列出方程，很快就解决了问题：解：设乙商店原来有 x 台电视机，甲商店原来有 2/3x 台电视机。2/3x-8=3/5(x-8)2/3x-8=3/5x-24/5x=482/3x=2/348=32答:甲商店原来有 32 台电视机，乙商店原来有 48 台电视机。前后对比，问题得解 量率对应，问题得解 已知或能直接计算题目中的问题，计算出不变量，以不变量为单位“1” 代入变化后数量关系中不变量，找出其变化后的对应分率，选中其中一个变量，求出变化后的 一个变量，找出其变化前后各占“1”的分率，找出其变化前后的数量，算出分率差，算出数量差。
