数列与不等式证明方法归纳(解析版).docx

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资源描述

1、数列与不等式证明方法归纳共归纳了五大类,16 种放缩技巧,30 道典型例题及解析,供日后学习使用。1、数列求和(1)放缩成等比数列再求和(2)放缩成差比数列再错位相减求和(3)放缩成可裂项相消再求和(4)数列和比大小可比较单项2、公式、定理(1)利用均值不等式(2)利用二项式定理(3)利用不动点定理(4)利用二次函数性质3、累加、累乘(1)累加法(2)利用类等比数列累乘4、证明不等式常用方法(1)反证法(2)数学归纳法及利用数学归纳法结论5、其它方法(1)构造新数列(2)看到“指数的指数”取对数(3)将递推等式化为递推不等式(4)符号不同分项放缩一、数列求和(1)放缩成等比数列再求和典例 1已

2、知数列 , , , 。na01a)(1*221Nnan()求证:当 时: ;*N1n()记 ,求证)1()(1)1(1 22 nn aaaaT 。)(3*Nn解析()令 ,得 (*) ;1n12a又 , ,两式相减得 ,212nna21nn 011nnaa即 与 同号(*) ;n11n由(*) 、 (*)得 ;1na()令 ,得 ;n252由()得 单调递减,即 ;na312an所以 ;1222 )()1(nnT即 。321)3(231)3()(3112 nnnn典例 2已知数列 满足 , 。na51 *1,Nnan()求 的通项公式;na1()设 的前 项和为 ,求证: 。nnS58n解析(

3、)由 得 ,即 ;nna321 2131na)1(231nna所以 是公比为 的等比数列,首项为 ,所以 ,即 ;1na2323nna)23(11)23(na()由()得 ;1342nna)3(21)(所以 321)(78452)3()(3145421 nnnnaS 6.1890.98)3(9845 n典例 3设数列 满足 , 。na1)(*Nnan()证明: ;)(232*n()求正整数 ,使 最小。ma2017解析()因为 ,且 ,即数列2221 1)(nnnn a 011nna递增,所以 ,则 ,累加得na1an 321na,即 ,即 ;221)(3)(2 2312n()由()得 ,且2

4、211nnaa;4)1(212212 nnnn aaa累加得 212201526201672017 )()()( a)411(40311206 2262 naa ;3.40)(34n即 ,所以 ;.02017a 640925.403.6017a所以正整数 ,使得 最小。64mma2017(2)放缩成差比数列再错位相减求和典例 1已知数列 满足: , ,求证:na1)()2(*Nnaan。1123na解析因为 ,所以 与 同号;nna)(11na又因为 ,所以 ,即 ,即 ,所以数列 为01a0n 021nn na1na递增数列,所以 ,即 ;1aa累加得: ;121nn令 ,所以 ,两式相减得

5、:12nnS nnS2123,所以 ,所以;nn1132 1nn 123nna故得 。11nna典例 2已知数列 与其前 项和 满足 。nnS)2(1)(1aSan()求数列 的通项公式;na()证明: 。)(31*Nnakn解析()设 公差为 ,所以 ,解得 ,所以 ;nd2)31()7(1d1na因为 ,所以 ,两式相减得 ;)(1(nbaS nnbaSnb将 代入原等式,解得 ,所以 ;a1n()由()得 , ,所以 (糖水原理) ;nnbnnnb211所以 ,有错位相减法得 ,所nknkba211 k n2 21)(3以 , 。312nknk *Nn(3)放缩成可裂项相消再求和典例 1

6、已知 。求证: 。)(12*nan )(312*321 Nnaan解析即证 ;)2()2()( 131 na因为 ;)(111nna所以;)1212(31321 nna即证 ;)2(13n记 ,下证 ;1nb3)(21nb因为 ;12)12()12(12 nnnnnb所以)3()( 1433221 nnnb ,即原不等式成立。1)3(1n典例 2已知数列 满足 , 。na21 )(1(*1NnSann()求证: 是等比数列;n()求证: 。161321naa解析()因为 , ,两式相减得 ;)(1Snn )1(2nSn 231na所以 , 是公比为 3 的等比数列;31nana()由()得 ;

7、1n因为 ;)13(21)3()3(3111 nnnnnnna所以 )1(28 14321 nnna 165)38(5n典例 3设 是数列 前 项之积,满足 , 。nMna1naM*N()求数列 的通项公式;n()设 ,求证: 。221nnMS 3115naS解析()因为 ,所以 ,即 ,所以 是nana1nMn1公差为 1 的等差数列,首项为 2,所以 ,即 ,所以1n;nMan()设 ,因为1aST,即 是递增数列,所以0)21(2)(21 nnnn nT,即不等式左端成立;1531Tn又因为 122TTnnn 2543)(1)()1( 222 1)(43()1(4322 nn 25)(1

8、()51 1)1543(21342( nn,即不等式右端成立;321)()1 n综上, 。325T(4)数列和比大小可比较单项典例 1已知数列 满足 , 。na521*1,3Nnan()求 的通项公式;na1()设 的前 项和为 ,求证: 。nnSnn)32(156解析()由 得 ,即 ;nna321 21na)1(21nna所以 是公比为 的等比数列,首项为 ,所以 ,即 ;na23nn)3(1)23(n()设 为数列 的前 项和, ;nTnb 321)(5)3(156nnnT所以 ,要证 ,只需证 ,即 ;1)32(5nnbnSnba1)()2(nn即 ,显然成立;)(1n所以 ,从而 。

9、nbannTS)32(156典例 2已知 ,圆 : 与 轴正半轴的焦点为 ,与曲线*NnC)0(22nRyxyP的交点为 ,直线 与 轴的交点为 。对 ,证明:xy),1(QP),(naA*N() ;21na()若 , ,则 。inS1niT12357nTS解析()由点 在曲线 上可得 ,又点在圆 上,则Nxy)1,(nNnC, ,从而 的方程为 ,由点221)1(nRnnRM1nRyax在 上得: ,将 代入化简得),(NM1nnan,则 ;na1 211nn a()原不等式化为 ,将不等式左右两端分别看成数列 、nTSTnn23257nb的前 项和,则只需证 ,即 ;nccab2357na因为 ,故 ,所以有04)1()2(2xx 21x;nn cnna 32又因为当 时,有 ,即 ,10x0x 0)32()12()(2( xxx即 ,即 ;因为1)1)2()(212 ,所以 ,所以有 ;n0n nnan 572综上, ,即nncab2357nTS二、公式、定理(1)利用均值不等式典例数列 定义如下: , 。证明:na21a121nna

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