1、目 录第 1 讲 平均数问题 1第 2 讲 速算与巧算 3第 3 讲 找规律 5第 4 讲 变化规律 7第 5 讲 算式谜（一） 9第 6 讲 算式谜（二）12第 7 讲 应用题15第 8 讲 逻辑推理17第 9 讲 数数图形21第 10 讲 容斥原理24第 11 讲 简单的统筹规划问题27第 12 讲 图形问题31第 13 讲 错中求解34第 14 讲 数学开放题36第 15 讲 数数与计数40终结性测试题一 44终结性测试题二 461第 1 讲 平均数问题专题简析：我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科成绩的平均数就是求平均数。平均数在日常生活中和工作中应
2、用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均气温等。求平均数问题的基本数量关系是：总数量总份数=平均数解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数” ，然后用总数量除以总份数求出平均数。例 1：二（1）班学生分三组植树，第一组有 8 人，共植树 80 棵；第二组有 6 人，共植树 66 棵；第三组有 6 人，共植树 54 棵。平均每人植树多少棵？分析与解答：因为二（1）班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：80+66+54=200 棵，总人数为： 8+6+6=20 人，所
3、以平均每人植树 20020=10 棵。随堂练习：电视机厂四月份前 10 天共生产电视机 3300 台，后 20 天共生产电视机 6300 台。这个月平均每天生产电视机多少台？例 2：王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高 153 厘米，一个同学身高 152 厘米，有两个同学身高 149 厘米，还有两个同学身高 147 厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。分析与解答：这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这道题还可以采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在 150 厘米左右，可以假设平均身高为 150 厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和份
4、数=平均数”。（153215214921472）（2122）=150 厘米或：150（3221232）（2122）=150 厘米随堂练习：五（1）班有 7 个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了 99 分，还有三个同学得了 96 分，另外两个同学分别得了 97、89 分。这 7 个同学的平均成绩是多少？例 3：从山顶到山脚的路长 36 千米，一辆汽车上山，需要 4 小时到达山顶，下山沿原路返回，只用 2 小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。分析与解答：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是 362=72 千米，往返的时间是 4+2=6 小时。所以，这辆汽车往返的平均速
5、度是每小时行 726=12 千米。随堂练习：小强家离学校有 1200 米，早上上学，他家到学校用了 15 分钟，从学校到家用了 102分钟。求小强往返的平均速度。例 4：李华参加体育达标测试，五项平均成绩是 85 分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是 83 分。李华投掷得了多少他？分析与解答：先求出五项的总得分：855=425 分，再算出四项的总分：834=332 分，最后用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：425332=93分。随堂练习：小军参加了 3 次数学竞赛，平均分是 84 分。已知前两次平均分是 82 分，他第三次得了多少分？例 5：如果四个人的平均年龄是 23 岁，四个人
6、中没有小于 18 岁的。那么年龄最大的人可能是多少岁？分析与解答：因为四个人的平均年龄是 23 岁，那么四个人的年龄和是 234=92岁；又知道四个人中没有小于 18 岁的，如果四个人中三个人的年龄都是 18 岁，就可去求另一个人的年龄最大可能是 92183=38 岁。随堂练习：如果三个人的平均年龄是 22 岁，且没有小于 18 岁的，那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？拓展训练1、小明参加数学考试，前两次的平均分是 85 分，后三次的总分是 270 分。求小明这五次考试的平均分数是多少。2、二（1）班学生分三组植树，第一组有 8 人，平均每人植树 10 棵；第二组有 6人，平均每人植树 11
7、 棵；第三组有 6 人，平均每人植树 9 棵。二（1）班平均每人植树多少棵？3、气象小组每天早上 8 点测得的一周气温如下：13、13、13、14、15、14、16。求一周的平均气温。4、敬老院有 8 个老人，他们的年龄分别是 78 岁、76 岁、77 岁、81 岁、78 岁、78岁、76 岁、80 岁。求这 8 个老人的平均年龄。5、李大伯上山采药，上山时他每分钟走 50 米，18 分钟到达山顶；下山时，他沿原路返回，每分钟走 75 米。求李大伯上下山的平均速度。6、小亮上山时的速度是每小时走 2 千米，下山时的速度是每小时走 6 千米。那么，他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？7、小
8、丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是 92 分；数学成绩公布后，她的平均成绩下降了 1 分。小丽的数学考了多少分？8、某班一次外语考试，李星因病没有参加。其他同学的平均分是 95 分，第二天他的补考成绩是 65 分，如果加上李星的成绩后，全班的平均分是 94 分。这个班有多少人？9、如果四个人的平均年龄是 28 岁，且没有大于 30 岁的。那么最小的人的年龄可能是多少岁？10、如果四个人的平均年龄是 25 岁，四个人中没有小于 16 岁的，且这四个人的年3龄互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁？第 2 讲 速算与巧算1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。例 1
9、计算： 300-73-27 1000-90-80-20-10解：式= 300-（73 27）300-100=200式=1000-（90802010）1000-200800随堂练习：计算：500-124-56 210-48-522.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。例 2计算： 4723-（723189） 2356-159-256解：式=4723-723-1894000-189=3811式=2356-256-1592100-159=1941随堂练习：计算：368-124-168 721-59-2213.利用“补数”把接近整十、整百、整千的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上
