1、数学选修 21 知识点总结第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、 “若 p，则 q”形式的命题中的 p称为命题的条件， q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若 p，则 q”，它的逆命题为“若 ，则 ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命
2、题.若原命题为“若 ，则 ”，则它的否命题为“若 p，则 q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若 p，则 q”，则它的否命题为“若 ，则 p”。6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 假假 假 假 假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若 pq，则 是 的充分条件， q是 p的必要条件若 ，则 是 的充要
3、条件（充分必要条件） 8、用联结词“且”把命题 p和命题 联结起来，得到一个新命题，记作 pq当 、 都是真命题时， 是真命题；当 、 两个命题中有一个命题是假命题时， pq是假命题用联结词“或”把命题 和命题 q联结起来，得到一个新命题，记作 当 p、 q两个命题中有一个命题是真命题时， pq是真命题；当 、 两个命题都是假命题时，是假命题对一个命题 全盘否定，得到一个新命题，记作 若 是真命题，则 p必是假命题；若 p是假命题，则 必是真命题9、短语“对所有的” 、 “对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对 中任意一个 x，有 p成立”
4、 ，记作“ x， ”短语“存在一个” 、 “至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ ”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在 中的一个 ，使 成立” ，记作“ ， p”10、全称命题 p： x， ，它的否定 p： x， x。全称命题的否定是特称命题。特称命题 p： x， ，它的否定 p： x， px。特称命题的否定是全称命题。第二章：圆锥曲线知识点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 建立适当的直角坐标系；设动点 ,Mxy及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂） 。2、平面内与两个定点 1F， 2的距离之和等于常
5、数（大于 12F）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。 1Mac3、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上图形标准方程 210xyab210yxab第一定义到两定点 21F、 的距离之和等于常数 2a，即|Ma（ 1|F）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e，即 (01)MFed范围 x且 bybx且 ay顶点1,0aA、 2,、1,A、 2,0、 b轴长 长轴的长 a 短轴的长 对称性 关于 x轴、 y轴对称，关于原点中心对称焦点 1,0Fc、 2, 1,Fc、 2,焦距 221()Fcab离心率2221(01)c
6、e ea准线方程2xc2ayc4、设 是椭圆上任一点，点 到 1F对应准线的距离为 1d，点 到 2F对应准线的距离为 2d，则12Fed。5、平面内与两个定点 1， 2的距离之差的绝对值等于常数（小于 12）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。 Mac6、双曲线的几何性质：焦半径 0,()Mxy左焦半径： 10MFaex右焦半径： 2下焦半径： 10MFaey上焦半径： 2焦点三角形面积 12 1tan()MFSb通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHa（焦点）弦长公式 1,2,()AxyB， 222111()4Akxkxx焦点的位置 焦点在
7、x轴上 焦点在 y轴上图形标准方程 210,xyab210,yxab第一定义到两定点 21F、 的距离之差的绝对值等于常数 ，即|Ma（ 210|F）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e，即(1)ed范围 xa或 ， yRya或 ， xR顶点 1,0A、 2,10,A、 2,a轴长 实轴的长 a 虚轴的长 b对称性 关于 x轴、 y轴对称，关于原点中心对称焦点 1,Fc、 2,1,Fc、 2,7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。8、设 是双曲线上任一点，点 到 1F对应准线的距离为 1d，点 到 2F对应准线的距离为 2d，则12Fed。9、平面内与一个定点 和一条定直
8、线 l的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点 称为抛物线的焦点，定直线 l称为抛物线的准线10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 A、 两点的线段 ，称为抛物线的“通径” ，即2pA11、焦半径公式：若点 0,xy在抛物线 20px上，焦点为 F，则 02px；、若点 在抛物线 y上，焦点为 ，则；若点 0,x在抛物线 2x上，焦点为 ，则 0y；若点 y在抛物线 0py上，焦点为 F，则 2p焦距 2212()Fcab离心率 2221(ce ea准线方程 xc2ayc渐近线方程byaxb焦半径 0,()Mxy在右支 102Fex左 焦 ：右 焦 ：在左支 102exaF左 焦 ：右 焦
9、：M在上支 102Feya左 焦 ：右 焦 ：在下支 102eyFa左 焦 ：右 焦 ：焦点三角形面积 12 1cot()MSbM通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHa12、抛物线的几何性质：关于抛物线焦点弦的几个结论：设 AB为过抛物线 2(0)ypx焦点的弦， 12(,)(,)AxyB、 ，直线的倾斜角为 ，则 2211,;4yp 2;sinp 以 为直径的圆与准线相切； 焦点 F对 AB、 在准线上射影的张角为 2；图形标准方程2ypx02ypx02py02xpy0定义 与一定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F不在定直线 l上)顶点 ,离心率 1e对称轴
