1、文德教育1知识框架 1111(2)(2)()2(nnnmpqnnaqadSadpq 两 个 基 等 比 数 列 的 定 义本 数 列 等 比 数 列 的 通 项 公 式等 比 数 列数 列 数 列 的 分 类数 列 数 列 的 通 项 公 式 函 数 角 度 理 解的 概 念 数 列 的 递 推 关 系等 差 数 列 的 定 义等 差 数 列 的 通 项 公 式等 差 数 列 等 差 数 列 的 求 和 公 式等 差 数 列 的 性 质 111()1()nnmpqaqSa 等 比 数 列 的 求 和 公 式等 比 数 列 的 性 质公 式 法分 组 求 和错 位 相 减 求 和数 列 裂 项
2、求 和求 和 倒 序 相 加 求 和累 加 累 积归 纳 猜 想 证 明分 期 付 款数 列 的 应 用 其 他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。 （2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 为常数）例 1、 已知a n满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解 a n+1-a
3、n=2 为常数 a n是首项为 1，公差为 2 的等差数列a n=1+2（n-1） 即 an=2n-1例 2、已知 满足 ，而 ，求 =？1212n（2）递推式为 an+1=an+f（n）例 3、已知 中 ， ，求 .121241nana解： 由已知可知 )(1n )12(令 n=1，2， （n-1） ，代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a1）+（a 3-a2）+（a n-an-1）文德教育2243)12(1nan 说明 只要和 f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以 n=1，2， （n-1）代入，可得 n-1 个等式累加而求an。(3)递推式为 a
4、n+1=pan+q（p，q 为常数）例 4、 中， ，对于 n1（nN）有 ，求 .n1132nana解法一： 由已知递推式得 an+1=3an+2，a n=3an-1+2。两式相减：a n+1-an=3（a n-an-1）因此数列a n+1-an是公比为 3 的等比数列，其首项为 a2-a1=（31+2）-1=4a n+1-an=43n-1 a n+1=3an+2 3a n+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1解法二： 上法得a n+1-an是公比为 3 的等比数列，于是有：a 2-a1=4，a 3-a2=43，a 4-a3=432，a n-an-1=43n-2，把 n-1 个等式
5、累加得： an=23n-1-1(4)递推式为 an+1=p an+q n（p，q 为常数）由上题的解法，得： )(3211nnbb nnb)32(na(5)递推式为 21nnapqa思路：设 ,可以变形为：，211()nnn想于是a n+1-a n是公比为 的等比数列，就转化为前面的类型。求。na文德教育3(6)递推式为 Sn与 an的关系式关系；（2）试用 n 表示 an。)21()(11 nnnaS 1nanna211上式两边同乘以 2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 则2 nan是公差为 2 的等差数列。2 nan= 2+（n-1）2=2n数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把
6、每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果 等差， 等比，那么nanb叫做差比数列）nab即把每一项都乘以 的公比 ，向后错一项，再对应同nbq次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列 和 （其中 等差）1na1nana文德教育4可裂项为： ，11()nnada11()nnda等差数列前 项和的最值问题：1、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最大值。na10dnnS（）若已知通项 ，则 最大 ；nS1na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数时 最2npq
7、2qpnS大；2、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最小值na10dnn（）若已知通项 ，则 最小 ；nS1na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数时 最2npq2qpnS小；数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知 （即 ）求 ，用作差法：nS12()naf na。1,()2nnSa已知 求 ，用作商法： 。12()afA n(1),2)nfan已知条件中既有 还有 ，有时先求 ，再求 ；有时也可直接求 。nSSna若 求 用累加法：1()nf1221( ()aaa。2)已知 求 ，用累乘法： 。1(nfn 121na ()n已知递推关系求 ，用构造法
8、（构造等差、等比数列） 。a特别地， （1）形如 、 （ 为常数）的1nkb1nnakb,k递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 ；na形如 的递推数列都可以除以 得到一个等差数列后，再1nnaknk求 。（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。1nakb（3）形如 的递推数列都可以用对数法求通项。1n（7） （理科）数学归纳法。文德教育5（8）当遇到 时，分奇数项偶数项讨论，结果qadann11或可能是分段形式。数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，
