1、长沙市雅礼中学理科实验班招生试题数 学 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）A、 B、 C、 D、2、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（ ）A、2x% B、1+2x% C、 （1+x%） x% D、 （2+x%）x%3、甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条 a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条 b 元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙
2、，结果发现赔了钱，原因是（ ）+2A、ab B、ab C、a=b D、与 a 和 b 的大小无关4、若 D 是ABC 的边 AB 上的一点，ADC= BCA，AC=6， DB=5，ABC 的面积是 S，则 BCD 的面积是（ ）A、 B、 C、 D、35 47 59 6115、 （ 2007玉溪）如图， AEAB 且 AE=AB，BCCD 且 BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 S 是（ ）A、50 B、62C、65 D、686、如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字
3、为 a，右图轮子上方的箭头指的数字为 b，数对（a，b）所有可能的个数为 n，其中 a+b 恰为偶数的不同个数为 m，则 等于（ ）A、 B、 C、 D、12 16 512 347、如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点 A、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4 倍，则它们第 2000 次相遇在边（ ）A、AB 上 B、BC 上 C、CD 上 D、DA 上8、已知实数 a 满足 ，那么 a20062 的值是（ ）2006+2007=A、2005 B、2006 C、2007 D、2008二、填空题（共 8 小题，每小题 5
4、 分，满分 40 分）9、小明同学买了一包弹球，其中 是绿色的， 是黄色的，余下的 是蓝色的如果有 12 个蓝色的弹球，那么，14 18 15他总共买了 _ 个弹球10、已知点 A（1，1）在平面直角坐标系中，在 x 轴上确定点 P 使 AOP 为等腰三角形则符合条件的点 P 共有 _ 个11、不论 m 取任何实数，抛物线 y=x2+2mx+m2+m1 的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是 _ 12、将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球已知：（1 ）黄盒中的小球比黄球多；（2 ）红盒中的小球与白球不一样多；（3 ）白球比白盒中的球少则红、白、黄
5、三个盒子中装有小球的颜色依次是 _ 13、在梯形 ABCD 中，ABCD ，AC 、BD 相交于点 O，若 AC=5，BD=12，中位线长为 ，AOB 的面积为 S1，132COD 的面积为 S2，则 = _ 1+214、已知矩形 A 的边长分别为 a 和 b，如果总有另一矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于k，则 k 的最小值为 _ 15、已知 x、y 均为实数，且满足 xy+x+y=17，x 2y+xy2=66，则 x4+x3y+x2y2+xy3+y4= _ 16、 （ 2007天水）如图，已知在O 中，直径 MN=10，正方形 ABCD 的四个顶点分别在O 及半
6、径 OM、OP 上，并且POM=45，则 AB 的长为 _ 三、解答题（共 2 小题，满分 20 分）17、甲、乙两班同时从学校 A 出发去距离学校 75km 的军营 B 军训，甲班学生步行速度为 4km/h，乙班学生步行速度为 5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为 40km/h，载人时的速度为 20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？18、如图，已知矩形 ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P 在 CD 上移动，AP 与 DM 交于点 E，PN 交 CM 于点F，设四边形 MEPF 的面积为
7、S，求 S 的最大值答案与评分标准一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1、下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样，那么不可能是这一个正方体的展开图的是（ ）A、 B、 C、 D、考点：几何体的展开图。分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题解答：解：选项 C 中红色面和绿色面都是相邻的，故不可能是一个正方体两个相对面上的颜色都一样，故选 C点评：注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题2、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了
