1、高中数学必修 1 知识点第一章 集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性； （2）元素的互异性； （3）元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整
2、体性。3、集合的表示： 如我校的篮球队员 ，太平洋,大西洋 ,印度洋,北冰洋（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。（）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是xR| x-32或x| x-32（3）图示法（文氏图）：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有
3、理数集 Q 实数集 R5、 “属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 a A6、集合的分类：1有限集 含有有限个元素的集合 2无限集 含有无限个元素的集合 3空集 不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B
4、 不包含集合 A,记作 A B 或 B A集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 子集个数为 2n.2 “相等”关系(55，且 5 5，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即：A=B 且 任何一个集合是它本身的子集。A A真子集:如果 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A) 如果 A B, B C ,那么 A C 如果 A B 同时 B A 那么 A=
5、B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作”A 交 B”)，即 AB=x|xA ，且 xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。记作：AB(读作”A 并 B”)，即 AB=x|xA ，或 xB 3、交集与并集的性质：A A = A，A= , AB = BA ，AA = A，A = A , AB = B A.4、全集与补集（1）全集：如果集合 S 含有我们
6、所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。（2）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 A S） ，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集） 。记作： CSA ，即 CSA =x | x S 且 x A（3）性质：C U(C UA)=A (C UA)A= (C UA)A=U(4)(C UA)(C UB)=C U(AB) (5)(C UA)(C UB)=C U(AB)二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中
7、都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：1、如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数
8、式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量
9、和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同 (两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A) 的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y
10、为坐标的点(x ，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA SCsAA图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 (或直线),也可能是由与任意平行于 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换:（1）将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=f(x)的图象如：书上 P21 例 5 （2
11、） y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 1xxxyaa与（3） y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 1logloglay与、平移变换: 由 f(x)得到 f(x a) 左加右减； 由 f(x)得到 f(x) a 上加下减(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B 、利用数形结合的方法分析解题的思路； C、提高解题的速度；发现解题中的错误。4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5映射定义：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素
12、 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,b B.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素 b 叫做元素 a的象，元素 a 叫做元素 b 的原象说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应， 集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则有“方向性” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足：（ ）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合
13、 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6、函数的表示法：常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点。2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同
14、的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为 f 是 g 的复合函数。7函数单调性（1） 增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x 2，
15、当 x1 0（C 为常数）时， 与 A的单调性相同；当 C 0 且 a12、指数函数的图象和性质01图像定义域 R , 值域（0， +）（1）过定点（0，1）,即 x=0 时，y=1(2)在 R 上是减函数 (2)在 R 上是增函数性质 （3）当 x0 时,01（3）当 x0 时,y1;当 x0 时,0100 时,y1;在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x1图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；注意： 指数增长模型：y=N(1+p) x 指数型函数： y=kax3 考点：（1）a b=N, 当 b0 时，a,N 在 1 的同侧；当 b0 且 a1；2. 真
16、数 N0 3. 注意对数的书写格式2、两个重要对数：（1）常用对数：以 10 为底的对数, ；0llg记 为（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 , olne记 为3、对数式与指数式的互化 logxaxN对数式 指数式对数底数 a 幂底数对数 x 指数真数 N 幂结论：（1）负数和零没有对数（2）log aa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0(3) 对数恒等式： logN（二）对数的运算性质如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：1、 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和lollaa（ ）2 、 两个正数的商的对数等于这
17、两个正数的对数差aogg3 、 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍llnna（ R）说明:1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必须是(0,)4) 特别注意： NMNaaalogllog注意：换底公式 l 0,1,0llcabcb利用换底公式推导下面的结论 balog1lllogllogabcadllogmnaa（二）对数函数1、对数函数的概念：函数 (a0，且 a1) 叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是layx（0，+） 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： ， 都不是对数函数，而
18、只能称其为对数型函数log1ayxlog2a（2） 对数函数对底数的限制：a0，且 a12、对数函数的图像与性质：对数函数 (a0，且 a1)logayx0 a 1 a 1图像yx0 (1,0)yx0 (1,0)定义域：（0，） 值域：R过点(1 ,0), 即当 x 1 时,y0在(0,+)上是减函数 在(0,+)上是增函数性质 当 x1 时，y0 当 x1 时，y0当 x=1 时，y=0当 00;当 a,b 不同在(0,1) 内，或不同在 (1,+) 内时,有 logab0；当 a,b 在 1 的异侧时 , logab 0，值域求法用单调性。、分辨不同底的对数函数图象利用 1=logaa ，
19、用 y=1 去截图象得到对应的底数。、y=a x(a0 且 a 1) 与 y=logax(a0 且 a 1) 互为反函数，图象关于 y=x 对称。5 比较两个幂的形式的数大小的方法:(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断 .(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断 .(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断 .常用 1 和 0.6 比较大小的方法(1) 利用函数单调性(同底数 )；(2) 利用中间值（如:0,1.） ；(3) 变形后比较；(4) 作差比较（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如 的
20、函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数yx2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+ ）上是增函数特别地，当 1 时，幂函数的图象下凸；当 00)指数函数：y=a x(a1) 指数型函数： y=kax(k0,a1)幂函数： y=xn（ nN*) 对数函数：y=log ax(a1)二次函数：y=ax 2+bx+c(a0) 增长快慢：V(a x)V(xn)V(logax)解不等式 (1) log2x0）的 根的分布两个根都在（m,n )内 两个有且仅有一个在（m,n)内 x1(m,n) x2 (p,q)yxnmm nm n p qf(m)f(n)0两个根都小于 K 两个根都大于 K 一个根小于 K，一个根大于 Kyxk kkf(k)002()0bnafmn ()0()0fnfpq02()bkaf 02()bkaf
