1、知识点归纳 头htp:/w.xjkygcom126.xckt126.hp:/w.jygo 一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行00单位向量：模为 1 个单位长度的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 相等向量：长度相等且方向相同的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j htp
2、:/w.xjkygcom126t:/.j2、向量加法：设 ，则 + = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,ABaCbaABC（1） ；（2）向量加法满足交换律与结合律；0，但这时必须“首尾相连” ABCDPQR3、向量的减法： 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jaa向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，作图法： 可以表示为从 的终点指向abbbb的终点的向量（ 、 有共同起点） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja4、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度
3、与方向规定如下：aa（） ； （）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与a00a的方向相反；当 时， ，方向是任意的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja05、两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbaba6、平面向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，21,e a有且只有一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的21,221,e一组基底 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j二.平面向量的坐标表示1 头htp:/
4、w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标表示：平面内的任一向量 可表示成 ，记作 =(x,y)。 axiyja2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标运算：(1)若 ，则12,aybxy 12,bx(2)若 ，则BxA2Ay(3)若 =(x,y)，则 =( x, y)a(4)若 ，则12,aybxy121/0bx(5)若 ，则x y若 ，则02121y三平面向量的数量积1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cosababb叫做 与 的数量积（或内积） 头htp:/w.xjkygc
5、om126t:/.j 规定 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j02 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的投影： cos = R，称为向量 在 方向上的投影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j投影的绝对值称为射影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jb|aba3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数量积的几何意义： 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的模与平方的关系： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
6、|5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j乘法公式成立： ；22abab22ab6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量数量积的运算律：交换律成立： ab对实数的结合律成立： abR分配律成立： cc特别注意：（1）结合律不成立： ；c（2）消去律不成立 不能得到abcb（3） =0 不能得到 = 或 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j07 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 ，则 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12(,)(,)axybab128 头htp:/w.xjk
7、ygcom126t:/.j向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则AOB= （ ）叫做向量OAB0018与 的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbcos = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.js,ab212yx当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且仅当 与 反方向时 =180 0，同时 与其它任何非ab零向量之间不谈夹角这一问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j垂直：如果 与 的夹角为 900则称 与 垂直，记作 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
8、abab10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个非零向量垂直的充要条件 ： O 奎 屯王 新 敞新 疆 平面向量数量积的性质ab021yx【练习题】1、给出下列命题：两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；若 A，B ，C，D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；ABDC若 a 与 b 同向，且|a|b| ，则 ab；， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中假命题的个数为( )A1 B2C3 D42设 a0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a| a0；若 a 与 a0 平行，则 a|a|a 0；若 a 与 a0 平行且| a|
