1、1数学分析中求极限的方法总结1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理 1.1：如果 00xxlimf=,ligA（ ） （ ）（1） 0 00li()()()xfg（2） 0 00xliflix（ ） （ ） （3）若 B0 则： 00()()limlixxfgA（4） 00xlic()li()xffc（5） 00li()li()nnxxffA（n 为自然数）上述性质对于 也同样成立 i,由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例 1. 求25lim3x的极限 解：由定理中的第三式可以知道22lim5li3xx2lili
2、3xx259例 2. 求 312limx的极限解：分子分母同时乘以 x2331212limlixxx3lim12xx 14式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例 3. 已知 1231nxn ，求 limnx解： 观察 =1=21=-因此得到 13nxn 12n 1n所以 limlinx2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数 f(x)在 附近有定义， ，则0x00yfxfx如果 00limlixxffx存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 的导数记为 0f。0即 3000limxfxff在这种方法的运用过程中，首先要选好 f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)
3、在定点 0x的导数。例 4. 求 的极限2lixctgx解：2limxt2211li 2limxxttg21li2xfff13 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：（1） ，0sinlm1x（2） lixxe但我们经常使用的是它们的变形：（1） ，sinlm1,0xx（2） 求极限。li,e例5： xx10)(lim4解：为了利用极限 故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为exx10)(lim1，第二项和括号外的指数互为倒数进行配平。=xx10)(2lix10)3(lim13x0lix= 3130)1(li exxx例6： 20cos1limxx解：将分母变形 后再化成“0/0”型 所以
4、20cos1limxx= 20inlix= 1)2(s1li0xx例 7: 求 的极限xx10)2(lim解：原式=21210)()(exxx 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。4 利用函数的连续性因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果 是初等函数,且)(xf是 的定义区间内的点, 则 。0x)(f )(lim00xffx5例8：612arcsinlim1xx解 :因为复合函数 是初等函数,而 x1是其定义区间内的点,所以极限ri值就等于该点处的函数值
5、.因此 62arcsin62arcsinli1 xxx1=例8：求 xxsinlim2解： 复合函数 在 处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处il2的函数值即有 2sinlsilnim2xx= 1lil=05 利用两个准则求极限。（1） 函数极限的迫敛性：若一正整数 N,当 nN 时，有 nnxyz且limli,nnxxza则有 limnxya。 利用夹逼准则求极限关键在于从 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列 ny和 nz，使得 nnyxz。22211.nx例 9 ： 求 nx的极限解：因为 单调递减，所以存在最大项和最小项222211.n nxn62222
6、11.n nxn则 221nx又因为 22limlixxnli1nx（2 ） 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。例 12：设 110,6,2nnx 。试证数列 nx的极限存在, 并求此极限。解: 由 1x及 24知 12。设对某个正整数k有 kx， 则有 2116kkk xxx从而由数学归纳法可知, 对一切自然数 , 都有 ，nn即数列 单调下降 , 由已知易见 即有下界,nx .)2(0x根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。令 对 两边取极限，Anlimnn61有 6所以有 20解得A=3,或 2A。因为 ，所以 ，舍去 ,故 lim3nx.),(0xn6 利用洛
7、必达法则求未定式的极限定义 6.1：若当 a（或 x）时，函数 fx和 F都趋于零(或无穷大)，则极限 可能存在、也可能不存在，通常称为 型)(lim)(Ffxa 0和 型未定式。例如：7, ( 型); xxtanlim00, ( 型).bxsinli0定理 6.2：设 （1）当 时, 函数 fx和 F都趋于零;（2）在 a 点的某去心邻域内, 和 x都存在且 0Fx;（3） 存在(或无穷大),)lim)(fxa则 )(li)(limxFfxfaax 定义 6.3：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.例10： xx220sincoil解： 4 30
8、 00()(ics)incosincoslim=lmlx xxx20 0cossinsi2=2li =l33x xx在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，并注意观察所求极限的类型如下例，例 11：求 lim0xxe1解： =0xx1li00tttt e洛必达法则通常适用于以下类型：型：8例 12 求 .lim(arctn)2xx解 原式 .221tlililim11xxx型：例 13 求 .2limsectanxx解 ，1sisintocox故原式 .22sinll0csixx型：0例 14 求 .0limx解 原式 .ln0imlnln00ii1xx
9、 exxe型：1例 15 求 .lim1xxe解 原式 .lixex型：0例 16 求 .tan01lim()xx解 原式 ，tanltan 01liml()tanl00ilixx xexxee而 ，因此：原式=1.tan0li(tl)(l)xx 7. 用泰勒展式来求极限用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为9求多项式或有理分式的极限问题。对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形, 有时可用项的泰勒展开式来代替该项, 使运算十分简便。例17： 420coslimxex解：因为 )(!421cos4xox2 4*()!xe所以244001()cos 1limli
10、2xx xoe例18： )1n(li2x解：因为当 时， 所以0x)()1()*21)1ln( 2xox从而 x)()l(2于是 1lim()2xo)1(lim2x注意：如果该题利用其他方法就不容易做了。8. 利用定积分求极限由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限.若要利用定积分求极限，其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。凡每一项可提1/n,而余下的项可用通式写成n项之和的形式的表达式,一般可用定积分的定义去求 。利用定积分可求如下二种形式的极限:型nfffx )(.)2(1lim定理8.1：设 f在0，1上可积，则有1010)()(.)2(1limdxfnfffx例19：求极限nx.li解：令 f， f在0,1上可积。1012.lim2xnxd型nx nfnff )(.)(li 定理8.2：若 在0,1上可积，则)(f 1012lim().()ln()nxfffepxfdx例20：求 x!li解：!12li=li*.nnxx令 f,则有：11012lim*.lnnxepxdenx!li例 21：求)1(n解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形： niJni11l不难看出，其中的和式是函数发 在区间 上的一个积分和。xf1)(1,0
