1、第 1 讲 比较大小在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目： （1）比较这几个分数的大小： 、 、 、 、52731029375（2）试比较 和 ，那个分数大？75如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。例 1： 已知 A =B = C = D =E (ABCDE 都不等于 0)，3214109541将 A、 、B 、C 、D 、E 按从大倒小的顺序排叠起来。分析与解 为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来的算式就变成 A =B =C =D =E 。下面我们可以运用倒数的知识来解决3
2、2110956这一问题。首先我们可以假设所有算式的运算结果等于 1。那么，A 就是 的倒数，即 ；同32153理，B 应是 ，C 是 ， D 是 ，E 是 。这样，我们很容易就能比较出这五个数的49145大小。因为 ,所以 DECBA.53随堂练习一： 如果 a=b = c=d (a、b、c、d 均不等于 0)，a、b、c、d 四个数中，谁最大?2164谁最小？例 2：将下列分数从小到大排列起来： 、 、 、 、 。52731029375分析与解 比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，分母大的分数反而小”
3、这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。因为 2、3、10、12、15、的最小公倍数是 60，根据分数的基本性质，可以把它们分别1化为： 、 、 、 、 。1506413860451860由 150148 145 140 138，可以得到： ，即1506481560413860 。23792方法点评 如果几个分数的公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。随堂练习二： 把下列分数按从小到大的顺序排列起来。、 、 、 、1759643107例 3：已知 A= ， B= 。试比较 A 与 B 的大小。5631分
4、析与解 这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较” ，还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小 2。我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与 1 的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法” 。因为比 A 比 1少 ，B 比 1 少 ，而 ，所以 AB。52635632方法点评 如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与 1 的差，再确定这两个数的大小。随堂练习三： 试比较下列两个分数的大小。和45397例 4：比较 和 ，那个分数大？75分析与解 这道题中
5、的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的 14 倍多 7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？的倒数是 ， 的倒数是 ，因为 ，所以 755714514571475。方法点评 从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。随堂练习四： 2试比较 和 的大小。1927例 5：试比较下面两个分数的大小。和06分析与解 观察这两个分数，你会发现用上面的几种方法无法解答。但分析其中的数据
6、，你会发现，第二个分数的分子 2207=1207+1000，分母 2006=1006+1000，即第一个分数 的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数 。10627 2067方法点评 当 ab 时， ,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，bak得到的新分数比原分数小，所以 。同理，一个真分数的分子和分母都加上10627同一个数，得到的分数比原分数大。随堂练习五： 比较 与 的大小2391拓展训练1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。、 、 、 、983762481652、比较下面两个分数的大小。和41053、比较 和 的大小。64、比较 与 的大小。2578932091
7、457835、比较 与 的大小。13第 2 讲 速算与巧算专题简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。例 1：计算下面各题。（1） 9 （2）20037642043分析与解 同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：可以把（1） 分成一个17649 的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以 2003 后，计算就很简便了。（1）
8、9 （2）2003764 2043=（ 63+ ） 9 =（2003 2003）1 （ 2003）2043=63 9 + 9 =1 （2003 2003+ 2003）172043=7+ =182041= =2 5方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。随堂练习一：计算：（1）55 （2）167561687例 2：计算：（1+ ） （1+ ）（1+ ）6143545144（ ）61543分析与解 这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把
9、重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。设 =A 1+ =B，原来的算式可以转化成：61543514（1+A） B-B A=B+AB-AB=B所以本题的结果为：1+ =514209方法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。随堂练习二： 计算：（1+ ）（ + ）-（1+ + ）（ ）97835978352978397853例 3：计算.312121 5012.504895048.50 分析与解 这组分数的特点是：分母为 1 的分数有 1 个，分母为 2 的分数有 3 个，分母为 3 的分数有 5 个且同分母的分数的和依次为 1，2，3，4，5这是一个扥差数列，