8、（ ）A、2x% B、1+2x% C、 （1+x%）x% D、 （2+x%）x%考点：一元二次方程的应用。专题：增长率问题。分析：设第一季度产值为 1，第二季度比第一季度增长了 x%，则第二季度的产值为 1（1+x%） ，那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了 x%来确定，则其产值为 1（1+x%） （1+x%） ，化简即可解答：解：第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%） （1+x% ）1= （2+x% ）x%故选 D点评：本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第一季度和第二季度的产值增长关系3、甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条 a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条 b 元
9、，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）+2A、ab B、ab C、a=b D、与 a 和 b 的大小无关考点：一元一次不等式的应用。分析：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解解答：解：利润= 总售价 总成本= 5（3a+2b）=0.5b0.5a，赔钱了说明利润0+20.5b0.5a0，ab故选 A点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式4、若 D 是ABC 的边 AB 上的一点，ADC= BCA，AC=6， DB=5，ABC 的面积是 S，则 BCD 的面积是（ ）A、 B、 C、
10、D、35 47 59 611考点：相似三角形的判定与性质。分析：先根据相似三角形的判定定理求出ACD ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答解答：解：ADC=BCA ， A 是公共角，ABC=ACD，ACDABC，AC：AD=AB ： AC，AB=AD+BD=AD+5，AD（AD+5）=36，解得 AD=4 或9 ，负值舍去，AD=4， ABC 的面积是 S，ACD 的面积就是 S， BCD= S49 59故选 C点评：本题的关键是求得ACDABC，根据相似比和已知的条件求得 AD 的值，然后利用面积比等于相似比的平方求值5、 （ 2007玉溪）如图， AEAB 且 AE=AB，
11、BCCD 且 BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 S 是（ ）A、50 B、62 C、65 D、68考点：全等三角形的判定与性质。分析：由 AEAB，EF FH，BG AG，可以得到EAF= ABG，而 AE=AB，EFA= AGB，由此可以证明EFAABG，所以 AF=BG，AG=EF；同理证得BGCDHC，GC=DH ，CH=BG故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积解答：解：AEAB 且 AE=AB，EFFH，BG FHEAB=EFA=BGA=90，EAF+BAG=90，ABG+BAG=90
12、EAF=ABG，AE=AB，EFA=AGB ，EAF=ABG EFAABGAF=BG，AG=EF同理证得BGCDHC 得 GC=DH，CH=BG故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故 S= （6+4） 163463=5012故选 A点评：本题考查的是全等三角形的判定的相关知识作辅助线是本题的关键6、如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为 a，右图轮子上方的箭头指的数字为 b，数对（a，b）所有可能的个数为 n，其中 a+b 恰为偶数的不同个数为 m，则 等于（ ）A、 B、 C、
13、 D、12 16 512 34考点：列表法与树状图法。分析：先用树状图展示所有可能的结果，共有 12 种等可能结果数，然后找出和为偶数的个数，这样可得到 的值解答：解：列树状图：数对（a，b）所有可能的个数为 n=12，其中 a+b 恰为偶数的不同个数为 m=5， = ，512故选 C点评：本题考查了利用树状图展示所有等可能的结果的方法7、如图，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点 A、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4 倍，则它们第 2000 次相遇在边（ ）A、AB 上 B、BC 上 C、CD 上 D、DA 上考点：正
14、方形的性质。专题：动点型；规律型。分析：因为乙的速度是甲的速度的 4 倍，所以第 1 次相遇，甲走了正方形周长的 = ；从第 2 次相遇起，每1215110次甲走了正方形周长的 ，从第 2 次相遇起，5 次一个循环，从而不难求得它们第 2000 次相遇位置15解答：解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的 4 倍，故第 1 次相遇，甲走了正方形周长的 = ；从1215110第 2 次相遇起，每次甲走了正方形周长的 ，从第 2 次相遇起，5 次一个循环15因此可得：从第 2 次相遇起，每次相遇的位置依次是： DC，点 C，CB，BA，AD；依次循环故它们第 2000 次相遇位置与第五次相同，在
