1、1谈数学中的对称美与在解题中的应用吴恋，数学计算机科学学院摘要 本文首先讨论了数和式中的对称美.其次运用对称思想来解决数学问题.在数学问题的解题过程中，巧妙地构造对称美，从整体上把握 问题的实质， 优化解题过程.先是就对称在微积分中的应用，列举了一些重要的结论及其在解题中的具体应用.再研究了几何图形中的对称美.然后讨论了数学中其它方面的对称美.特别是对称在记忆数学公式和数学方法中的应用.最后探讨了对称思想在数学教学中的应用，通过在数学教学中落实对称的数学美的思想方法，从而促进学生形成学习数学知识的良好的、积极的情感行为，更好地理解数学知识，提高学生解决数学问题的能力.关键词：对称；数学美；轮换
2、对称性；积分区间；对称性原理；数学思想1 引言1.1 对称美对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、 绘画以及工艺美术的装饰之中.你可以从许多中、外著名的建筑、艺术 珍品中看到.天坛的建筑、天安 门的建筑、颐和园 长廊的建筑以及各种花瓶、古人 饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右 对称和平移对称的典型例子.这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流 畅的感受，因而体现着一种娴静、 稳重、庄严.在现实世界中,既有形态各异的自然对称,又有巧夺天工的人工对称,它们构成了一幅人与自然和谐的优美画卷.因此,对称是宇宙和自然界的基本属性,也是事物适应周围环境而生存发展和繁衍生息的自然规律,
3、充分展现出事物协调环境、自我完善的、和谐的自然美.1.2 数学中的对称美2美，不仅存在于艺术、文学中，存在于大自然以及社会生活中，而且也存在于自然科学中，存在于数学之中.早在两千多年前，古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾 说过：“哪里有数，哪里就有美.” 这就是说，数学中也充满了美的因素 .作为一门科学，数学在其内容结构上和方法上都具有自身的某种美，即数学美.数学美的内容非常丰富，包括普适美、对称美、简洁美、比例美、和谐美、奇趣美等特性.其中对称性是数学美的重要特性之一，正如德国著名的数学家和物理学家魏尔所说的：“ 美和对称性紧密相连”.数学 对称美是数学美的重要 组成部分,它普遍存在于初等数学与
4、高等数学的各个分支，在数学研究中有着重要的作用,一直是数学们长期追求的目标，有时甚至把它作为一种尺度，是数学创造与发现 的美学方法之一.在数学中，不少的概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的.数学中众多的轴对称，中心对称图形和等量关系都被赋予了平衡、协调的对称美.对于数学概念，也是一分为二地成对出现的：整分，奇偶，和差，曲直，方圆，分解组合，平行交叉，正比例反比例 ，都 显得那么的稳定、和 谐、协调、平衡，如此地奇妙 动人.2 数和式的对称美2.1 数的对称美在数学中，如果一个整数，它的各位数字是左右 对称的，我们就称这个数是对称数.例如：1234321、 123321 等.对
5、称数可以分为奇位对称数和偶位对称数.奇位对称数是指位数是奇数的对称数，奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数.偶位对称数是指位数是偶数的对称数，偶位对称数没有对称轴数.产生对称数的方法有很多种：(1) 形如 11、111、1111、的数的平方数是对称数 .如：19+2=113129+3=111.1234567899+10=1111111111(2)某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，也可得到对称数.如：475475+574=10491049+9401=1045010450+05401=1585115851 也是对称数.美的主要形式就是秩序，匀称和确定性，上
