1、行程问题公式基 本 概 念行 程 问 题 是 研 究 物 体 运 动 的 ， 它 研 究 的 是 物 体 速 度 、 时 间 、 行 程 三 者 之 间 的 关 系 。 基 本 公 式路 程 速 度 时 间 ；路 程 时 间 =速 度 ；路 程 速 度 =时 间 关 键 问 题确 定 行 程 过 程 中 的 位 置 路 程 相 遇 路 程 速 度 和 =相 遇 时 间 相 遇 路 程 相 遇 时 间 = 速 度 和 相 遇 问 题 （ 直 线 ）甲 的 路 程 +乙 的 路 程 =总 路 程 相 遇 问 题 （ 环 形 ）甲 的 路 程 +乙 的 路 程 =环 形 周 长 追 及 问 题追 及
2、 时 间 路 程 差 速 度 差 速 度 差 路 程 差 追 及 时 间 路 程 差 追 及 时 间 速 度 差 追 及 问 题 （ 直 线 ）距 离 差 =追 者 路 程 -被 追 者 路 程 =速 度 差 X 追 及 时 间 追 及 问 题 （ 环 形 ）快 的 路 程 -慢 的 路 程 =曲 线 的 周 长 流 水 问 题顺 水 行 程 （ 船 速 水 速 ） 顺 水 时 间 逆 水 行 程 （ 船 速 水 速 ） 逆 水 时 间 顺 水 速 度 =船 速 水 速 逆 水 速 度 船 速 水 速 静 水 速 度 =（ 顺 水 速 度 逆 水 速 度 ） 2 水 速 ： （ 顺 水 速 度
3、 逆 水 速 度 ） 2 解 题 关 键船 在 江 河 里 航 行 时 ， 除 了 本 身 的 前 进 速 度 外 ， 还 受 到 流 水 的 推 送 或 顶 逆 ， 在 这 种 情 况 下 计 算 船 只 的 航 行 速 度 、时 间 和 所 行 的 路 程 ， 叫 做 流 水 行 船 问 题 。 流 水 行 船 问 题 ， 是 行 程 问 题 中 的 一 种 ， 因 此 行 程 问 题 中 三 个 量 （ 速 度 、 时 间 、 路 程 ） 的 关 系 在 这 里 将 要 反 复用 到 .此 外 ， 流 水 行 船 问 题 还 有 以 下 两 个 基 本 公 式 ： 顺 水 速 度 =船
4、速 +水 速 ， （ 1） 逆 水 速 度 =船 速 -水 速 .（ 2） 这 里 ， 船 速 是 指 船 本 身 的 速 度 ， 也 就 是 在 静 水 中 单 位 时 间 里 所 走 过 的 路 程 .水 速 ， 是 指 水 在 单 位 时 间 里 流过 的 路 程 .顺 水 速 度 和 逆 水 速 度 分 别 指 顺 流 航 行 时 和 逆 流 航 行 时 船 在 单 位 时 间 里 所 行 的 路 程 。 根 据 加 减 法 互 为 逆 运 算 的 关 系 ， 由 公 式 （ l） 可 以 得 到 ： 水 速 =顺 水 速 度 -船 速 ， 船 速 =顺 水 速 度 -水 速 。 由
5、公 式 （ 2） 可 以 得 到 ： 水 速 =船 速 -逆 水 速 度 ， 船 速 =逆 水 速 度 +水 速 。 这 就 是 说 ， 只 要 知 道 了 船 在 静 水 中 的 速 度 ， 船 的 实 际 速 度 和 水 速 这 三 个 量 中 的 任 意 两 个 ， 就 可 以 求 出 第 三 个量 。 另 外 ， 已 知 船 的 逆 水 速 度 和 顺 水 速 度 ， 根 据 公 式 （ 1） 和 公 式 （ 2） ， 相 加 和 相 减 就 可 以 得 到 ： 船 速 =（ 顺 水 速 度 +逆 水 速 度 ） 2， 水 速 =（ 顺 水 速 度 -逆 水 速 度 ） 2。（一）相遇
6、问题两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。它们的基本关系式如下：总路程=（甲速+乙速）相遇时间相遇时间=总路程（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度（二）追及问题追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，罕用下面的公式：距离差=速度差追及时间追及时间
7、=距离差速度差速度差=距离差追及时间速度差=快速-慢速解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。（三）相离问题两个运动物体由于背向运动而相离，就是相离问题。解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。基本公式有：两地距离=速度和相离时间相离时间=两地距离速度和速度和=两地距离相离时间（四）流水问题顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。船在静水中行驶，单位时间内所走的距离叫做划行速度或叫做划