10、可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）项数2=数列的和。原式=1+2+3+4+49+50=（1+50） 502=1275方法点评：在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。随堂练习三：计算：+.3123121 201.9201.203例 4：计算：（1） （ ）（ ）115（2） 032032分析与解 （1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：5= =145( ), =5( ).所以，1324513513原式=（ ）（ ）=145( )5( )=1455=29（2）我们注意到，这个分数的分子与分母
11、尽管数据很长，但每个数据分别是由2002 和 2003 组成。因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。因为 2002=2002120022002=200210001200220022002=20021000110001所以 2002+20022002+200220022002=2002（1+10001+100010001）同理 2003+20032003+200320032003=2003（1+10001+100010001）原式= =)10(203203随堂练习四：计算：（1） （ ）（ ）91941（2） 233277例 5：计算 20.4分析与解 这道题的加数很多，
12、如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下：=1- ， = ，. =2131220191=1- + +.43209=1- 0= 219方法点评：这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。当 ab 时, = ( ) ba1ab1随堂练习五：计算 109.321拓展训练61.、计算（1+ ） （ + ）-（1+ + ） （ ） 514514651465142、计算（ ） -（ ） 398.63 89.3、计算 232994、计算 16
13、107415、计算（1+ ） （1- ）（1+ ）（1- ）（1+ ）（1 -） 223507第 3 讲 比的意义和应用比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍” 。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。例 1：两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是 12,另一只杯子中盐与比是 15 。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？分析与解 要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为 1，则第一支杯子中的盐占 ，水占 ；第二只杯子中的盐占 ，水占 。两只杯子中的
14、盐水混合后，21 51盐为 + = ，水为 + = 。所以，混合液中的盐与水的比为：5123（ + ）（ + ）5= 23=13。答：混合后，盐与水 的比为 13。方法点评：求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率，然后再进行解答。随堂练习一： 六年（1）班男、女人数的比是 54，六年（2）班男、女人数的比是 21，两班人数相等。求六年（1）班男男生与六年（2）班男生的人数比。例 2：如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的，占正方形面积的 ，三角形中阴影部分的面积占三431角形面积的 ，占正方形面积的 。圆，正方形、三角54形面积的最简整数比是多少?分析与解 要求圆、正方形
15、、三角形面积的最简整数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形的面积有关，我们就设正方形的面积为 12，那么圆的面积就是:12 =16；三角形314的面积为： 12 =15。所以这三个图形的面积比就是：（12 ）415 112（12 ）=16 12154158方法点评 在求几个量的比时，我们可以先假设其中一个量等于几，然后根据条件计算出其他量，再求比，这样解决问题比较容易。随堂练习二：如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的 ，相当于小长方形面积的 。这7141两个长方形的面积比是多少？例 3：有大小两个长方形，大长方形的长比小长方形的长多 ，而小长
16、方形的宽41比大长方形的宽多 。求这两个长方形的面积比。.10分析与解 大长方形的长比小长方形的长多 ，可以把小长方形的长看做 4 份，41大长方形的长就是 1+4=5 份；小长方形的宽比大长方形的宽多 。可以理解成八大长.0方形的宽看做 10 份，小长方形的宽是 1+10=11 份。所以，这两个长方形的面积比为：(510) ( 411)=5544= 2522 答：大小两个长方形的面积比为 2522 。随堂练习三：有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长多 。求两个正方形的周41长比。例 4：六年（1）班男人数的 与女生人数的 相等，已知男生比女生多 5 人，这3254个班男、女生各有
17、多少人？分析与解 根据男人数的 与女生人数的 相等，可以列出数量关系：男生人数 =女生人数 。3254假设男人数的 与女生人数的 都是 1，则男生人数为 1 = ；女生人数为 1325432= 。所以，男、女生人数的比为：54（1 ）（1 ）= 2349=65每一份的人数就是：5（6-5）=5（人）男生人数就是：56=30（人）女生人数就是：55=25（人）答：男生有 30 人，女生有 25 人。随堂练习四：拔一根绳子按 53 截成甲、乙两段，已知乙比甲短 1.2 米。这根绳子原来全长多少米？ 例 5： 小丽读一本书，已读的页数和未读的页数 的比是 15 ，若再读 45页，则已读的页数和未读的
18、页数的比是 3 5。这本书共有多少页？分析与解 根据“已读的页数和未读的页数的比 15”可知，把未读的页数看做1 份，未读的页数看 5 份，总页数就是 1+5=6 份，已读的页数占总页数的 。若再读5145 页，则已读的页数和未读的页数的比是 3 5.即把这时已读的页数看做 3 份，未读的页数看做 5 份，总页数就是 3+5=8 份，这时已读的页数占总数的 。45 页占总页数的 - = ，这本书共有的页数是：312445（ - ）5=45=216（页）答 ：这本书共有 216 页。随堂练习五：一条路，已修的米数和未修的米数比为 23，后来又修了 2000 米，这时已修的米数与未修的米数比为 32。这条路全长多少米？ 拓展训练1、两个西服厂，一个月内生产的西服数量比是 65，两个厂西服价格比是 1110.求两个厂这个月生产西服总产值的比。2、如图，求图中阴影部分与圆环的面积比。3、把 100 克纯酒精装在一个玻璃瓶里，正好装满。用去 20 克后，加满蒸流水 ；又用去 20 克 后，再加满蒸馏水。求这时瓶里蒸馏水与纯酒精的比。4、一个长方形长与宽的为 73，如果把长减少 12 厘米，宽增加 16 厘米，正好变成一个正方形。这个长方形的面积是多少平方厘米？