6、面的几个式子就巧妙的体现了数和式中的对称美.可以看出，数学与美学是紧密相连，相 辅相成的.2.2 式的对称美如果在代数式中，把任意的两个字母对换，代数式仍然保持不变，像 这样的代数式就称为是对称代数式或对称式.如： ,互换式子中的 ,223223,xyzxyxyxy得到的式子仍然成立.在对称式中，字母是 对称的，地位是平等的.在二项式定理： 012 210()nnnknnnnabCabCabCabCab 中，如果把当 的二项式展开式的系数列成如下：,11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1 0nC2n3 nC这就是著名的“ 杨
7、辉三角”， 它是宋朝数学家杨辉的杰作.杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就，它反映的就是数学美的对称性.4在代数学中，也存在着漂亮的对称式，如： 初等对称多项式：，1223112nnnnxx 它在解题中也有广泛的应用.其中在运用初等对称多项式解题时联系最紧密的就是根与系数的关系定理：对于 n 次多项式 的 n 个根110()nnfxaxax 12,nx有如下关系： 112 212311012()nnnnnnaxxxa 由此定理可以非常简便的求出关于多项式根的对称多项式的值.例 1.设 ， ， 是方程 的三个根，计算：1a23 0876523xx（*）)()( 231322 aa的值.解： 令
8、. ， ，321a 312123213a则 , ,.56172583再将（*）式化为初等对称多项式的多项式，得： )()( 231232212 aaa= =- .3265179由上面的例子可以看出，对称性在数学中是广泛存在的，数学与对称是紧密相连的.3 对称美在数学中的应用3.1 对称在数学解题中的应用5解题是一门艺术，对称性是艺术的一个非常重要的要素，如果在解题的过程中注意到对称性，那么就可以减少一些繁琐的计算，化 难为易，提高解题的效率，达到事半功倍的效果.微分与积分也是一对具有对称美的事物，而对称性的方法也是微积分计算中常用的方法.3.1.1 对称在微分学中的一些结论与应用定理：（1）若
9、 ，则 ；(,)(,)uxy(,)(,)yxuy(2) 若 ，则 .xu因此若求出 ，则可直接写出 ， 与 的关系，也是如此.xyxy例 2.设 ，求出 ， ， ， .()yuexu解： ，2(1)xxyey.2 3(1)y xxe y对称的有： ， .xyu2(yuex3.1.2 对称在积分学中的一些结论和应用3.1.2.1 在重积分计算中，经常利用多元函数的轮换对称性来解题.轮换对称性的定义:若积分区域或被积函数的表达式中 ,将其变量 x,y,z 按下列次序:xy;yz;zx 后,其表达式均不变,则称积分区域或被积函数关于变量 x,y,z 具有轮换对称性.定理1：(二重积分的坐标轮换对称性
10、)如果区域D的边界曲线方程是关于x,y地位对称， 在 上连续,则(,)fxyD(,)(,)DDfxydfyxd定理2：(三重积分的坐标轮换对称性)如果有界闭区域 的边界曲面的方程关于x,y,z地位对称, 在 上连续,则()fu.()()()fxdyzfydxzfdxyz6由此，可以推广到：定理3：(n 重积分的坐标轮换对称性)如果n维有界闭区域V的边界曲面的方程关于 地位对称， 在V上连续,则12,nx ()fu=12()nfxdx 21()nfd = 1 例3.计算三重积分 ，其中 是2()()fxyzxyz所围成正方形( 为一大于0的实数).0,0xaaa解： 222() 2)Iyzdxx
11、yzxzydxz 中被积函数及积分区域都有轮换对称性.所以 ，222xyzxydzxyz，dd故.2(36)Ixyz 26005(3)aadyxya3.1.2.2 利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，可简化定积分的计算.定理：设 是 上的 连续函数，则通过变换 ，可得：()fxba, xabt=ad()afxd2()abfxd这就是积分区间的对称原理.特别地，当 时，有 .()fxbx()bafx2()abfx例 4.求积分 .2201tand解：由于 在 上有界，且只有可去间断点 ,故定积分存在.2()tfxx0, 2x由积分区间对称原理可得：7原积分 220211tanta()dxx.
