1、计算迎面相遇和追及相遇次数的问题高等有趣，值得一探【题目】一游泳池道长 100 米，甲乙两个运动员从泳道的两端同时下水做往返训练 15 分钟，甲每分钟游 81 米，乙每分钟游 89 米。甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？【解答】从身边经过，包括 迎面和追上两种情况。能迎面相遇【（8189）15100】200 ，取整是 13 次。第一次追上用 100（8981）12.5 分钟，以后每次追上需要 12.5225 分钟，显然 15 分钟只能追上一次。因此经过 13114 次。如果甲乙从 A，B 两点出发，甲乙第 n 次迎面相遇时，路程和为全长的 2n-1 倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲
2、走的路程的 2n-1 倍（乙也是如此）。总结：若两人走的一个全程中甲走 1 份 M 米，两人走 3 个全程中甲就走 3 份 M 米。（含义是说，第一次相遇时，甲乙实际就是走了一个全程，第二次相遇时，根据上面的公式，甲乙走了 2x2-1=3 个全程，如果在第一次相遇时甲走了 m 米，那么第二次相遇时甲就走了 3 个 m 米）下面我们用这个方法看一道例题。湖中有 A，B 两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从 A，B 两岛同时出发，他们第一次相遇时距 A 岛 700 米，第二次相遇时距 B 岛 400 米。问：两岛相距多远？【解】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成 1 个全长，从
3、起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成 3 个全长，此时甲走的路程也为第一次相遇地点的 3 倍。画图可知，由 3 倍关系得到：A，B 两岛的距离为 7003400=1700 米小学奥数行程问题分类讨论2010-06-08 12:00:20 来源：网络资源 进入论坛行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一(计算、数论、几何、行程)。具体题型变化多样，形成 10 多种题型，都有各自相对独特的解题方法。现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。一、一般相遇追及问题。包括一人或者二人时(同时、异时)、地( 同地、异地)、向(同向、相向)的时间和距离等
4、条件混合出现的行程问题。在杯赛中大量出现，约占 80%左右。建议熟练应用标准解法，即 s=vt 结合标准画图(基本功)解答。由于只用到相遇追及的基本公式即可解决，并且要就题论题，所以无法展开，但这是考试中最常碰到的，希望高手做更为细致的分类。二、复杂相遇追及问题。(1)多人相遇追及问题。比一般相遇追及问题多了一个运动对象，即一般我们能碰到的是三人相遇追及问题。解题思路完全一样，只是相对复杂点，关键是标准画图的能力能否清楚表明三者的运动状态。(2)多次相遇追及问题。即两个人在一段路程中同时同地或者同时异地反复相遇和追及，俗称反复折腾型问题。分为标准型(如已知两地距离和两者速度，求 n 次相遇或者
5、追及点距特定地点的距离或者在规定时间内的相遇或追及次数)和纯周期问题(少见，如已知两者速度，求一个周期后，即两者都回到初始点时相遇、追及的次数)。标准型解法固定，不能从路程入手，将会很繁，最好一开始就用求单位相遇、追及时间的方法，再求距离和次数就容易得多。如果用折线示意图只能大概有个感性认识，无法具体得出答案，除非是非考试时间仔细画标准尺寸图。一般用到的时间公式是(只列举甲、乙从两端同时出发的情况，从同一端出发的情况少见，所以不赘述)：单程相遇时间：t 单程相遇 =s/(v 甲+v 乙)单程追及时间：t 单程追及 =s/(v 甲-v 乙)第 n 次相遇时间：Tn= t 单程相遇(2n-1)第
6、m 次追及时间：Tm= t 单程追及(2m-1)限定时间内的相遇次数：N 相遇次数= (Tn+ t 单程相遇)/2 t 单程相遇限定时间内的追及次数：M 追及次数= (Tm+ t 单程追及)/2 t 单程追及注：是取整符号之后再选取甲或者乙来研究有关路程的关系，其中涉及到周期问题需要注意，不要把运动方向搞错了。简单例题：甲、乙两车同时从 A 地出发，在相距 300 千米的 A、B 两地之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时 30 千米，乙车的速度是每小时 20 千米，问(1)第二次迎面相遇后又经过多长时间甲、乙追及相遇?(2)相遇时距离中点多少千米 ?(3)50 小时内，甲乙两车共迎面相遇多
7、少次?三、火车问题。特点无非是涉及到车长，相对容易。小题型分为：(1)火车 vs 点(静止的，如电线杆和运动的，如人)s 火车=(v 火车 v 人)t 经过(2)火车 vs 线段(静止的，如桥和运动的，如火车)s 火车+s 桥=v 火车t 经过和 s 火车1+s 火车 2=(v 火车 1v 火车 2)t 经过合并(1)和(2)来理解即 s 和=v 相对t 经过把电线杆、人的水平长度想象为 0 即可。火车问题足见基本公式的应用广度，只要略记公式，火车问题一般不是问题。(3)坐在火车里。本身所在火车的车长就形同虚设了，注意的是相对速度的计算。电线杆、桥、隧道的速度为 0(弱智结论) 。四、流水行船
8、问题。理解了相对速度，流水行船问题也就不难了。理解记住 1 个公式(顺水船速=静水船速+ 水流速度)就可以顺势理解和推导出其他公式(逆水船速=静水船速-水流速度，静水船速=(顺水船速 +逆水船速) 2，水流速度=( 顺水船速- 逆水船速)2)，对于流水问题也就够了。技巧性结论如下：(1)相遇追及。水流速度对于相遇追及的时间没有影响，即对无论是同向还是相向的两船的速度差不构成“威胁”，大胆使用为善。(2)流水落物。漂流物速度 =水流速度，t1= t2(t1：从落物到发现的时间段，t2 ：从发现到拾到的时间段)与船速、水速、顺行逆行无关。此结论所带来的时间等式常常非常容易的解决流水落物问题，其本身