15、边 AB 上故选 A点评：本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的8、已知实数 a 满足 ，那么 a20062 的值是（ ）2006+2007=A、2005 B、2006C、2007 D、2008考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值。专题：计算题。分析：根据负数没有平方根，得到 a2007 大于等于 0，然后根据 a 的范围化简绝对值，移项后两边平方即可求出所求式子的值解答：解：由题意可知：a 20070，解得：a2007 ，则|2006 a|+ =a，化为：a 2006+ =a，2007 2007即 =2006，两边平方得：a
16、 2007=20062，解得：a2006 2=20072007故选 C点评：本题考查平方根的定义，化简绝对值的方法，是一道基础题学生做题时注意负数没有平方根二、填空题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）9、小明同学买了一包弹球，其中 是绿色的， 是黄色的，余下的 是蓝色的如果有 12 个蓝色的弹球，那么，14 18 15他总共买了 96 个弹球考点：一元一次方程的应用。专题：应用题。分析：设买了 x 个弹球，根据题意列出有关 x 的一元一次方程解之即可解答：解：设总共买了 x 个弹球，根据题意得： （x x x）=1215 1418解得：x=96故答案为：96点评：本题考查了一元一
17、次方程的应用，解题的关键是从题目中找到能概括题目含义的相等关系，并正确的设出未知数列出方程10、已知点 A（1，1）在平面直角坐标系中，在 x 轴上确定点 P 使 AOP 为等腰三角形则符合条件的点 P 共有 4 个考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质。专题：推理填空题；分类讨论。分析：本题应该分情况讨论以 OA 为腰或底分别讨论当 A 是顶角顶点时，P 是以 A 为圆心，以 OA 为半径的圆与 x 轴的交点，共有 1 个，若 OA 是底边时，P 是 OA 的中垂线与 x 轴的交点，有 1 个，共有 4 个解答：解：（1）若 AO 作为腰时，有两种情况，当 A 是顶角顶点时，P 是以 A 为
18、圆心，以 OA 为半径的圆与 x 轴的交点，共有 1 个，若 OA 是底边时，P 是 OA 的中垂线与 x 轴的交点，有 1 个当 O 是顶角顶点时， P 是以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆与 x 轴的交点，有 1 个；（2 ）若 OA 是底边时，P 是 OA 的中垂线与 x 轴的交点，有 1 个以上 4 个交点没有重合的故符合条件的点有 4 个故答案为：4点评：本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论11、不论 m 取任何实数，抛物线 y=x2+2mx+m2+m1 的顶点都在一条直线
19、上，则这条直线的函数解析式是 y= x1 考点：待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质。专题：计算题。分析：将抛物线的方程变形为：y=（x+m） 2+m1，由此可得出定顶点的坐标，消去 m 后即可得出函数解析式解答：解：将二次函数变形为 y=（x+m） 2+m1，抛物线的顶点坐标为 =1.消去 m，得 x+y=1故答案为：y= x1点评：本题考查待定系数法求函数解析式，突破口在于根据抛物线方程得出顶点坐标12、将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球已知：（1 ）黄盒中的小球比黄球多；（2 ）红盒中的小球与白球不一样多；（3 ）白球比白盒中的球少则红、白
20、、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是 黄，红，白 考点：容斥原理。专题：证明题。分析：由（2）可以判断出，红盒不装白球，由（ 3）判断出，白盒不装白球，从而推得黄盒装白球；假设白盒装黄球，由（3）知白球比黄球少，而（ 1）中，白球比黄球多，矛盾，从而得出白盒装红球，红盒装黄球解答：解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（ 3）知白盒不装白球，故黄盒装白球假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（ 1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球故答案为：黄、红、白点评：本题考查了容斥原理，根据（2） （3 ）推出其中一个结论，又利用反证法进行证明13、在梯形 ABCD 中，ABCD ，AC 、BD
21、 相交于点 O，若 AC=5，BD=12，中位线长为 ，AOB 的面积为 S1，132COD 的面积为 S2，则 = 1+2 30考点：梯形；勾股定理的逆定理；梯形中位线定理。专题：计算题。分析：作 BEAC，从而得到平行四边形 ACEB，根据平行四边形的性质及中位线定理可求得 DE 的长，根据勾股定理的逆定理可得到DBE 为直角三角形，根据面积公式可求得梯形的高，因为AOB 和COD 的面积之和等于梯形的面积从而不难求解解答：解：作 BEAC，ADCE， CE=AB，梯形中位线为 6.5，AB+CD=13，DE=CE+CD=AB+CD=13，BE=AC=5，BD=12，由勾股定理的逆定理，得
