1、数列极限和数学归纳法一、 知识点整理：数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比 当q时无穷等比数列前 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问01qn题。1、理解数列极限的概念： 等数列的极限21,()2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广3、常见数列的极限： lim0,li(),limnn nqC4、无穷等比数列的各项和： 10naSq数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处理数列问题（1 ）
2、 、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明 能被 642389n整除， ） ） ，证明的目标非常明确；2438(1)9k2(389)64(1)kk（2 ） 、 “归纳猜想证明” ，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。二、 填空题1、 计算： =_3_。123limnn2、 有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为2 ， nV21.)(lin 873、 0lim_3n134、 数列 na的通项公式 *,1()2()nnaN，前 n项和为 nS，则 limn=_ _.325、 设 是公比为 的等比数列，且 ，
3、则 3 na1 4)(lim12531nnaa1a6、 在等比数列 中，已知 ，则 _ _.n124,2alinn 67、 数列 的通项公式是 ，则 =_ _ .13()nn )(21 78、 已知数列 是无穷等比数列，其前 n 项和是 ，若 ， ，nanS3a341a则 的值为 . limnS1639、设数列 满足当 （ ）成立时，总可以推出 成立下列四个命题：a2n*N21()na（1 ）若 ，则 （2 ）若 ，则 （3）若 ，则 34310a525164a（4 ）若 ，则 其中正确的命题是 （2 ） （3） （4） .（填写你认为正确的2(1)n1na所有命题序号）10、将直线 ： ，
4、： ， ： （ ， ）围l0yx2lnyxl0nyx*N2n成的三角形面积记为 ，则 _ _nSnim111、 在无穷等比数列 中，所有项和等于 2， a1则 的 取 值 范 围 是a,412、设无穷等比数列 的公比为 q，若 ，则 q=_ _n 45li() nn 15213、 已知点 ， ， ，其中 为正整数，设 表示0,1AB, C3, nS的面积，则 _2.5_BCnSlim14、 下列关于极限的计算，错误的序号_（2）_ （1） = =（2） （ + + ）= + + =0+0+0=0（3） （ n）= = = ；（4）已知 =（15）已知 是定义在实数集 上的不恒为零的函数，且对于
5、任意 ，满足 ，fxR,abR2f，记 ，其中 考察下列结论：faba2,nnnffb*N； 是 上的偶函数；数列 为等比数列；数列 为等差数列.其01ff nan中正确结论的序号有 二、选择题：16、已知 0a, b,若1lim5nab，则 ba的值不可能是 （ （D） ）（A） 7. （B） 8. （C） 9. （D） 10. 17、若 存在，则 的取值范围是 （ （A ） ）21limnnrr（A） 或 ；（B） 或 ；（C） 或 ；（D）3131r313r观察下列式子： ,4721,532,21 2 ，可以猜想结论为(C) ) .(A) 2n1 (N*)； (B) 2n(1 (N*)(
6、C) 213()；(D) 21319、已知 ， 是数列 的前 n 项和（ (A） ）10nnanSa(A） 和 都存在 ； (B) 和 都不存在 。 limnliSlimnlin(C) 存在， 不存在 ； (D) 不存在， 存在。n linS20、设双曲线 上动点 到定点 的距离的最小值为 ，则22*(1)()xyNP(1,0)Qnd的为（ (A） ） （A） （B） （C） 0 lind 2（D）1三、综合题：21、在数列 中， 。 （1）求na112, (,)nanN234,;a（2 ）猜想数列 的通项公式，并证明你的结论。(1) ;(2) 234859,aa231n22、 已知数列 满足
7、 ，双曲线 。na0n21:()nnxyCNa（1 ）若 ，双曲线 的焦距为 ， ，12,c4求 的通项公式；n（2 ）如图，在双曲线 的右支上取点 ，过 作 轴的n(,)nPxny垂线，在第一象限内交 的渐近线于点 ，联结 ，记CQOnPQ的面积为 。若 ，求 。nSlim2nalinS（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若 ，lim(0)nuA则 。 ）linuA29.（ 1） ；（2）21,nisodaevn1数列综合题1. 定义：如果数列 na的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称 na为“三角形”数列对于“三角形”数列 ，如果函数 ()yfx使得 ()nbf仍为一个“三角
8、形”数列，则称 ()yfx是数列 n的“保三角形函数” ， N*.(1)已知 na是首项为 2，公差为 1 的等差数列，若 ,1xfk是数列 的“保三角形na函数” ，求 k 的取值范围；(2)已知数列 c的首项为 2010， 是数列 nc的前 n 项和，且满足 43804S，证明nSnc是“三角形”数列。 解：(1)显然 ， 对任意正整数都成立，即 是三角形数列 因为 k1，显然有 ，由 得，解得 .所以当 时， 是数列 的“保三角形函数”. (2) 由 得 ,两式相减得所以， ，经检验，此通项公式满足 显然 ，因为 ，所以 是“三角形”数列 2. 已知数列 的前 项和为 ， ， （ 为正整
