1、12004 年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设 , 则 的间断点为 .2(1)()limnxfx()fx（2）设函数 由参数方程 确定, 则曲线 向上凸的 取值范()y31ty()yx围为_.（3） _.12dx（4）设函数 由方程 确定, 则 _.(,)zy23xzey3zxy（5）微分方程 满足 的特解为_.30xd165x（6）设矩阵 , 矩阵 满足 , 其中 为 的伴随矩阵, 210AB2ABEA是单位矩阵, 则 _-.EB二. 选择题（本题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分. 每小题给出的
2、四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把 时的无穷小量 , , 排列起来, 0x20cosxtd20tanxdt30sinxtd使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A） （B）,.,.（C） （D） （8）设 , 则()1)fx（A） 是 的极值点, 但 不是曲线 的拐点.0(f(0,)()yfx（B） 不是 的极值点, 但x)x是曲线 的拐点.,2（C） 是 的极值点 , 且 是曲线 的拐点.0x()f(0)()yfx（D ） 不是 的极值点, 也不是曲线 的拐点. x （9） 等于221limn()(1)n（A） . （B ）
3、.1lxd1lxd（C） . （D） 2n()2n()（10 ）设函数 连续, 且 , 则存在 , 使得fx(0)f0（A） 在 内单调增加 .()（B） 在 内单调减小 .fx,)（C）对任意的 有 .(0()0fx（D ）对任意的 有 . ,x()f （11 ）微分方程 的特解形式可设为21sinyx（A） .(cos)axbcAB（B） .2(siyx（C） .nxc（D ） 2osyabAx （12 ）设函数 连续, 区域 , 则 等于()fu2(,)Dyy()Dfxyd（A） .21()xdfd（B） .20y（C） .sin(icos)frr3（D ） 2sin0(icos)dfr
4、rd （13 ）设 是 3 阶方阵, 将 的第 1 列与第 2 列交换得 , 再把 的第 2 列加到第 3 列得AAB, 则满足 的可逆矩阵 为CQ（A） . （B） . 0101（C） . （D） . 1001（14 ）设 , 为满足 的任意两个非零矩阵, 则必有AB（A） 的列向量组线性相关, 的行向量组线性相关.B（B） 的列向量组线性相关 , 的列向量组线性相关.（C） 的行向量组线性相关 , 的行向量组线性相关.（D ） 的行向量组线性相关, 的列向量组线性相关. 三. 解答题（本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15 ） （本题满分 1
5、0 分）求极限 .3012coslim1xx（16 ） （本题满分 10 分）设函数 在（ ）上有定义, 在区间 上, , 若对任意的()fx022()4)fx都满足 , 其中 为常数.x2)kk()写出 在 上的表达式; () 问 为何值时, 在 处可导.(fx0k()fx0（17 ） （本题满分 11 分）设 ,()证明 是以 为周期的周期函数;()求 的值域.2()sinxftd()fx()fx4（18 ） （本题满分 12 分）曲线 与直线 及 围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 轴旋2xey0,()xt0yx转一周得一旋转体, 其体积为 , 侧面积为 , 在 处的底面积为 .()VtSt
6、xt()Ft()求 的值; () 计算极限 .()StV()limtF（19 ） （本题满分 12 分）设 , 证明 .2eab224ln()babe（20 ） （本题满分 11 分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞, 以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为 的飞机,着陆时的水平速度为 .经测试,90kg70/kmh减速伞打开后, 飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 ).问从着陆点算6.1k起,飞机滑行的最长距离是多少?注 表示千克, 表示千米/小时.kgkmh（21 ） （本题满分 10 分）设 ,其中 具有连续二阶偏导数,求2(
7、)xyzfef.2,zxy（22 ） （本题满分 9 分）设有齐次线性方程组 12341234()0,3(),4axxa试问 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.a（23 ） （本题满分 9 分）设矩阵 的特征方程有一个二12345a重根, 求 的值, 并讨论 是否可相似对角化.aA52003 年考研数学（二）真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1） 若 时， 与 是等价无穷小，则 a= .0x1)(2axxsin（2） 设函数 y=f(x)由方程 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .4ly（3） 的麦克
8、劳林公式中 项的系数是_.xynx（4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于 从 0 变到 的一段)0(ae2弧与极轴所围成的图形的面积为_.（5） 设 为 3 维列向量， 是 的转置. 若 ，则T1T= .T（6） 设三阶方阵 A,B 满足 ，其中 E 为三阶单位矩阵，若BA2，则 _.102AB二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设 均为非负数列，且 , , ,则必有,nncba 0limna1linbnclim(A) 对任意 n 成立. (B) 对任意 n 成立.c(C
9、) 极限 不存在. (D) 极限 不存在. nclimnli（2）设 , 则极限 等于dxxannn130 nalim(A) . (B) .)1(2e 1)(23e(C) . (D) . 3（3）已知 是微分方程 的解，则 的表达式为xyln)(yx )(yx6（A） (B) .2xy.2xy(C) (D) .2y.2y（4）设函数 f(x)在 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有),(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. yO x（5）设 , , 则401tandxI dI
10、402tan(A) (B) .21.12I(C) (D) I 1（6）设向量组 I： 可由向量组 II： 线性表示，则r,21 s,21(A) 当 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 时，向量组 II 必线性相关.srr(C) 当 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 时，向量组 I 必线性相关. 三 、 （本题满分 10 分）设函数 ,0,4sin1,6arci)ln()(23xxef问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a 为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点？四 、 （本题满分 9 分）7设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求)1(,21lntdueyxt
11、.92xdy五 、 （本题满分 9 分）计算不定积分 .)1(23arctnx六 、 （本题满分 12 分）设函数 y=y(x)在 内具有二阶导数，且 是 y=y(x)的反函数.),()(,0yxy(1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方)(sin(32ddyx程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 的解.2)0(,)(七 、 （本题满分 12 分）讨论曲线 与 的交点个数.kxyln4xy4ln八 、 （本题满分 12 分）设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ，其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的交点)21,(为 Q，且线段 PQ 被 x
12、轴平分 .(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线 y=sinx 在 上的弧长为 ，试用 表示曲线 y=f(x)的弧长 s.,0ll九 、 （本题满分 10 分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图） ，)0(yx容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以 的速率向容器内注入液体时，液面min/3的面积将以 的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.min/2(1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 之间的关系式；)(y(2) 求曲线 的方程.)(yx(注：m 表示长度单位米， min 表示时间单位分.)8十 、 （本题满分 10 分
13、）设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且若极限 存在，证明：.0)(xf axfax)2(lim(1) 在(a,b)内 f(x)0; (2)在(a,b)内存在点 ，使 ；)(2)(2fdxfab(3) 在(a,b) 内存在与(2)中 相异的点 ，使 badxff .)(2十 一、 （本题满分 10 分）若矩阵 相似于对角阵 ，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使6028aA.1P十二 、 （本题满分 8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为， ， .:1l032cbyax:2l03acybx:3l032baycx试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 .1213