10、 x轴 y轴范围 0x00y0焦点 ,2pF,2pF,2pF,2pF准线方程 xxyy焦半径 0,()Mxy02pF02pMF02pMF02pF通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： H焦点弦长公式 12ABxp参数p的几何意义参数 p表示焦点到准线的距离， 越大，开口越阔 12.|FABP第三章：空间向量知识点：1、空间向量的概念：（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量（2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向（3）向量 A的大小称为向量的模（或长度） ，记作 A（4）模（或长度）为 0的向量称为零向量；模为 1的向量称为单位向
11、量（5）与向量 a长度相等且方向相反的向量称为 a的相反向量，记作 a（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点 为起点的两个已知向量 a、 b为邻边作平行四边形 CA，则以 起点的对角线 C就是 与 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点 ，作 aA，b，则 aA3、实数 与空间向量 的乘积 是一个向量，称为向量的数乘运算当 0时， 与 方向相同；当0时， 与 方向相反；当 0时， a为零向量，记为 a
12、的长度是 的长度的 倍4、设 ， 为实数， a， b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律： ；结合律： 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a， 0b， /ab的充要条件是存在实数 ，使ab7、平行于同一个平面的向量称为共面向量8、向量共面定理：空间一点 位于平面 CA内的充要条件是存在有序实数对 x， y，使xyCA；或对空间任一定点 ，有 xyCA；或若四点 ， ， ， C共面，则 1zxyz9、已知两个非零向量 a和 b，在空间任取一点 ，作 a，
13、 b，则 称为向量 a， b的夹角，记作 ,两个向量夹角的取值范围是： ,010、对于两个非零向量 a和 b，若 ,2，则向量 a， b互相垂直，记作 ab11、已知两个非零向量 和 ，则 cos,称为 ， 的数量积，记作 即cos,ab零向量与任何向量的数量积为 012、 等于 的长度 a与 b在 的方向上的投影 cs,ba的乘积13 若 a， b为非零向量， e为单位向量，则有1cos,e； 20；3abb与 同 向与 反 向， 2a， a； 4cos,ab； 514 量数乘积的运算律：1ab； 2abab； 3abc15、空间向量基本定理：若三个向量 ， ， c不共面，则对空间任一向量
14、p，存在实数组 ,xyz，使得 pxyzc16、三个向量 a， b， 不共面，则所有空间向量组成的集合是 ,xaybzcR这个集合可看作是由向量 ， ， c生成的， ,abc称为空间的一个基底， ， ， 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底17、设 1e， 2， 3为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底） ，以 1e， 2，3的公共起点 为原点，分别以 1e， 2， 3的方向为 x轴， y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系 xyz则对于空间任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它的起点与原点 重合，得到向量p存在有序实数组 ,xyz，使得 123x
15、eyz把 x， y， z称作向量 p在单位正交基底 1e， 2， 3下的坐标，记作 ,此时，向量 p的坐标是点 在空间直角坐标系 xyz中的坐标 ,xyz18、设 1,a， 2,bxyz，则（1） 21x（2） 2,yz （3） 1,axyz（4） 212b（5）若 、 为非零向量，则 121200abxyz（6）若 0，则 1/ ,（7） 2211axyz（8） 1221cos, zbxy（9） 1,xyzA， 2,xy，则 222111dxyzA 19、在空间中，取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置可以用向量 来表示向量称为点 的位置向量20、空间中任意一条直线 l的位置可以由
16、l上一个定点 以及一个定方向确定点 A是直线 l上一点，向量 a表示直线 l的方向向量，则对于直线 上的任意一点 ，有 ta，这样点 和向量 a不仅可以确定直线 的位置，还可以具体表示出直线 l上的任意一点21、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点 ，它们的方向向量分别为 ， b 为平面 上任意一点，存在有序实数对 ,xy，使得 xyb，这样点与向量 a， 就确定了平面 的位置22、直线 l垂直 ，取直线 l的方向向量 a，则向量 称为平面 的法向量23、若空间不重合两条直线 ， b的方向向量分别为 ， b，则 /abR， 0a24、若直线 的方向向量为 a
17、，平面 的法向量为 n，且 ，则 ， /0n /n25、若空间不重合的两个平面 ， 的法向量分别为 ， ，则 ，bab0ab26、设异面直线 ， 的夹角为 ，方向向量为 ， ，其夹角为 ，则有 acosab27、设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ， 与 所成的角为 ， 与 的夹角为 ，则有llnllnsinconl28、设 ， 是二面角 的两个面 ， 的法向量，则向量 ， 的夹角（或其补角）就是1n2l1n2二面角的平面角的大小若二面角 的平面角为 ，则 l12cos29、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量 的模 计算AA30、在直线 上找一点 ，过定点 且垂直于直线 的向量为 ，则定点 到直线 的距离为llnlcos,nd31、点 是平面 外一点， 是平面 内的一定点， 为平面 的一个法向量，则点 到平面 的距离为 cs,nA
