1、第 1 页（共 7 页）几何体的表面积和体积解答基础1如图，在底半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 的圆柱，求圆柱的表面积和圆锥的体积解：圆锥的高 ，圆柱的底面半径 r=1，表面积： 圆锥体积： = 第 2 页（共 7 页）2如图，在正三棱台 ABCA 1B1C1中，已知其上、下底面边长分别为 3cm 和6cm，AA 1=3cm，求此三棱台的侧面积和体积解：由正三棱台的结构特征知，其上、下底面分别是边长为 3cm 和 6cm 的等边三角形，如图 O、O 1为上、下底面的中心，OA= AD= =2 ，OD= ；O1A1= A1D1= = ，O 1D1=棱台的高 h= = ，DD1=
2、= ，三棱台的侧面积 S=3 = ；三棱台的体积 V= （ 32+ 62+ 36） = 第 3 页（共 7 页）3四边形 ABCD 为直角梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，ABBC，现将该梯形绕 AB 旋转一周形成封闭几何体，求该几何体的表面积及体积解：依题旋转后形成的几何体为上部为圆锥，下部为圆柱的图形，如下图所示：其表面积 S=圆锥侧面积+圆柱侧面积+圆柱底面积；S=4 +8+4=12+4 ；其体积 V=圆锥体积+圆柱体积；V= 第 4 页（共 7 页）4.如图，在底面半径为 2、母线长为 4 的圆锥中挖去一个高为 的内接圆柱；（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的
3、体积解：设圆锥、圆柱的底面半径分别为 R、r，高分别为 h、h（1）圆锥的高 h= =2 ，又h= ，h= h = ，r=1S 表面积 =2S 底 +S 侧 =2r 2+2rh=2+2 =2（1+ ）（2）所求体积=第 5 页（共 7 页）5已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为 a，侧棱长为 a（1）求它的外接球的体积（2）求他的内切球的表面积解：（1）由题意，四棱锥为正四棱锥，该四棱锥的侧棱长为 a，底面是边长为 a 的正方形， 四棱锥的高为 a，设外接球的半径为 R，则有 R2=（ a） 2+（ aR） 2，R= a，外接球的体积为 = ；（2）设内切球的
4、半径为 r，则r= a表面积为 4r 2= 第 6 页（共 7 页）6已知正方形的边长为 a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积解：设底面半径为 r，直圆柱体的高为 h因为侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长所以有底面周长 2r=a，h=a，解得 ，由公式圆柱体体积 V=r 2h= 7已知某个四面体的棱长均为 a，（1）求该四面体外接球的体积；（2）求该四面体内切球的体积解：（1）：正四面体的棱长为 a，此四面体一定可以放在正方体中，我们可以在正方体中寻找此四面体如图所示，四面体 ABCD 满足题意，BC=a，正方体的棱长为 a，此四面体的外接球即为
5、此正方体的外接球，外接球的直径=正方体的对角线长，外接球的半径为 R= = a，所以，球的体积为 a 3= a 3（2）设正四面体的内切球的半径为 r，由于正四面体的每个面的面积为 S= aasin60= a2，正四面体的高为 h= = a，故正四面体的体积为 V= Sh= a3再根据 V=4 sr=4 a2r，可得 a3=4 a2r，求得 r= a，故四面体内切球的体积 V= r 3= a3第 7 页（共 7 页）8半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ，求球的表面积和体积解：设正方形 ABCDABCD的底面 ABCD 在半球的底面圆上，如图则球心 O 为 ABCD 的中心，连结 OA正方体的棱长为 ，A0= AC= ，可得 AO= ，即半球的半径 R=3，因此，半球的表面积为 ；体积 V=
