1、1数列通项一求数列通项公式1 观察法 已知数列 试写出其一个通项公式：_,321967,85432 公式法：（等差数列通项公式； 等比数列通项公式。 ）等差数列 是递增数列，前 n 项和为 ，且 成等比数列， 求数列 的通项nanS931,a25aSn公式3 用作差法：已知 （即 ）求 ，用作差法：nS12()naf n 1,()2nnS1 设正整数数列 前 n 项和为 ，满足 ，求 n214Sa2.已知 的前 项和满足 ，求 na2log(1)nSna3.数列 满足 ，求na11154,3nnSan4 数列 满足 ，求na12125na na4 作商法： 已知 求 ，用作商法： 。12()n
2、af na(1),2)nfan如 数列 中， 对所有的 都有 ，则 ；n,22321 53a25 累加法：若 求 ： 1a(2)n。1()nafna122()()()nnaa1 已知数列，且 a1=2，a n+1=an+n，求 an 2 已知数列 满足 ， ，则 =_na1nan11(2)na6 累乘法：已知 求 ，用累乘法：1()nafna121naa ()n1 已知数列 满足 ， ，求 。n321n1.2 已知数列 中， ，前 项和 ，若 ，求na21nnSna27 用构造法（构造等差等比数列） 。（1）形如 只需构造数列 ，消去 带来的差异其中 有多种不同形式nfpan1 nbf nf
3、为常数，即递推公式为 （其中 p，q 均为常数， ） 。f pa1 )01(pq解法：转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。)(1ttnnt例 已知数列 中， ， ，求 a321nn 为一次多项式，即递推公式为nf srnpan1例设数列 ： ，求 na)2(,3,41 an3通项专题答案1 12nna2 353 (1) n(2) ,12a(3)14,3nA(4),2a4 615 (1)24na(2) 1n6 (1) (2)23na4()n7 (1) 1n(2) 42.已知 且 ，求 答案： 答案：13a12nna 1532na 1532na8.已知 且 ，求 答案：13a11n
4、nSan1(3)na11.已知数列a n的首项 a1= ，a n+1= ，n=1，2，求a n的通项公式；答案：35n+1 32na二数列求和1 公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 的关系，必要时需分类讨论 ；常用公式：， ，123()2n 22()26nn3例已知 ，求 的前 n 项和.答案：logl23x nxx32 12nnS2分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和 5例 2 求数列的前 n 项和： ，答案：231,7,412naa123nnaS3倒序相加法：若和式中到
5、首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式n的推导方法） 例 3求 的值 答案： 89sini3sin2i1sin 222 4.5nS4错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法） n例 4 求和： 132)2(7531n xxS例 5求数列 前 n 项的和答案：,2,64,23 124nnS5裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有： ； ；1(
6、)1nn1()()knk ， ；2(kk 211()kk ； ；(1)2(1)(2)nnn()!n6 2122(1) (1)1n nnn例 6求数列 的前 n 项和答案：,3, 1nS例 7在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的和121nan 12nnab答案： 81S6通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例 8 求 之和 答案：11个n1098nS三能力综合1数列a n的通项公式为 an= ，已知前 m 项和 Sm=9，则 m 为( ) +1A 99 B98 C10 D9 2数列 1，1+2，l+2+2 2，1+2+2 2+2n-1 前 n 项和
7、等于( ) A2 n+1-n B2 n C2 n-n D2 n+1-n-23数列 的首项为 3， 为等差数列且 ，若 ，则nab1baN310,b（ ）8A0 B3 C8 D114设数列 满足 且 。n101nna（1）求 的通项公式；（2）设 ，记 ，证明：na1b1nkSb1nS75如果 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f(1)=-2，则 等于 答案：-(1)3(5)(207)2468fff5026设数列a n的前 n 项和为 Sn=2n2，b n为等比数列，且 a1=b1，b 2（a 2-a1）=b 1(l)求数列a n和b n的通项公式；(2)设 cn= ，求数列c n的前 n 项
8、和 Tn 答案：（1） （2）ab 1,4nn1(65)49T7求满足下列条件的数列 的通项公式。na（1）已知 满足 ；（2）已知 满足 ，且 ，求 。na112,4na13na13na答案：（1） （2）3n 2na8求下面各数列的前 n 项和。（1） ； （2）1,3579 11,324569设函数 的定义域为 N+，且满足 ， ，求 。()fn()()fmnffnm()1f()fn10设正值数列 的前 n 项和为 ，满足ans21na（1）求 ， ， （2）求出数列 的通项公式（3）设 求数列 的前 n 项和13 n1babT答案：（1） ；（2） ；（3）,5a1na2nT11已知数
9、列a n：a 1，a 2，a 3，a n，构造一个新数列：a 1，(a 2 a1)， （a 3-a2） ， （a n-an-1），此数列是首项为 1，公比为 的等比数列(l)求数列a n的通项； (2)求数到a n的前 n 项和 Sn12已知数列a n的首项 a1= ， ，n=1，2，231nna8(1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前 n 项和 Sn1nana13 （2012 大连一模）已知各项均为正数的数列 满足 111, 0nna。n（1）求证：数列 1na是等差数列，并求数列 a的通项公式；（2）求数列 2n前 n 项和 nS。答案：（1） （2）1()nS14 （2012 东三省第一次联考）数列 na前 n 项和 nS，且 3(1)2na，数列 nb满足13(2)4nbn，且 13b。（1）求数列 a与 的通项公式；（2）设数列 nc满足 2log()nn，其前 n 项和为 nT，求 nT。答案：（1） ；（2）3,41nnb1(52)35nT15 （2012 东三省第三次联考）数列 满足 ，且na*12(,2)nnaN1a（1）求数列 的通项公式；（ 2）令 ，当数列 为递增数列时，求正实数 的取nabb值范围。答案：（1） （2 ）21()nn