9、1，则 aa 0.上述命题中，假命题的个数是 ( )A0 B1C2 D33、设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若 ab， 2a8b， 3( ab)求证：A，B，D 三点共线；BC(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线4、已知两点 A(4,1)，B(7，3) ，则与 同向的单位向量是( )ABA. B.(35， 45) ( 35，45)C. D.( 45，35) (45， 35)5、在ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 中点， ，则 的值为( )ANBCA. B.12 13C. D1146、已知两个单位向量 e1，e 2 的夹角为 ，若向量 b1e 12e 2
10、，b 23e 14e 2，则 b1b2_.37、已知|a| 1， |b|2，a 与 b 的夹角为 120，abc0，则 a 与 c 的夹角为( )A150 B90C60 D308、已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 ab 与向量 kab 垂直，则k_.9、设向量 a，b 满足|a| 1， |ab| ，a( ab)0，则|2 ab|( )3A2 B2 3C4 D4 310、已知向量 a(sin x,1) ，b .(cos x， 12)(1)当 ab 时，求| ab|的值；(2)求函数 f(x) a(ba)的最小正周期11、已知 f(x)ab，其中 a(2cos x， s
11、in 2x)，b(cos x,1)(x R)3(1)求 f(x)的周期和单调递减区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，f (A)1，a ， 3，求边长 b7 ABC和 c 的值( bc)12、如图，在 中， a， b,M 为 OB 的中点，ABCOBN 为 AB 的中点， P 为 ON、AM 的交点，则 等（ ）APA a b B a b 231231C a b D a b13ABC 中，AB 边的高为 CD，若 a， b，ab0，CA|a|1， |b|2，则 ( )AA. a b B. a b13 13 23 23C. a b D. a b35 35 45 45
12、14(2012郑州质检)若向量 a(x1,2)，b(4 ，y )相互垂直，则 9x3 y 的最小值为( )A12 B2 3C3 D6215(2012山西省四校联考)在 OAB (O 为原点) 中， (2cos ，2sin )， (5cos ，5sin )，AOB若 5，则OAB 的面积 S( )OBA. B.332AOM NPBC5 D.353216、若 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，( ac )(bc)0，则|abc| 的最大值为( )A. 1 B1 C. D22 217、已知ABC 为等边三角形，AB2.设点 P，Q 满足 ， (1) ，R ，AP AB AQ AC 若 ，则 (
13、)BQ CP 32A. B. C. D.12 1 22 1 102 322218 如图，已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(0，0) ，B (4,1)，C(6,8)(1)求顶点 D 的坐标；(2)若 2 ，F 为 AD 的中点，求 AE 与 BF 的交点 I 的坐EC 标【课后练习题】1下列等式：0 aa；(a) a；a(a) 0；a0 a；aba( b)正确 的个数是( )A2 B3C4 D5解析：选 C 2(2012福州模拟)若 ab c 0，则 a，b，c( )A都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B一定不可能构成三角形C都是非零向量时能构成三角形D一定可构成三角形解析：选 A 3(
14、2012威海质检)已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若 2 3 ，则 的值为( )OCB|A. B.12 13C. D.14 16解析：选 A 4(2012海淀期末)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC的一个三等分点(靠近 B)，那么 ( )EFA. B. 1213 D14AB12 DC. D. 13A12 12 23解析：选 D 5(2013揭阳模拟)已知点 O 为ABC 外接圆的圆心，且 0，则ABC 的内角 AOBC等于( )A30 B60C90 D120解析：选 A 6已知ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 ，则点 P 与AB
15、PCABC 的关系为( )AP 在ABC 内部BP 在ABC 外部CP 在 AB 边所在直线上DP 是 AC 边的一个三等分点解析：选 D 7(2012郑州五校联考)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 216，| |BCAC |，则 | |_.ABC答案：28(2013大庆模拟)已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量 ， ， ， 满足等OOD式 ，则四边形 ABCD 的形状为_OD答案：平行四边形9设向量 e1，e 2 不共线， 3(e 1e 2)， e 2e 1， 2e 1e 2，给出下列结论：ABCDA ，B，C 共线；A，B ，D 共线；B，C ，D
16、 共线；A，C，D 共线，其中所有正确结论的序号为_答案：10设 i，j 分别是平面直角坐标系 Ox，Oy 正方向上的单位向量，且 2imj， n ij ，OAB5ij，若点 A，B，C 在同一条直线上，且 m2n ，求实数 m，n 的值OCError!或Error!7已知向量 a ，b(x, 1)，其中 x0，若(a2b) (2 ab)，则 x_.(8，x2)答案：48 Pa|a(1,1)m(1,2)，mR ，Q b|b(1，2)n(2,3) ，nR是两个向量集合，则PQ 等于 _答案： 13， 239已知向量 (1，3)， (2，1) ， (k1，k2)，若 A，B，C 三点能构成三角形，
17、OABOC则实数 k 应满足的条件是_答案：k110已知 A(1,1)，B(3，1)，C (a，b)(1)若 A， B，C 三点共线，求 a，b 的关系式；(2)若 2 ，求点 C 的坐标(5，3) 11已知 a(1,0)，b(2,1) 求：(1)|a3b| ；(2)当 k 为何实数时，kab 与 a3b 平行，平行时它们是同向还是反向？方向相反12已知 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)， t 1 t 2 .OMAB(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当 t11 时，不论 t2 为何实数，A，B，M 三点都共线8已知向量 a，b 夹角为 45，且| a|1，|2a
18、b| ，则|b| _.10答案：3 29已知向量 a(2，1)，b(x，2)，c(3，y) ，若 ab，(ab) (bc) ，M(x，y) ，N (y，x)，则向量 的模为_MN答案：8 210已知 a(1,2)，b(2， n)，a 与 b 的夹角是 45.(1)求 b；(2)若 c 与 b 同向，且 a 与 ca 垂直，求 c.c b(1,3)1211已知|a| 4 ，|b|8，a 与 b 的夹角是 120.(1)计算：|ab|，|4 a2 b|；(2)当 k 为何值时，(a2b)(kab)?即 k7 时，a2b 与 kab 垂直12设在平面上有两个向量 a(cos ，sin )(0 360)，b .( 12，32)(1)求证：向量 ab 与 ab 垂直；(2)当向量 ab 与 a b 的模相等时，求 的大小3 330或 210.