9、数）. nanS1an134Sn（1）求数列 的通项公式；（2）记 ，若对任意正整数 ， 恒成立，求 的取值范围? nS21 nkk（3）已知集合 ，若以 a 为首项，a 为公比的等比数列前 n0,)(xxA项和记为 ，问是否存在实数 a 使得对于任意的 .若存在，求出 a 的nT nN,TA均 有取值范围；若不存在，说明理由.23(1) 由题意知，当 时， 两式相减变形得:2n134San1a(2)3又 时， ，于是 1 分1n2a3213故 是以 为首项，公比 的等比数列 n1q 4 分*nn1a,(N)3)(2) 由 得 = 5 分S4nn1kS3()(f当 n 是偶数时， 是 的增函数
10、， 于是 ，故 7 分)(nf 98)2()(minff k当 n 是奇数时， 是 的减函数， 因为 ，故 k19 分f nl1综上所述，k 的取值范围是 10 分)98,(（3）当 ，a1,Ax|a时，若22T22,1.则此不等式组的解集为空集.1,0a得即当 a. 13 分,时 不 存 在 满 足 条 件 的 实 数当 .1|0xaA时而 是关于 n 的增函数 .2nnnTa()且 15 分nnalim,T,).11故因此对任意的 要使 解得 18 分,Nnn0a1,A,.只 需 .210a3. 已知抛物线 24xy，过原点作斜率为 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 1P，又过点 1作斜
11、率为 1的直线交抛物线于点 2P，再过 2作斜率为 4的直线交抛物线于点 3， ，如此继续。一般地，过点 n作斜率为 1n的直线交抛物线于点 1nP，设点 (,)nxy（1）求 31x的值；（2）令 21nnb，求证：数列 nb是等比数列；（3） 记 为点列 的极限点，(,y)P奇 奇 奇 1321,P求点 的坐标奇解：（1）直线 的方程为 yx，由 24yx解得1O(4,)P，1 分直线 21的方程为 42yx，即 12yx由 21yx得 2(,1)P，2 分直线 23P的方程为 1yx，即 34yx由 243yx解得， )49,(3所以 14x 3 分（2）因为 2(,)nnx， 2114
12、(,)nPx，由抛物线的方程和斜率公式得到5 分 所以 182nnx，两式相减得 142nnx214nx6 分用 代换 得 214nnnbx， 由（1）知，当 时，上式成立，所以 n是等比数列，通项公式为 b 7 分（3）由 得，214nnx， ， ，8 分 314x532x214nnx以上各式相加得 10 分所以 ， 2184nn218lim3x奇 2194yx奇 奇即点 的坐标为 12 分P奇 6,394、 设数列 na的首项 为常数 ，且 132(*)naN （1）证明：113535n是等比数列；（2）若 132a， n中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由
13、（3）若 是递增数列，求 的取值范围1a32 证明：（1）因为11352nna，所以数列 35na是等比数列；3 分（2） 35na是公比为2，首项为 1950a的等比数列通项公式为113()(2)5n nn， 4 分若 na中存在连续三项成等差数列，则必有22nna，即 解得 4n，即121)(0953)(095309 456,成等差数列7 分（3）如果 1na成立，即1 113(2)(2)n nnaa 对任意自然数均成立化简得9 分当 为偶数时 ,n)2(55 354因为 是递减数列，所以 ，即 ；10 分p14)( 0)()(maxpn1当 n为奇数时， ,因为 是递增数列，na)23(
14、nq23154所以 ，即 ；11 分)()(minq1故 的取值范围为 12 分1,05、 已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ，且 ，其中 .nanS14nnaN1a（1 ）求证： 成等差数列；135,a（2 ）求证：数列 是等差数列；n（3 ）设数列 满足 ，且 为其前 项和，求证：对任意正整数 ，不等式b12bnNanTn恒成立.21lognnTa证：（1）当 11224=3;aSa时 ， 由 ， 及 得当 （2 分）22334() 5nS时 ， 由 得当 334444(15)157;nSaa时 ， 由 得当 （4 分）579时 ， 由 得由此可得： 成等差数列. （5 分）135,a
15、（2）当 11114()()(),nnnnnnnaSaaa时 ， 由由 故 即 （7 分）0,n1,24.N从而 2()3(),mam24()2(),mm因此 ,故数列 是等差数列. （10 分）nNna6、 已知数列 、 的各项均为正数，且对任意 ，都有 ， ， 成等差数列，nab*Nnnab1nnb， 成等比数列，且 ， 1a1052a（1 ） 求证：数列 是等差数列；（2）求数列 、 的通项公式。n n344,2nnab7、 在数列 中，已知 ，前 项和为 ，且 .（其中 ） 。 （1）求数n12annS2)(1an*Nn列的通项公式；（2）求 。na2limSn（1 ）因为 ，令 ，得
16、 ，所以 ；2)(1anS2)(11aa01（ 2 分）（或者令 ，得 ）0)(11当 时， 2n 2)1(2nnn aaS， ，推得 ，（5 分）)(11nnna 113n又 ， ，所以 当 时也成立，所以 ， （ ）（ 12a323ana12, 1na*N6 分）（2 ） = （ 9 分）2limnS8、已知数列 的前 项和为 ，且 ， N*（1）求数列 的通项公式；（2 ）nanS4nana已知 （ N*） ，记 ( 且 )，是否存在这样的常数 ，使32cndCclog0C得数列 是常数列，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.d【解】 （1） ，所以 1 分14a21由 得 时， 2 分nS41naS两式相减得， ， ，3 分12na数列 是以 2 为首项，公比为 的等比数列，所以 （ ）5 分na2na2*N（2 ）由于数列 是常数列d= 6 分nnCcloglog)(3Cn为常数72l23 2log3)2Cn分只有 ,8 分；解得 ,9 分0logC此时 10 分7nd