22、BDE 为直角三角形，即 EBD=COD=90，设 SEBD=S则 S2： S=DO2：DB 2S1：S=OB 2：BD 2 = S=125 =30 = 1+212 1+230故本题答案为： 30点评：此题主要考查梯形的性质及中位线定理的综合运用难度一般，熟练掌握一些基本图形的性质是解答此类题目的关键14、已知矩形 A 的边长分别为 a 和 b，如果总有另一矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于k，则 k 的最小值为 4（ +） 2考点：矩形的性质。专题：计算题。分析：先根据矩形的性质，列出一元二次方程，再利用根的判别式求根即可解答：解：设矩形 B 的边长分别为 x 和
23、 y根据题意：xy=kab，x+y=k（ a+b） ，将 y=k（ a+b） x 代入 xy=kab 中，x2k（a+b）x+kab=0，利用一元二次方程求根公式：x=k（a+b）S ，2（ +） 242=k2（a+b） 24kab0条件下，x 才有解，由上面这个不等式推出：k4ab/（ a+b） 2 所以 k 的最小值为 4（ +） 2点评：本题的关键是利用面积周长比列出方程组成一个一元二次方程，用根的判别式求根的情况15、已知 x、y 均为实数，且满足 xy+x+y=17，x 2y+xy2=66，则 x4+x3y+x2y2+xy3+y4= 12499 考点：因式分解的应用。专题：计算题。分
24、析：本题须先根据题意求出 x2+y2 和 x2y2 的值，再求出 x4+y4 的值，最后代入原式即可求出结果解答：解：x 2y+xy2=xy（ x+y）=66设 xy=m，x+y=n则 m+n=17mn=66m=6，n=11 或 m=11，n=6（舍去）x2+y2=11226=109x2y2=36x4+y4=1092362=11809x4+x3y+x2y2+xy3+y4=11809+6109+36=12499故答案为：12499点评：本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意因式分解的灵活应用16、 （ 2007天水）如图，已知在O 中，直径 MN=10，正方形 ABCD 的四个顶点分别在O
25、 及半径 OM、OP 上，并且POM=45，则 AB 的长为 5考点：正多边形和圆。分析：根据CDO 为等腰直角三角形，可知 CO=CD，在直角三角形 OAB 中依据勾股定理即可解决解答：解：易知CDO 为等腰直角三角形，那么 CO=CD连接 OA，可得到直角三角形 OAB，AB=BC=CO，那么 AB2+OB2=52，AB2+（2AB ） 2=52，AB 的长为 5点评：解决本题的关键是构造直角三角形，注意先得到 OB=2AB三、解答题（共 2 小题，满分 20 分）17、甲、乙两班同时从学校 A 出发去距离学校 75km 的军营 B 军训，甲班学生步行速度为 4km/h，乙班学生步行速度为
26、 5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为 40km/h，载人时的速度为 20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？考点：二元一次方程组的应用。专题：应用题。分析：根据题意可让甲班学生从学校 A 乘汽车 akm 出发至某处下车步行，汽车空车返回至某处，乙班同学此处上车，此处距离学校 bkm，根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学及步行的时间，甲班步行时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间列出两个方程，求方程组的解即可然后根据时间= 即可得他们至少需要多少时间才能路程速度到达解答：解：设甲班学生从学校 A 乘汽车出发至
27、E 处下车步行，乘车 akm，空车返回至 C 处，乙班同学于 C 处上车，此时已步行了 bkm则 ，20+40=540+7520=754解得 a=60，b=20 则至少需要 （h）=6.75（小时） 6020+154=634答：他们至少需要 6.75 小时才能到达点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解本题根据题意可画出草图，可以较快地列出所需等量关系18、如图，已知矩形 ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P 在 CD 上移动，AP与 DM 交于点 E，PN 交 CM 于点 F，设四边形 ME
28、PF 的面积为 S，求 S 的最大值考点：面积及等积变换。专题：探究型。分析：连接 PM，设 DP=x，则 PC=4x，根据平行线分线段成比例定理可得 = ，进而可得到 = ， +1利用三角形的面积公式可得到MEP 及MPF 的表达式，根据 S= + 即可得出结论+145解答：解：连接 PM，设 DP=x，则 PC=4x，AMOP， = ， = ，即 = ， = 且 SAPM= AMAD=1， +1 12SMPE= ， 同理可得， SMPF= ，+1 45S= + =2 =2 =2+ 2 =+145 1+115 62+4+5 6（ 2） 29 23，43当 x=2 时，上式等号成立，S 的最大值为： 故答案为： 43 43点评：本题考查的是面积及等积变换，能根据题意作出辅助线，把四边形的面积转化为两个三角形的面积是解答此题的关键
