数学建模方法详解--模糊数学.doc

1、数学建模方法详解- 模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象） 。例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。在各科学领域中，所涉及的各种量总

2、是可以分为确定性和不确定性两大类。对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为 ，则称之为论域（或U称为全域、全集、空间、话题） 。如果 是论域 ，则 的所有子集组成的集合称之为 的幂集，记作 。在此，总是假设问题的论域是非空的。为了与模U)(UF

3、糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。对于论域 的每一个元素 和某一个子集 ，有 或 ，二xAxA者有且仅有一个成立。于是，对于子集 定义映射 1,0:A即 ,)(x，则称之为集合 的特征函数，集合 可以由特征函数唯一确定。A所谓论域 上的模糊集 是指：对于任意 总以某个程度UU属于 ，而不能用 或 描述。若将普通集的特征函数)1,0(AA的概念推广到模糊集上，即得到模糊集的隶属函数。定义 1.1 设 是一个论域，如果给定了一个映射 1,0)(1,0:xAA则就确定了一个模糊集 ，其映射 称为模糊集 的隶属函数， 称为 对模A Ax糊集 的隶属度。A定义 1.1 表明，论域 上的模糊集 由隶

4、属函数 来表征， 的取值范UA围为闭区间 ， 的大小反映了 对模糊集 的从属程度， 值接近于1,0AxA1，表示 从属 的程度很高， 值接近于 0，表示 从属 的程度很低，使xAx的点 称为模糊集 的过渡点。5.A0当 的值域为 时， 退化为普通集的特征函数，模糊集 蜕变为普A1,0AA通集，所以模糊集是普通集概念的推广。对于一个特定论域 可以有多个不同的模糊集，记 上的模糊集的全体为UU，即 ，)(UF,:)(A则 就是论域 上的模糊幂集，显然 是一个普通集，且 。)(F)(F2.模糊集的表示法当论域 为有限集时，若 是 上的任一模糊集，其隶属,2,1nx A度为 ，通常有如下三种表示方法：

5、)(ixA1）Zadeh 表示法： nAAniiA xxx )()()(211 在论域 中， 的元素集称为模糊集合 的支集。U0)2）序偶表示法：将论域中的元素 与其隶属度 构成序偶来表示i )(iAA,)(),(,2,1, nAA xxx此种表示方法隶属度为 0 的项可不写入。3）向量表示法： )(,)(,21nAA在向量表示法中，隶属度为 0 的项不能省略。当论域 为无限集时，则 上的模糊集 可以表示为UUAx)(3.模糊集的运算模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。定义 1.2 设模糊集 ，其隶属函数为 。)(,FBA)(,xBA1）若对任意 ，有 ，则称 包含 ，记 ；UxxA2

6、）若 且 ，则称 与 相等，记为 。B定义 1.3 设模糊集 ，其隶属函数为 ，则称)(,UFB)(,xBA分别为 与 的并集与交集；称 为 的补集或余集，它们的隶A, CA属函数分别为 )(,max()()( xxBBABA inA1C其中 分别表示取大运算与取小运算，称其为 Zadeh 算子。并且，并“,和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算。1.1.2 隶属函数的确定方法正确地确定隶属函数是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。隶属函数是对模糊概念的定量描述。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。然而，如何确定一个模糊集的

7、隶属函数至今还是尚未完全解决的问题。隶属函数的确定过程，本质上应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。下面仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。不同的方法结果会不同，但隶属函数建立是否适合标准，要用实际使用的效果来检验。1. 模糊统计方法模糊统计方法可以算是一种客观方法，主要是在模糊统计试验的基础上，根据隶属度的客观存在性来确定，所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素：1）论域 。U2） 中的一个固定元素 。0x3） 中的一个随机变动的集合 （普通集） 。A4） 中的一个以 作为弹性边界的

8、模糊集 ，对 的变动起着制约作用。 A其中 或 ，致使 对 的隶属关系是不确定的。Ax000假设做 次模糊统计试验，则可计算出n对 的隶属频率0 nx的 次 数事实上，当 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为 对0x的隶属度，即AnAxnA的 次 数00lim)(2. 例证法例证法是 Zadeh 在 1972 年提出的，主要思想是从已知有限个 的值来估A计论域 上的模糊子集 的隶属函数。U3. 指派方法指派方法是一种主观方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集的隶属函数。如果模糊集定义在实数域 R 上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质主观地选用

9、某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。若以实数域 R 为论域，称隶属函数为模糊分布。实际中，根据研究对象的描述来选择适当的模糊分布。偏小型模糊分布适合描述像“小” 、 “冷” 、 “青年”以及颜色的“淡”等偏向小的一方的模糊现象，偏大型模糊分布适合描述像“大” 、 “热” 、 “老年”以及颜色的“浓”等偏向大的一方的模糊现象，中间型模糊分布适合描述像“中” 、 “暖和” 、 “中年”等处于中间的模糊现象。但这些方法所给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步地进行修改完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。常用的模糊分布见下表：偏小型 中间型 偏大型矩形分