9、也非常容易记忆。例题：一条河上有甲、乙两个码头，甲码头在乙码头的上游 50 千米处。一艘客船和一艘货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同。客船出发时有一物品从船上落入水中，10 分钟后此物品距客船 5 千米。客船在行驶 20 千米后掉头追赶此物品，追上时恰好和货船相遇。求水流速度。五、间隔发车问题。空间理解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助。一旦掌握了3 个基本公式，一般问题都可以迎刃而解。(1)在班车里。即柳卡问题。不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间- 距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不
10、容易。例题：A、B 是公共汽车的两个车站，从 A 站到 B 站是上坡路。每天上午 8 点到 11点从 A、B 两站每隔 30 分同时相向发出一辆公共汽车。已知从 A 站到 B 站单程需要 105分钟，从 B 站到 A 站单程需要 80 分钟。问 8：30、9：00 从 A 站发车的司机分别能看到几辆从 B 站开来的汽车?(2)在班车外。联立 3 个基本公式好使。汽车间距=(汽车速度 +行人速度) 相遇事件时间间隔 -1汽车间距=(汽车速度 -行人速度) 追及事件时间间隔 -2汽车间距=汽车速度 汽车发车时间间隔-31、2 合并理解，即汽车间距=相对速度 时间间隔分为 2 个小题型：1、一般间隔
11、发车问题。用 3 个公式迅速作答;2、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方法是：画图-尽可能多的列 3 个好使公式- 结合 s 全程=vt-结合植树问题数数。例题：小峰在骑自行车去小宝家聚会的路上注意到，每隔 9 分钟就有一辆公交车从后方超越小峰。小峰骑车到半路车坏了，于是只好坐出租车去小宝家。这时小峰又发现出租车也是每隔 9 分钟超越一辆公交车，已知出租车的速度是小峰骑车速度的 5 倍，如果这 3 种车辆在行驶过程中都保持匀速，那么公交车站每隔多少分钟发一辆车?六、平均速度问题。相对容易的题型。大公式要牢牢记住：总路程=平均速度总时间。用 s=vt 写出相应的比要比直接写比例式好
12、理解并且规范，形成行程问题的统一解决方案。七、环形问题。是一类有挑战性和难度的题型，分为“同一路径”、“不同路径”、“真实相遇”、“能否看到”等小题型。其中涉及到周期问题、几何位置问题(审题不仔细容易漏掉多种位置可能)、不等式问题( 针对“能否看到”问题，即问甲能否在线段的拐角处看到乙)。仍旧属于就题论题范畴，不展开了。八、钟表问题。是环形问题的特定引申。基本关系式：v 分针= 12v 时针(1)总结记忆：时针每分钟走 1/12 格，0.5;分针每分钟走 1 格，6。时针和分针“半”天共重合 11 次，成直线共 11 次，成直角共 22 次(都在什么位置需要自己拿表画图总结)。(2)基本解题思
13、路：路程差思路。即格或角(分针)=格或角(时针)+ 格或角(差)格：x=x/12+(开始时落后时针的格+ 终止时超过时针的格)角：6x=x/2+(开始时落后时针的角度+ 终止时超过时针的角度)可以解决大部分时针问题的题型，包括重合、成直角、成直线、成任意角度、在哪两个格中间，和哪一个时刻形成多少角度。例题：在 9 点 23 分时，时针和分针的夹角是多少度?从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第一次垂直?(3)坏钟问题。所用到的解决方法已经不是行程问题了，变成比例问题了，有相应的比例公式。这里不做讨论了，我也讨论不好，都是考公务员的题型，有难度。九、自动扶梯问题。仍然用基本关系式 s 扶梯级
14、数=(v 人速度v 扶梯速度) t 上或下解决最漂亮。这里的路程单位全部是“级”，唯一要注意的是 t 上或下要表示成实际走的级数/人的速度。可以 PK 掉绝大部分自动扶梯问题。例题：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下向上走，男孩由上向下走，结果女孩走了 40 级到达楼上，男孩走了 80 级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的 2 倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级?十、十字路口问题。即在不同方向上的行程问题。没有特殊的解题技巧，只要老老实实把图画对，再通过几何分析就可以解决。十一、校车问题。就是这样一类题：队伍多，校车少，校车来回
15、接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地(即到达目的地的最短时间，不要求证明)分 4 种小题型：根据校车速度(来回不同)、班级速度( 不同班不同速)、班数是否变化分类。(1)车速不变- 班速不变 -班数 2 个( 最常见)(2)车速不变- 班速不变 -班数多个(3)车速不变- 班速变-班数 2 个(4)车速变- 班速不变-班数 2 个标准解法：画图-列 3 个式子：1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间;2、班车走的总路程;3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。最后会得到几个路程段的比值，再根据所求代数即可。此类问题可以得到几个公式，但实话说公式无法记忆，因为相
16、对复杂，只能临考时抱佛脚还管点儿用。孩子有兴趣推导一下倒可以，不要死记硬背。简单例题：甲班与乙班学生同时从学校出发去 15 千米外的公园游玩，甲、乙两班的步行速度都是每小时 4 千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时 48 千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千米?十二、保证往返类。简单例题：A、B 两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20 千米，已知每人最多可以携带一个人 24 天的食物和水。如果不准将部分食物存放于途中，其中一个人最远可深入沙漠多少千米(要求两人返回出发点)?这类问题其实属于智能应用题类。建议推导后记忆结论，以便考试快速作答。每人可以带够 t 天的食物，最远可以走的时间 T(1)返回类。(保证一个人走的最远，所有人都要活着回来)1、两人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t。2、多人：没搞明白，建议高手补充。
