1、1导数压轴题题型归纳1. 高考命题回顾例 1 已知函数 f(x)e xln(x m) （2013 全国新课标卷）(1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2 时，证明 f(x)0.例 2 已知函数 f(x)x 2ax b，g(x)e x(cxd)，若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y4x+2（2013 全国新课标卷）（）求 a，b，c ，d 的值（）若 x2 时, ()fkg，求 k 的取值范围。例 3 已知函数 满足 （2012 全国新课标）)(f 21)0()( xfefxx(1)求 的解析式及单调
2、区间；x(2)若 ，求 的最大值。baf21)( )(例 4 已知函数 ln()1xf，曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程为230xy。（2011 全国新课标）（）求 a、 b的值；（）如果当 0x，且 1时， ln()1xkf，求 的取值范围。例 5 设函数 （2010 全国新课标）2()xfea(1)若 ，求 的单调区间；0af(2)若当 时 ，求 的取值范围0例 6 已知函数 f(x)(x 3+3x2+ax+b)ex . （2009 宁夏、海南）(1)若 ab3,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)在( ,),(2,)单调增加 ,在(,2),(,+)单调减少,证明 6.2
3、2. 在解题中常用的有关结论(1)曲线 在 处的切线的斜率等于 ，且切线方程为()yfx0 0()fx。000)()ffx(2)若可导函数 在 处取得极值，则 。反之，不成立。(yf0()fx(3)对于可导函数 ，不等式 的解集决定函数 的递增（减）)fx()fx0（ ） ()fx区间。(4)函数 在区间 I 上递增（减）的充要条件是： 恒成立()fx xI()f0)（ 不恒为 0）.(5)函数 （非常量函数）在区间 I 上不单调等价于 在区间 I 上有极值，则()fx ()fx可等价转化为方程 在区间 I 上有实根且为非二重根。（若 为二次()0fx ()fx函数且 I=R，则有 ）。(6)
4、 在区间 I 上无极值等价于 在区间在上是单调函数，进而得到()fx()fx ()fx或 在 I 上恒成立0(7)若 ， 恒成立，则 ; 若 ， 恒成立，则xI()f0min()fx0xI()f0ma()f(8)若 ，使得 ，则 ；若 ，使得 ，0I0()fxmax()f0I0()fx则 .min()fx(9)设 与 的定义域的交集为 D，若 D 恒成立，则有f()g()fgx.min0fx(10)若对 、 ， 恒成立，则 .1I2xI12()fxgminax()()fxg3若对 ， ，使得 ,则 .1xI2I12()fxgminin()()fxg若对 ， ，使得 ，则 .12faxaxf（1
5、1 ）已知 在区间 上的值域为 A,， 在区间 上值域为 B，()fx1I()gx2I若对 , ，使得 = 成立，则 。21f2A(12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 有两个不等实根 ，且极大()0fx12x、值大于 0，极小值小于 0.(13)证题中常用的不等式: ln1(0)x1 xx+ ln(1)x（ ） xexe ln1()222ln1(0)x3. 题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例 7（构造函数，最值定位）设函数 (其中 ).21xfxekR() 当 时,求函数 的单调区间;1kf() 当 时,求函数 在 上的最大值 .20,M例 8（分类讨论，区间划
6、分）已知函数 , 为函数321()(0)fxaxb(fx的导函数. ()fx4(1)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 ,求3yx的值;,ab(2)若函数 ,求 函数 的单调区间.()()axgef()gx例 9（切线）设函数 axf2)(.（1）当 a时，求函数 )(xfg在区间 1,0上的最小值；（2）当 0时，曲线 y在点 )(axfP处的切线为 l， 与 x轴交于点 ),(2xA求证： a21.例 10（极值比较）已知函数22()3)(),xfxaeR其中 a当 0a时，求曲线 (1,yf在 点 处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5
7、.u.c.o.m 当23时，求函数 ()fx的单调区间与极值.例 11（零点存在性定理应用）已知函数 ()ln,().xfxge若函数 (x) = f (x) 1+-，求函数 (x)的单调区间；设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+) 上存在唯一的 x0，使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切例12（最值问题，两边分求）已知函数1()lnafxx()R.521a时，讨论 ()fx的单调性；设2()4.gxb当1a时，若对任意 1(0,2)x，存在 21,x，使1f，求实数 取值范围.例13（二阶导转换）已知函数 xfln)(若)(Rax
8、fF，求 )(F的极大值；若 kfG2在定义域内单调递减，求满足此条件的实数 k 的取值范围.例 14（综合技巧）设函数1()ln().fxaxR讨论函数 ()f的单调性；若 x有两个极值点 12,，记过点 1(,),Af2()Bxf的直线斜率为 k,问：是否存在 a，使得 ka？若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由.交点与根的分布例 15（切线交点）已知函数 32,fxabxaR在点 1,f处的切线方程为 20y求函数 fx的解析式；若对于区间 ,上任意两个自变量的值 12,x都有 12fxfc，求实数c的最小值；若过点 2,Mm可作曲线 yf的三条切线，求实数 m的取值范围例 16（