12、2 2220 041tcotx 若被积函数是非奇非偶时，通过适当的换元或拆项等方法也可转化为对称区间的积分问题.把积分区间的对称性原理推广到二元函数积分中，可以得到结论：结论1：设 关于y轴对称,则D(,)Dfxd12(,)(,)0Dfxydfxyx若 关 于 变 量 为 偶 函 数若 关 于 变 量 为 奇 函 数其中 是 的右半部分: .11(,)|,0xyDx且结论2：设 关于x轴对称,则(,)Dfyd12(,)(,)0Dfxydfxyy若 关 于 变 量 为 偶 函 数若 关 于 变 量 为 奇 函 数其中 是 的上半部分: .11(,)|,0xyDy且结论3：设 关于x轴和y轴均对称
13、，且 关于变量x和变量y均为偶函数，则f1(,)4(,)DDfydxd其中 是 在第一象限的部分： .1 ,|,0,xyxy且结论4：设 关于原点对称,则(,)Dfxyd1 22(,)(,),(,)(,)0DDfxydfxydfxyfx如 果如 果其中 , .1(,)|,xyx且 2(,)|,0xyDy且结论 5：设 关于直线 y=x 对称，则(,)(,)DDfxydfyxd8特别地，当 时, .12(,)()fxyfy1212()()DDfxydfyxd例 5.计算二重积分 ,其中 .75DIx2:解： 关于x轴和y轴均对称,而 分别关于变量x和y为奇函数,故D和,()0Dxyd所以：.22
14、1DI2120 5(cos)4drdr同样地，将它应用到三重积分中.例6.计算三重积分 ,其中 是由曲面()xzdy与 所围成的区域.2zxy21解: 关于坐标面x=0对称,且关于变量x为奇函数,故 .0xdyz所以 .()zdyzdxy212400cos*in8rr 例10.计算三重积分 ,22ln(1)Vzxdy其中 .22(,)|Vxyzz解:积分区域V是以原点O(0,0,0)为中心的单位球域 ,所以V 关于xoy平面对称，被积函数是关于z的奇函数,22ln(1)(,)zxyfxy故由对称性知 .22l()0Vdxyzxyz由上可见，在解决微积分问题时，巧妙 应用对称性的观点去解题，可以
15、使运算 过程更加的快捷、流畅，计算结果更加的精确.3.2 对称在数学中的其他应用对称是形式美的显著特征,就数学而言,不仅让枯燥抽象的数学公式变得容易记忆,而且也是数学命题证明必不可少的一种方法.93.2.1利用对称性记忆公式在数学分析中,斯托克斯公式有一种形式表示法: sinsinc sPdxQyRzdxyzPQRA其中P,Q,和R为连续可微函数,S 为逐片光滑的有界双侧曲面,C为包围S的逐段光滑的简单闭曲线, 为曲面S在点 处的单位法向量,方向为逆时针,这个公式的右(sin,si)()xyz边是用第一型曲面积分表示的,被积函数是一个三阶行列式.若取 平面上的平面区域D作曲面S,并取上侧,则斯
16、托克斯公式右 侧的三阶行列式为xy01xyxyzPQPR于是斯式公式就变成了格林公式,由此可见,格林公式是斯式公式的特例.类似地,奥式公式可表示为 (sin,si)(,)(,)(,)S VPQRdsPQRdvxyz AA其中S是包围 V的逐片光滑曲面,P,Q,R 在S+V上是连续 可微的, 为曲面S上sin,si)点 处 的单位法向量 .(,)xyz不难看出,斯式公式和奥式公式都是由三个矢量(P,Q,R), ,及(si,si)所决定的.(,)xyz上述一些形式上的对称性,是数学分析中追求对称形式美的有利证据.一些望而生怯的公式由于有了对称美,变得非常容易记忆了.3.2.2 数列解题中的的对称思
17、想10在数列解题中,存在着大量的对称思想,无论是等差数列还是等比数列,都含有丰富的对称之美.我们知道：只要 ，其中 ，就有mnpq,mnpqN（） （等差数列）mnpqaa（） （等比数列）利用这个数量关系来处理有关数列问题，常常能化繁为简.例 11.（）已知 为等差数列，且 ，求na231048aa67?a（）已知 为等比数列， ，求435, 2n35解：（） ,2131067()()8()67（） ,224465,aa235a ,235例 12.在等差数列中， ，求 .69125020S解： 6912552()()aaa 200()S由此可以看出，如果在等差数列中，由条件不能具体的求出 和 ，但可以求出 1a和1add的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式来表示，那么就用“ 整体代值”的方法将值求出，同样的方法也可以用在等比数列中.3.3 对称美与数学教学人们常说：“成功的教学 给 人以一种美的享受”. 而长 期以来，在数学教学中，人 们总是重视基础知识和基本技能的传授与训练，而忽视了美育的渗透，不善于发现数学本身所特有的美，不注意用数学美来感染诱发学生的求知欲望，激发他们的学习兴趣，不重 视引导学生发现数学美，鉴赏数学美，以致使一些学
