1、1讲义-平面向量与三角形四心的交 汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1） 是 的重心.0OCBAABC证法 1：设 ),(),(),(), 321yxyx是0)()()(321 3213yyxxO的重心.ABC证法 2：如图O0D三点共线，且 分A、AD为 2：1是 的重心BC（2） 为 的垂心. OOBC证明：如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心
2、， BE 垂直 AC，AD 垂直 BC， D、E 是垂足.0)( AAACB同理 ， B为 的垂心OA（3）设 , , 是三角形的三条边长，O 是 ABC 的内心abc为 的内心.CB0AC证明： 分别为 方向上的单位向量，、平分 ,bAc)，令(OCBcbaOAB CDEOAB CDE2（ )cbaAObACB化简得 0)( （4） 为 的外心。三、典型例题：例 1： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，OCBA、 P)(ACBO，则点 的轨迹一定通 过 的（ ）,0PA外心 B内心 C重心 D垂心例 2：（03 全国理 4） 是平面上一定点， 是平面上不共 线的三个点，
3、动点 满足、， ，则点 的轨迹一定通过 的（ ）)(OP,0PABCA外心 B内心 C重心 D垂心例 3：1) 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足A、 P， ，则 点 的轨迹一定通过 的（ ）)coscs(OP,0ABCA外心 B内心 C重心 D垂心2)已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足, , 则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的( )()|sin|siP 0)A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心3)已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足, , 则动点 P 的轨迹一定通过ABC
4、的( )( )2|cos|cosAPC0)A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例 4、已知向量 满足条件 ， ，求 证： 是123,OP1230OP123|1O123P正三角形3例 5、 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， ，则实数 m = ABC ()OmABOC例 6、点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点， 满足 ，则点 O 是 的（ ）ABAA三个内角的角平分线的交点 B三条 边的垂直平分 线的交点C三条中线的交点 D三条高的交点例 7 在 内求一点 ，使 最小 BP22ACP例 8 已知 为 所在平面内一点， 满足 ，则 为O ABC22222|OABCA
5、OCB的 心例 9.已知 O 是 ABC 所在平面上的一点，若 ，则 O 点是ABC 的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心例 10 已知 O 为ABC 所在平面内一点，满足 = ，则 O 点2222|OABCA22|CB是 ABC 的( )A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心例 11 已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若 = = = 0，则()()OB()AO 点是ABC 的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心例 12：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若 = 0，则 O 点是ABC 的( )aOAbBcCA. 外心 B. 内心 C. 重心
6、D. 垂心例 13：已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若 (其中 P 是ABC 所在平面内任意一点) ，Pabc则 O 点是ABC 的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心四、配套练习：1已知 三个顶点 及平面内一点 ，满足 ，若实数 满足：ABCC、P0PCBA，则 的值为 （ ）P4A2 B C3 D62若 的外接圆的圆心为 O，半径 为 1， ，则 ( )C 0OCBABAA B0 C1 D123点 在 内部且满足 ，则 面积与凹四边形 面积之比是（ ）OOCA0 B C D234534 的外接圆的圆心为 O，若 ，则 是 的（ ）COCBAHHABA外心 B内心 C重
7、心 D垂心5 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，若O、 22O，则 是 的（ ）22AA外心 B内心 C重心 D垂心6 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， ，C )(CBAm则实数 m = 7（06 陕西）已知非零向量与满足(+)=0 且= , 则ABC 为( )12A三 边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形8已知 三个顶点 ，若 ，则 为（ ）BCA、 CABAC2 A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形9.已知 O 是平面上一定点，A、 B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 , ()O. 则 P 点的轨迹一定通 过ABC 的( )0,)A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心10.已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若 = 0, 则 O 点是ABC 的( )OABCA. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心11.已知 O 是ABC 所在平面上的一点，若 (其中 P 为平面上任意一点), 则 O 点是ABC1()3P的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
