1、1谈 数 学 史 与 数 学 文 化理 学 院 数 学 081 张 林 静 081002138内 容 提 要 ：数 学 的 思 想 、 精 神 、 文 化 对 于 人 类 历 史 文 化 变 革 有 着 重 要 的 影 响 。 我 们正 是 在 这 一 意 义 下 来 学 习 、 讨 论 、 研 究 数 学 文 化 的 。关 键 字 ： 数学方法 数学发展 三次数学危机 数学美 数学与哲学一 智慧展现数学方法和数学思想数学方法和数学思想将数学的智慧和魅力展现得淋漓尽致， 。数学的方法是贯穿了整个数学，也是学习数学的基础。数学的很多方法是有辩证性的，比如具体与抽象；演绎与归纳；发现与证明；分析与
2、综合；这些方法之间有联系又有区别。 （一） 、具体与抽象：具体是社会实践，是客观存在的东西，因为数学是源于社会实践的。同时数学是一种利用自身已有的概念、定理、公设，借助已知的相互关系，通过推理、计算而获得新发现的学科。数学的概念是抽象的，数学的方法也是抽象的。爱因斯坦相对论的发现恰恰是借助于数学的方法论路径去实现的，如果没有非欧几何人类可能还要在牛顿的时空观中走过许多年才能寻找到相对论。数学方法的抽象是借助数学概念、公理、定理、公设等，把所有涉及研究对象的概念以及研究对象的抽象性归并汇集在一起，找出他们更具体抽象、统一的结论。这种抽象方法，人们一般冠以公理化方法。它大大拓宽了人们的视野，从只抽
3、象个别对象扩展到抽象整个数学理论的逻辑结构。现在，数学研究的对象已不是具体、特殊的对象，而是抽象的数学结构。 （二） 、演绎与归纳：演绎法是由一般到特殊的推理，它有三段论的表现形式，由一般的判断，特殊判断，结论三部分组成。归纳与演绎不同，归纳是这样一种推理：其中所得到的结论超越了经验材料所提供的东西的一种经验猜想。看起来归纳与演绎很有区别的，事实归纳与演绎是相依而存、互为发展、对立统一的。恩格斯在自然辩证法中说：“我们用世界上的一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚，只有对这个过程的分析才能做到这一点归纳与演绎，正如分析与综合一样是必然相互联系着的，不应当牺牲一个而把另一个捧上天，应当把每一个用
4、到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它2们的相互补充。 ”（三） 、发现与证明：发现实际上就是定律的发现和理论地提出问题，最主要是通过假说，猜想。猜想是提出新思想，一个猜想可以带出或生出一个新的学科方向。比如，对欧氏第五公设的证明产生了非欧几何理论，四色猜想对开辟数学研究新途径有重要意义。在数学史上有很多有名猜想，人们熟悉的费马猜想，曾是一个悬赏 10 万马克的定理，实际上，它是源于几千年前的勾股定理。德国数学家曾宣称：当 n 大于 2 时，不存在一个整数 n 次幂是另外两个整数 n 次幂之和。数学家韦尔斯花了 34 年心血来解这道难题，并获得沃尔夫奖。许许多多数学猜想是由
5、简单到复杂无休无止地产生出来。一个猜想解决了，又猜想出来了，数学家们总有解决不完的猜想。许多重要猜想，总能吸引众多数学家为此皓首穷经。在证明各个猜想的过程中，数学们会取得一系列重要理论成果。 （四） 、分析与综合:分析是由未知去推导已知，在假定的前提下导出结论，而这一结论恰恰是已给出的条件或已知的命题。综合是由已知命题开始，通过演绎、归纳能一连串来导出未有的命题，或解决所要给出的问题的解。善于结合运用这些数学方法可以更好的来解决数学问题和体会数学的内涵。二、成长与磨砺数学的发展写关于数学文化不得不写数学的发展。数学是人类最古老的科学知识之一，它主要是研究现实生活中数与数、形与形，以及数与形之间
6、相互关系的一门学科。他们发展也经历的很多的坎坷，在磨砺中也得以不断的成长。首先是数学的萌芽阶段，在这一时代的杰出代表是古巴比伦数学、中国数学、埃及数学、印度数学等。古埃及文化可追溯到公元前 4000 年，在那里，公元前 3200 年就已有了统一的国家。公元前 2900 年，开始建筑金字塔，就金字塔的建筑来讲，已经具备一些初等几何的知识；巴比伦文化可以上溯到公元前2000 年左右的苏美尔文化，这一时期，人们基于对量的认识，经建立了数的概念。从大约公元前 1800 年开始，巴比伦已经使用较为系统的以 60 为基数的数系；另一个重要的是古希腊数学，希腊文化在世界文明史上的贡献是至高无上的。它广泛的吸
7、取了其他文明中的有价值的东西，创立了自己的文明与文化，对西方文明乃至世界文明的发展起了重要作用；同时，在中亚和东方也创造了3灿烂的数学文化。自公元前 8 世纪起，印度已有一些丰富的数学知识。中国数学是世界数学史中的瑰宝，在仰韶文化中，已经出土的陶器上已刻有用 |，|，|，| 等表示 1，2， 3，4 的记号。西安半坡出土的陶器中就有用圆点堆成的三角形或正多边形。然后是常数学阶段，这时期，数位希腊数学家取得辉煌成就，在 2000 年时间内，希腊人创造的文明一直延续到牛顿时代。M. 克莱因在评价希腊人的 几何原本和圆锥曲线时说：“从这些精心撰述的著作中，我们看得出此前三百年间数学上的创造性工作，或
8、此后数学史上关系重大的一些问题。”说道希腊时代的辉煌，不得不提到希腊璀璨的数学家们。毕达哥拉斯，曾被人们认为是一个神秘主义者，他把证明引入了数学，这也是他最伟大的功绩之一。毕达哥拉斯还提出了抽象，抽象引发了几何的思辨，从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向科学的开始。在希腊数学时期还有芝诺的四个简单悖论，这四个简单悖论震惊了哲学界。在希腊数学里最主要的工作精华和最大的光荣落在了欧几里德和阿波罗尼奥斯的头上。欧几里德撰写的几何原本是古希腊数学的集大成，它充分发挥了希腊哲学的优势，借助演绎推理，展现给人们一个完整的典范的学科系统。阿波罗尼奥斯的突出工作是圆锥曲线论，圆锥曲线论的杰出