9、再运用公式法求和。 （3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）.n（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推n导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ；1()1nn1()()knk ，2(kk；21)(1)k () (2)nnn； ；1!(1)! 22() (1)1nnn二、解题方法
10、：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、 naS求由（ 时 ， ， 时 ， ）SnaSnn21 13、求差（商）法如 ： 满 足 an n25112解： a514时 ， ， an 22221时 ，得 ： n an1 n421()练习数 列 满 足 ， ， 求aSaannnn11534（ 注 意 到 代 入 得 ： Snnn 1 1又 ， 是 等 比 数 列 ，Snn144文德教育6naSnnn23411时 ， 4、叠乘法例 如 ： 数 列 中 ， ， ， 求anan n11解： an n2131 123， 又 ， n5、等差型递推公式由 ， ， 求 ， 用 迭 加 法afaan n110()
11、fann22331时 ， 两 边 相 加 ， 得 ：()ffn12()() afn03()练习数 列 ， ， ， 求aannnn112（ ）a236、等比型递推公式acdcdn1 010、 为 常 数 ， ， ，可 转 化 为 等 比 数 列 ， 设 axnnacn1令 ， ()xdc1 是 首 项 为 ， 为 公 比 的 等 比 数 列acadcn1 dcn n11 adnn11练习数 列 满 足 ， ， 求aannn11934（ ）an847、倒数法例 如 ： ， ， 求aannn112文德教育7由 已 知 得 ： 121aannn 1n112aan为 等 差 数 列 ， ， 公 差 为1
12、2nn a2数列求和问题的方法（1） 、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。135(2n-1)=n 2【例 8】 求数列 1， （3+5） ， （7+9+10） ， （13+15+17+19） ，前 n 项的和。解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前 n 项中，共有 1+2+n=个奇数，)(21n最后一个奇数为：1+ n(n+1)-12=n2+n-12因此所求数列的前 n 项的和为（2） 、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1（n 2-1）+ 2（n 2-22）+3（n 2-
13、32）+n（n 2-n2）解 S=n 2（1+2+3+n）-（1 3+23+33+n3）（3） 、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和： 12363nnnSCC文德教育8例 10、解 012363nnnnSCC S n=3n2n-1（4） 、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例 11、 求数列 1，3x，5x 2,(2n-1)xn-1前 n 项的和解 设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1 (2)x=0 时，
14、S n=1(3)当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以 x 得 xS n=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-，得 (1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例 12、求和 1115379(2)3n注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。文德教育9【例 13】 等差数列a n的首项 a10，
15、前 n 项的和为 Sn，若 Sl=Sk（lk）问n 为何值时 Sn最大？此函数以 n 为自变量的二次函数。a 10 S l=Sk（lk），d0 故此二次函数的图像开口向下 f（l）=f（k）2方程思想【例 14】设等比数列a n前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q。分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解 依题意可知 q1。如果 q=1，则 S3=3a1，S 6=6a1，S 9=9a1。由此应推出 a1=0 与等比数列不符。q1整理得 q 3（2q 6-q3-1）=0 q0此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q 3）S 3。 S9=S3+q3S6=
16、S3（1+q 3+q6），由 S3+S6=2S9可得 2+q3=2（1+q 3+q6），2q 6+q3=03换元思想【例 15】 已知 a，b，c 是不为 1 的正数，x，y，zR+，且求证：a，b，c 顺次成等比数列。证明 依题意令 ax=by=cz=kx=1og ak，y=log bk，z=log ckb 2=ac a，b，c 成等比数列（a，b，c 均不为 0）数学 5（必修）第二章：数列一、选择题文德教育101数列 的通项公式 ，则该数列的前（ ）项之和等于na1nan。9A B C D896972在等差数列 中，若 ，则 的值为（ na4,84S201981aa）A B C D1213在等比数列 中，若 ，且 ，则 为（ n622345n）A B C D 或 或 62)1(n2n62)1(n26n二、填空题1已知数列 中， ， ，则数列通项na111nnaa_。n2已知数列的 ，则 =_。2Sn 1210983三个不同的实数 成等差数列，且 成等比数列，则cba, bca,_。:abc三、解答题1 已知数列 的前 项和 ，求nnnS23 2 数列 ),60cos1lg(),.60cos1lg(),60cos1lg(,0l 12 n的前多少项和为最大？3已知数列a 的前 n 项和为 S ，满足 S =2a -2n(nN )nn