9、根的个数）已知函数 xf)(，函数 xfgsin)(是区间-1，1上的减函数.6（I）求 的最大值；（II）若 1,)(2xtxg在上恒成立，求 t 的取值范围；（）讨论关于 x 的方程mexf2)(ln的根的个数例 17（综合应用）已知函数.23)ln()xf求 f(x)在0,1 上的极值；若对任意0)(l|,316 fa不 等 式成立，求实数 a 的取值范围；若关于 x 的方程 bxf2)(在0，1 上恰有两个不同的实根，求实数 b 的取值范围.不等式证明例 18(变形构造法) 已知函数 1)(xa，a 为正常数若 )(ln(xf，且 a 29，求函数 )(xf的单调增区间；在中当 0a时
10、，函数 )(xfy的图象上任意不同的两点 1,yxA， 2,yxB，线段 AB的中点为 ,(0C，记直线 AB的斜率为 k，试证明： )(0fk若 )ln)(xxg，且对任意的 2,0,1， 21x，都有12，求 a 的取值范围例 19(高次处理证明不等式、取对数技巧) 已知函数 )0(ln)(2axf.（1）若2)(xf对任意的 0x恒成立，求实数 的取值范围；7（2）当 1a时，设函数 xfg)(，若1),1(,22xex，求证421)(xx例 20（绝对值处理）已知函数 的图象经过坐标原点，且在 处cbxaxf23)( 1x取得极大值（I）求实数 的取值范围；a（II）若方程 恰好有两个
11、不同的根，求 的解析式；9)32()xf )(xf（III）对于（ II）中的函数 ，对任意 ，求证：xf R、81|)sin()si2(| ff例 21（等价变形）已知函数 xaxfln)()（）讨论函数 在定义域内的极值点的个数；（）若函数 在 处取得极值，对 , 恒成立，)(f1,02)(bxf求实数 的取值范围；b（）当 且 时，试比较 的大小20eyxxxyln1与例 22（前后问联系法证明不等式）已知27()ln,()(0)fxgxm，直线 l与函数 (),fxg的图像都相切，且与函数 f的图像的切点的横坐标为1。（I）求直线 l的方程及 m 的值；（II）若 ()1)( )hxf
12、gx其 中 ()是 gx的 导 函 数 ，求函数 ()hx的最大值。（III）当 0ba时，求证：()(2.bafaf例 23(整体把握，贯穿全题) 已知函数 ln()1xf8（1）试判断函数 ()fx的单调性； （2）设 0m，求 在 ,2m上的最大值；（3）试证明：对任意 *nN，不等式 1ln()en都成立（其中 e是自然对数的底数）例 24(化简为繁，统一变量) 设 aR,函数 ()lnfxa.（）若 2a，求曲线 yf在 1,2P处的切线方程；（）若 ()fx无零点,求实数 的取值范围；（）若 有两个相异零点 12,x,求证: 21xe.例 25（导数与常见不等式综合）已知函数 21
13、()()tfxtx，其中为正常数（）求函数 ()tfx在 0,)上的最大值；（）设数列 na满足： 153， 12na，（1）求数列 的通项公式 ； （2）证明：对任意的 0x， 231()*nfxNa；（）证明：2121naa9例 26（利用前几问结论证明立体不等式）已 知 函 数 f(x)=ex-ax(e 为 自 然 对 数 的 底 数 ).(I )求函数 f(x)的单调区间；(II)如 果 对 任 意 ,2x， 都 有 不 等 式 f(x) x + x2 成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ；(III)设 *Nn,证 明 ：n)1(+ +n)3(+n)( 1e例 27 已知函
14、数 .若函数 满足下列条件:21(0)fxaxcfx ;对一切实数 ,不等式 恒成立.10f21f()求函数 的表达式;fx()若 对 , 恒成立 ,求实数 的取 值范围;21ta（ ） x,at()求证: .*2()nNff例 28（数学归纳法）已知函数 ()ln1)fxmx，当 0时，函数 ()fx取得极大值.（）求实数 m的值；（）已知结论：若函数 ()l)f在区间 (,)ab内导数都存在，且1a，则存在 0,xab，使得 0(ffx.试用这个结论证明：若 2，函数 121)()(gfx，则对任意1(,)x，都有 )fx；（）已知正数 2,nL，满足 12nL，求证：当 2n，nN时，对
15、任意大于 ，且互不相等的实数 12,xL，都有12()nfxx12()()()nfff.恒成立、存在性问题求参数范围10例 29（传统讨论参数取值范围）已知函数 ， ()2)(12lnfxax1()xge为自然对数的底数) ,aRe（1 ）当 时，求 的单调区间；()fx（2 ）对任意的 恒成立，求 的最小值；10,2a（3 ）若对任意给定的 ，0, (1,2)ixex在 上 总 存 在 两 个 不 同 的使得 成立，求 的取值范围。()ifga例 30 已知函数 .|1)(xaf（1 ）求证：函数 上是增函数.),0(在fy（2 ）若 上恒成立，求实数 a 的取值范围.,12)(在xf（3 ）若函数 上的值域是 ，求实数 a 的取值范围.,nmfy在)(,nm例 31 已知函数32()l21)()xfxaaR.(1)若 为 的极值点,求实数 的值;(2)若 ()yf在 上为增函数,求实数 的取值范围 ;(3)当 a时,方程 31()xbf有实根,求实数 b的最大值.例 32（分离变量）已知函数 xaxfln)(2(a 为实常数).(1)若 2a，求证：函数 在(1,+) 上是增函数； (2)求函数 )(xf在1,e 上的最小值及相应的 值；(3)若存在 ,1，使得 xf2(成立，求实数 a 的取值范围.例 33（多变量问题，分离变量）已知函数32()6)xf te， R.