9、工作，几乎将圆锥曲线的所有性质开采殆尽，以至使后代许多几何学工作者至少是在笛卡尔之前的近 2000 年间，不敢对此再有发言权。后人提到评价圆锥曲线，评价阿波罗尼奥斯，就联想到我国李白登黄鹤楼时，看到崔颢诗后的“眼前有景道不得，崔颢题诗在上头”的那样一种心情。还有阿基米德的得意之作论球与圆柱，也是数学上的杰作。中国著作九章算术给出了三元一次方程组的解法，同时在世界历史上第一次使用负数，叙述了对负数进行运算的规则，也给出了求平方根和立方根的方法。然后就进入了变量数学建立时期，有笛卡尔著作几何学，以及牛顿和莱布尼兹创立的微积分，在数学发展史上是很重要的一个里程碑。在大一的时候就学了微积分，微分及其中
10、的变量、函数和极限等概念，运动、变化等思想，是辩证法渗入了全部数学：并使数学成为精确表述自然科学和技术的规律及有效地解决问题的有力工具。4最后是现代数学时期，其中比较突出的问题是高于四次的代数方程的根式求解问题、欧几里德几何中平行线公设的证明问题和微积分方法的逻辑基础问题。代数、几何、分析领域中这些问题得以研究和解决，数学学科的分支得以迅速发展。顺着时间的发展将数学史大概说了下，现在说说在数学史上出现的三次数学危机。第一次数学危机：由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”和“一切数均可表成整数或整数之比”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角
11、线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2 的诞生。小小2 的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对
12、作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。 罗素悖论与第三次数学危机：十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，1903 年，英国数学家罗素提出著名的罗素悖论。罗素构造了一个集合 S：S 由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S 是否属于 S 呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果 S 属于 S，根据 S 的定义，S 就不属于 S；反之，如果 S 不属于S，同样根据定义， S 就属于 S。无论如何都是矛盾的。罗
13、素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动，引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 三 数学韵味数学的美5说到数学美。数学美可以分为形式美和内在美。数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美，数学中的对称美反映的是自然界的和谐性，。数学中的简洁美，数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点，许多纷繁复杂的现象，可以归纳为简单的数学公式。数学的内在美有数学的和谐美，数量的和谐，空间的协调是构成数学美的重要因素。数学中的严谨美，严谨美是数学独特的内在美，我们通常用“滴水不漏”来形容数学。它表现在数学推理的严密，数学定义
14、准确揭示概念的本质属性，数学结构系统的协调完备等等四、内涵数学与哲学在数学的发展中，形成许多哲学的观点，有以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义，以希尔伯特为代表的形式主义三大学派。 （一） 、逻辑主义罗素在 1903 年出版的数学的原理中对于数学的本性发表了自己的见解。他说：“纯粹数学是所有形如p 蕴涵 q的所有命题类，其中 p 和 q 都包含数目相同的一个或多个变元的命题，且 p 和 q 除了逻辑常项之外，不包含任何常项。所谓逻辑常项是可由下面这些对象定义的概念：蕴涵，一个项与它所属类的关系，如此这般的概念，关系的概念，以及象涉及上述形式一般命题概念的其他概念。除此之外，数学使
15、用一个不是它所考虑的命题组成部分的概念，即真假的概念。 ”（二） 、直觉主义 直觉主义有着长远的历史，它植根于数学的构造性当中。古代数学大多是算，只是在欧几里得几何学中逻辑才起一定作用。到了十七世纪解析几何和微积分发明之后，计算的倾向大大超过了逻辑倾向。十七、十八世纪的创造，并不考虑逻辑的严格，而只是醉心于计算。现代直觉主义的奠基人是布劳威尔， 布劳威尔是从哲学中得出自己观点的，基本的直觉是按照时间顺序出现的感觉，而这形成自然数的概念。 （三） 、形式主义 一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特，但是希尔伯特自己并不自命为形式主义者。希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家，他对于数学基础问题有着长时期的持久关注，他的思想在现代数学也占有统治地位。关于数学中的存在，他认为不限于感觉经验的存在。在物理世界中，他认为没有无穷小、无穷大和无穷集合，但是在数学理论的各个分支中却都有无穷集合， 参考文献：6数学与哲学.中国少年儿童出版社数学文化.高等教育出版社数学文化.清华大学出版社