10、）。例 3 计算：506-397 467997解：式=5006-400+3（把多减的 3 再加上）=109式=4671000-3（把多加的 3 再减去）1464随堂练习：计算：323-189 543198拓展训练1、用简便方法求差。 1870-280-520 4995-（995-480） 4250-29494 1272-9952、用简便方法计算。4 890-198 365-296 28497 3421986、计算 1032+1028+1033+1029+1031+10307、计算 19998+39996+49995+699968、计算 12085692089、计算 283+6918310、计算
11、 2318+6251318+375512 6520 8430830125963第 3 讲 找规律专题简析：对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：1、对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；2、对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。3、对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。例 1：根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。12 18 68 15 74 8分析与解答：
12、经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。随堂练习：找规律，在空格里填上适当的数。9 16 7 8 17 5 4 12 916 21 5 10 11 9 6 244 9 12 16 7 35 30例 2：根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？分析与解答：经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：51210=6 42010=8根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：83010=24随堂练习：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应
13、填什么6310数。（1） 例 3：先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。123456799= 1234567918=1234567954= 1234567981=分析与解答：题中每个算式的第一个因数都是 12345679，它是有趣的“缺 8 数” ，与 9 相乘，结果是由九个 1 组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个 9，乘积中就包含几个 111111111。因为：123456799=111111111所以：1234567918=1234567992=22222222212345679
14、54=1234567996=6666666661234567981=1234567999=999999999随堂练习：找规律，写得数。1+09= 2+19= 3+129= 4+1239= 9+123456789=例 4：找规律计算。（1） 8118=（81）9=7 9=63（2） 7227=（72）9=5 9=45（3） 6336=（）9= 9=分析与解答：经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘 9，所得的积就是这两个数的差。6336= （6 3）9=3 9=27随堂练习：利用规律计算。（1）5335 （2）8228 例 5：
15、计算（1）2611 （2）3811分析：一个两位数与 11 相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。（1） 2611=2（2+6 ） 6=286（2） 3811=3（3+8 ） 8=418注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。随堂练习：计算下面各题。（1）2711 （2）3211拓展训练745911381312369164812 151、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。（1） （2） 2、找规律，写得数。（1） 11= 1111= 111111= 111111111111111111=（2）19+9 9= 118+989= 1
16、117+9879=11116+98769= 111115+987659=3、利用规律计算。（1）9229 （2）6116 （3）95594、找规律计算。（1）62+26=（6+2）11=811=88（2）87+78=（8+7）11=1511=165（3）54+45=（+） 11=11=5、计算下面各题。（1）3911 （2）4611（3）9211 （4）981145978第 4 讲 变化规律例 1：两个数相加，一个加数增加 9，另一个加数减少 9，和是否发生变化？分析与解答：一个加数增加 9，假如另一个加数不变，和就增加 9；假如一个加数不变，另一个加数减少 9，和就减少 9；和先增加 9，接
17、着又减少 9，所以不发生变化。随堂练习：1，两个数相加，一个数减 8，另一个数加 8，和是否变化？2，两个数相加，一个数加 3，另一个数也加 3，和起什么变化？例 2：两个数相加，如果一个加数增加 10，要使和增加 6，那么另一个加数应有什么变化？分析与解答：一个加数增加 10，假如另一个加数不变，和就增加 10。现在要使和增加 6，那么另一个加数应减少 106=4 。随堂练习：两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和增加 15，另一个加数应有什么变化？例 3：两数相减，如果被减数增加 8，减数也增加 8，差是否起变化？分析与解答：被减数增加 8，假如减数不变，差就增加 8；假如被减数不变，减
18、数增加 8，差就减少 8。两个数的差先增加 8，接着又减少 8，所以不起什么变化。随堂练习：两数相减，被减数减少 6，减数也减少 6，差是否起变化？例 4：两数相乘，如果一个因数扩大 8 倍，另一个因数缩小 2 倍，积将有什么变化？分析与解答：如果一个因数扩大 8 倍，另一个因数不变，积将扩大 8 倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小 2 倍，积将缩小 2 倍。积先扩大 8 倍又缩小 2 倍，因此，积扩大了82=4 倍。随堂练习：两数相乘，如果一个因数缩小 4 倍，另一个因数扩大 4 倍，和是否起变化？例 5：两数相除，如果被除数扩大 4 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？分析与解答：如果被
19、除数扩大 4 倍，除数不变，商就扩大 4 倍；如果被除数不变，除数缩小 2 倍，商就扩大 2 倍。商先扩大 4 倍，接着又扩大 2 倍，商将扩大 42=8 倍。随堂练习：9两数相除，被除数扩大 30 倍，除数缩小 5 倍，商将怎样变化？拓展训练1、两个数相加，一个数减 6，另一个数减 2，和起什么变化？2、两个数相加，如果一个加数增加 8，要使和减少 15，另一个加数应有什么变化？3、两个数相加，如果一个加数减少 8，要使和减少 8，另一个加数应有什么变化？4、两数相减，被减数增加 12，减数减少 12，差起什么变化？5、两数相减，被减数减少 10，减数增加 10，差起什么变化？6、两数相乘，如果一个因数扩大 3 倍，另一个因数缩小 12 倍，积将有什么变化？7、两数相乘，如果一个因数扩大 3 倍，另一个因数扩大 6 倍，积将有什么变化？8、两数相除，被除数缩小 12 倍，除数缩小 2 倍，商将怎样变化？9、两数相除，除数扩大 6 倍，要使商扩大 3 倍，被除数应怎样变化?