8、力；顺水行船的速度叫顺流速度；逆水行船的速度叫做逆流速度；船放中流，不靠动力顺水而行，单位时间内走的距离叫做水流速度。各种速度的关系如下：（1）划行速度+水流速度=顺流速度（2）划行速度-水流速度=逆流速度（3）（顺流速度+ 逆流速度）2=划行速度（4）（顺流速度-逆流速度）2=水流速度流水问题的数量关系仍然是速度、时间与距离之间的关系。即：速度时间=距离；距离速度=时间；距离时间=速度。但是，河水是流动的，这就有顺流、逆流的区别。在计算时，要把各种速度之间的关系弄清楚是非常必要的。1 、每份数份数总数 总数每份数份数 总数份数每份数 2、 1 倍数倍数几倍数 几倍数1 倍数倍数 几倍数倍数1
9、 倍数 3 、速度时间路程 路程速度时间 路程时间速度 4 、单价数量总价 总价单价数量 总价数量单价 5 、工作效率工作时间工作总量 工作总量工作效率工作时间 工作总量工作时间工作效率 6 、加数加数和 和一个加数另一个加数 7 、被减数减数差 被减数差减数 差减数被减数 8 、因数因数积 积一个因数另一个因数 9 、被除数除数商 被除数商除数 商除数被除数 正方形 C 周长 S 面积 a 边长 周长边长4 C=4a 面积= 边长边长 S=aa 正方体 V:体积 a:棱长 表面积=棱长棱长6 S 表=aa6 体积=棱长棱长 棱长 V=aaa 长方形 C 周长 S 面积 a 边长 周长=(长+
10、宽)2 C=2(a+b) 面积=长宽 S=ab 长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长 宽+ 长高+宽高)2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积= 长宽高 V=abh 三角形 s 面积 a 底 h 高 面积=底高2 s=ah2 三角形高=面积 2底 三角形底= 面积 2高 平行四边形 s 面积 a 底 h 高 面积=底高 s=ah 梯形 s 面积 a 上底 b 下底 h 高 面积=(上底+下底 )高2 s=(a+b) h2 圆形 S 面积 C 周长 d=直径 r=半径 (1)周长=直径=2 半径 C=d=2r (2)面积=半径 半径 圆柱体 v:体积 h:高
11、 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长 (1)侧面积=底面周长高 (2)表面积=侧面积+底面积2 (3)体积=底面积高 （4）体积侧面积2 半径 圆锥体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积高3 总数总份数平均数 和差问题 (和差)2大数 (和差)2小数 和倍问题 和( 倍数 1)小数 小数倍数大数 (或者 和小数大数) 差倍问题 差( 倍数 1)小数 小数倍数大数 (或 小数差大数) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: 如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数段数1全长株距1 全长株距(株数 1) 株距全长( 株数1) 如果在非封闭线路的一
12、端要植树,另一端不要植树, 那么 : 株数段数全长株距 全长株距株数 株距全长株数 如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数段数1全长株距1 全长株距(株数 1) 株距全长( 株数1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数段数全长株距 全长株距株数 株距全长 株数 盈亏问题 (盈亏)两次分配量之差参加分配的份数 (大盈小盈) 两次分配量之差参加分配的份数 (大亏小亏) 两次分配量之差参加分配的份数 相遇问题 相遇路程速度和相遇时间 相遇时间相遇路程速度和 速度和相遇路程相遇时间 追及问题 追及距离速度差追及时间 追及时间追及距离速度差 速度差追及距离追及时间 流水问题 顺流速度静水速度水流速度 逆流速度静水速度水流速度 静水速度(顺流速度逆流速度 )2 水流速度(顺流速度逆流速度)2 浓度问题 溶质的重量溶剂的重量溶液的重量 溶质的重量溶液的重量100%浓度 溶液的重量浓度溶质的重量 溶质的重量浓度溶液的重量 利润与折扣问题 利润售出价成本 利润率利润成本100%(售出价成本1)100% 涨跌金额本金涨跌百分比 折扣实际售价原售价 100%(折扣1) 利息本金利率 时间 税后利息本金 利率时间(120%)