10、布axA，0,1)(bxaxA,0,1)(，axA，0,1)(梯形分布 bxaxA01)(dxacdbxA,01)(bxaxA1)(正态分布axexaxA，2)(,1)( 2)(xAeaxexaA2)(1,0)(k次抛物型分布bxabxkA0)(1)dxacdxbakkA,0)(1)bxabxkA1)(0)型分布axexakA，)(,1)(其中 0bxexaxkxkA)()(1)(其中 0axexakA，)(1,0)(其中 柯西型分布axaxA)(1,)(其中 0,k )(1)(axA其中 为偶数0,kaxaxA)(1,0)(其中 ,k4. 其他方法实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种

11、多样的，主要是根据问题的实际意义来确定。例如，在经济管理、社会管理中，可以直接借助已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度。如果论域 表示机器设备，在 上定义模UU糊集 =“设备完好” ，则可以用“设备完好率”作为 的隶属度。如果 表示A A产品，在 上定义模糊集 =“质量稳定” ，可以用“正品率”作为 的隶属度。UA如果 表示家庭，在 上定义模糊集 =“贫困家庭” ，则可以用 Engel 系数UA=（食品消费）/（总消费）作为 的隶属度。1.2 模糊关系与模糊矩阵1.2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念模糊关系是普通关系的推广，它描述元素之间关联程度的多少。定义 1.4 设论域 ，称 的一个模糊子集

12、 为从 到VU,)(VUFR的模糊关系，记为 ，其隶属函数为映射VR ,),(),(1,0: yxyxRR 并称隶属度 为 关于模糊关系 的相关程度。),(yx)(由于模糊关系就是直积 的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质。对于有限论域 ， ，则 到 的模糊关,2,1mxU,2,1nyVUV系 可用 阶模糊矩阵表示，即RnmnijrR)(其中 表示 对模糊关系 的相关程度。,0)(,jiijyxr(,jiy定义 1.5 设矩阵 ，且nmijr)1,ij ;,2( ),21nj则称矩阵 为模糊矩阵。 若 ，则模糊矩阵变成布尔（Boole）矩阵。R0ij1.2.2 模糊等价关

13、系与模糊相似关系定义 1.6 若模糊关系 满足)(UFR1)自反性： 。 1),(x2)对称性： 。,y3)传递性； （即 ） 。),(),(),(),( yxzyRRRR 则称 是 上的一个模糊等价关系。其中隶属度 表示 的相关程度。U ),(yx当论域 为有限论域时， 上的模糊等价关系可表示为,2,1mxU阶模糊等价矩阵n定义 1.7 设论域 ，模糊矩阵 ， 为单位矩阵，,2,1mxU nijrR)(I若 满足：R1)自反性： （即 ） 。 RIniri ,21;，2)对称性： （即 ） 。Tjjij,，3)传递性； （即 ） 。 njirjkjink ,21,;)(1 ，则称 为模糊等价

14、矩阵。定义 1.8 设论域 ，模糊矩阵 ， 为单位矩阵，,2,mxU nijrR)(I若 满足：R1)自反性： （即 ） 。 RIniri ,1;，2)对称性： （即 ） 。Tjjij 2,，则称 为模糊相似矩阵。1.2.3 截矩阵与传递矩阵定义 1.9 设 为模糊矩阵，对任意的 ，nijrR)( ，1）如果 ,0,1)(ijijr， ;,21(mi),21nj则称 为 的 截矩阵。nmijrR2）如果 ,0,1)(ijijr， ;,21(i),21nj则称 为 的 强截矩阵。nmijrR显然，截矩阵为布尔矩阵。定义 1.10 设 是 阶模糊矩阵，如果满足（即 ）R2 njirjkjink ,

15、21,;)(1 ，则称 为模糊传递矩阵。将包含 的最小的模糊传递矩阵称为 的传递闭包，R R记为 。)(t1.3 模糊聚类分析方法在科学技术、经济管理中常常需要按一定的标准(相似程度或亲疏关系)进行分类。例如，根据生物的某些性状，可对生物分类；根据土壤的性质，可对土壤分类等等。对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。由于科学技术、经济管理中的分类往往具有模糊性，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。在进行多指标评价时，同类指标的评价效果基本上是等价的，因此，可以通过对同类指标的选择，达到指标筛选的目的。其基本思想是：首先根据各指标之间相似

16、程度，构造评价指标的模糊相似矩阵，然后通过平方法求传递闭包，得到模糊等价矩阵，以此为依据进行聚类。模糊聚类的步骤及其关键算法：设论域 为待分类的指标集，用 维向量描述样本，也就是说每,21nxUm个指标 由 个分量组成，即 ，故原始数据矩阵形式如公ixm),(21iii xx式(1)所示（1）mnmnxx 21212具体的聚类方法按下列步骤进行：1.3.1 数据标准化不同的数据具有不同的量纲，为了使有不同量纲的量进行比较，对数据进行无量纲化处理，而且根据模糊矩阵的要求，需要将数据压缩在区间 上。1,0数据标准化的具体算法包括两个步骤：1、平移标准差变换（2）nkmisxkiik ,21;,21

17、, 其中 ikikmik xx121 )(,变换后的每个变量的均值为 0，标准差为 1，实现了数据的无量纲化，但是这样还不能保证 都在区间 上。ikx,2、平移极差变换（3） mina11kikiiikx其中 .显然所有的 都在区间 上，同时也消mi ,2;,1 ik1,0除了量纲的影响。1.3.2 标定（建立模糊相似矩阵)对论域 而言， 和 的关系可用 来描述。建立,21nxU ijy),(jiyxR模糊相似矩阵的方法有很多，如距离法、相关系数法、主观打分法等。现采用相关系数法建立模糊相似矩阵，通过计算指标之间的相关系数，以相关系数的绝对值作为模糊相似矩阵的元素，见式（4）（4）mkjjmk

18、ikjkjiijji xxryxR1212)()(),(其中 .njimkjjkii ,1矩阵形式如式（5）所示：（5） nnnrrrrR 212112由（4）式可知， ，故该矩阵满足自反性和对称性，满足模糊jiiji,相似矩阵的要求。1.3.3 聚类采用基于等价矩阵的聚类方法。首先通过平方法求传递闭包得到模糊等价矩阵。具体算法是：从模糊相似矩阵出发，依次求平方（6） iRR242当第一次出现 时， 就是传递闭包，也就是模糊等价矩阵。kkk方阵的自乘运算是用模糊集合运算中的交和并取代通常矩阵乘法中的乘积与求和操作（7） )(1kjinkijA等价矩阵建立之后，具体的聚类过程就是从大到小依次赋给

19、 不同的值，通过计算 截矩阵的方法获得不同的分类。在具体的分类选择中，通常根据实际需要选择 值，换言之就是根据特定的 值选择分类1。1.4 模糊模型识别方法己知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别。这里主要介绍模糊模型识别的两种基本方法最大隶属原则和择近原则。模型识别在实际问题中是普遍存在的。例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它届于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别。它们有两个本质的特征：一是事先己知若干标准模型（称为标准模型库)，二是有待识别的对象。上述例子中，事先建立的植物标本室、信封

20、背面提供的 10 个标准阿拉伯数字都是标准模型库，采集到的植物、分拣的每一封信都是待识别的对象。因此，模型识别粗略地讲，就是要把一种研究对象，根据其某些特征进行识别并分类。1.4.1 模糊模型识别中的最大隶属原则定义 1.11 设论域 上有 个模糊子集 ，其,2,1nxUmmA,21隶属函数为 ，而 为模糊向量集合族。对),)(mixiA ),(21AA于普通向量 ，则称 为 对模糊向量集合0201x ()00iix族 的隶属度。 需要指出的是，普通向量 对模糊向量集合族的隶属度也有其他形式的定义，如)(1)(00iAmixx最大隶属原则 I 设论域 上有 个模糊子集 ，,2,nU mA,21

21、(即 个模型)，构成了一个标准模型库，若对任一 ，有 ，mU0 0k使得 )(010xxkAmk则认为 相对隶属于 。k最大隶属原则 设论域 上有一个标准模型 ，待识别,2,1nxU0A的对象有 个， ，如果有某个 满足nxn,2,1 k)()(001iAmikA则应优先录取 。kx1.4.2 模糊模型识别中的择近原则下面讨论的是第二类模糊识别问题。设在论域 上有 个,2,1nxUm模糊子集 ，(即 个模型)，构成了一个标准模型库。被识别的对mA,21象 也是一个模糊集， 与 中的哪一个最贴近？这就是一个模糊集对标准模BBi糊集的识别问题。因此，这里涉及到两个模糊集的贴近程度问题。（1）贴近度

22、的概念设论域 上的模糊子集 ，称U)(,F)(xABAUx为 的内积；称BA, (Bx为 的外积。,定义 1.12 设论域 上的模糊子集 ，则称)(,F12),(0 BAA为 的贴近度。BA,可见，当 越大(亦即 越大， 越小)时， 越贴近。),0BABABA,（2）单个特性的择近原则设在论域 上有 个模糊子集 ，构成了一个标准模型库Umm,21。 为待识别的模型若存在 ，使得,21A 0 ,210k),(),(100Akk则称 与 最贴近，或者说把 归并到 类。00k A0（3）多个特性的择近原则设论域 上有两个模糊向量集合族 ，U),(21m则 的贴近度定义为),(21mBB, ),(),

23、(1imiBA由于实际问题的需要，为了解决两个模糊向量集合族的贴近程度问题，人们创造了多种贴近度。现列举如下：设论域 上有两个模糊向量集合族 ，U),(21mAA则 的贴近度也可定义为),(21mBBA,1） ；)(1ii2） ，其中 ，且 ；,),(iia1,0ia1ima3） ，其中 ，且 ；)(1iimBAi 1i4） ，其中 ，且 。,),(ii,i im可以根据实际需要，应用不同的贴近度。多个特性的择近原则：设在论域 上有 个模糊子集 ，构成UnnA,21了一个标准模型库 。每个模型 由 个特性来刻画，即,21nA iAm，),(21imiii),(待识别对象 。 先求两个模糊向量集合族的贴近度的最小值，),(21mBB即，),(1jijjiAs),21(ni若有 ，使得,0ni