1、梅涅劳斯定理： 1lABCABCABPPQR1R定 理 ： 若 直 线 不 经 过 的 顶 点 ， 并 且 与 的 三 边 、 、 或 它 们 的 延 长线 分 别 交 于 、 、 ， 则 1ABCCBAhlh证 ： 设 、 、 分 别 是 、 、 到 直 线 的 垂线 的 长 度 ， 则 ：注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件； 1/KEACKEADFDBFC例 ： 若 直 角 中 ， 是 斜 边 上 的 高 ， 是 的 平分 线 ， 点 在 上 ， 是 的 中 点 ， 是 与 的 交 点 ，证 明 ： 。 , 901BHHCABEPCKEPAFAKDEFDFPBKCAC
2、FB 证 ： 在 中 ， 作 的 平 分 线 则 ：即 ： 为 等 腰 三 角 形 作 上 的 高 ， 则 ：对 于 和 三 点 、 、 依 梅 涅 劳 斯 定 理 有 ：于 是 即 ： 依 分 比 定 理 有 ： /EC2PQRAB01CPA定 理 ： 设 、 、 分 别 是 的 三 边 、 、 上 或 它 们 的 延 长 线 上 的 三 点 ， 并 且、 、 三 点 中 ， 位 于 边 上 的 点 的 个 数 为或 ， 这 时 若 ，求 证 ： 、 、 三 点 共 线 ； 1BBP1CC02,QRARARABCRR证 ： 设 直 线 与 直 线 交 于 ， 于 是 由 定 理 得 ：又 ，
3、 则 ： 由 于 在 同 一 直 线 上 的 、 、 三 点 中 ， 位 于 边 上 的 点 的 个 数 也 为 或 ，因 此 与 或 者 同 在 线 段 上 ， 或 者 同 在 的 延 长 线 上 ；若 与 同 在 线 段 上 ， 则 与 必 定 重 合 ， 不 然 的 话 ， 设 ,ARAABRABBB这 时 即 于 是 可 得 这 与 矛 盾 PQ类 似 地 可 证 得 当 与 同 在 的 延 长 线 上 时 ， 与 也 重 合综 上 可 得 ： 、 、 三 点 共 线 ；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；CBA 11B111112.PABCABCPBC例 点
4、 位 于 的 外 接 圆 上 ； 、 、 是 从 点 向 、 、 引 的 垂 线 的 垂 足 ，证 明 点 、 、 共 线 ；1 111 11cos,cos,cs, 80PAABACBPPCACCAB 证 ： 易 得 ：将 上 面 三 条 式 子 相 乘 ，且可 得 ， 依 梅 涅 劳 斯 定 理 可 知 、 、 三 点 共 线 ；1111:K BDDADCB【 练 习 】 从 点 引 四 条 直 线 ， 另 两 条 直 线 分 别 交 这 四 条 直 线 于 、 、 、和 、 、 、 ， 试 证 ：2 AEFFEXYZ【 练 习 】 设 不 等 腰 的 内 切 圆 在 三 边 、 、 上的
5、切 点 分 别 为 、 、 ， 则 与 ， 与 ， 与的 交 点 、 、 在 同 一 条 直 线 上 ；1112 21223AOBABCBCA【 练 习 】 已 知 直 线 ， ， 相 交 于 ， 直 线 和的 交 点 为 ， 直 线 与 的 交 点 是 ， 直线 与 的 交 点 是 ， 试 证 ： 、 、 三 点 共 线 ；4EFDDFELMNLN【 练 习 】 在 一 条 直 线 上 取 点 、 、 ， 在 另 一 条 上 取点 、 、 ， 记 直 线 和 ， 和 ， 和 ，和 的 交 点 依 次 为 、 、 ， 证 明 ： 、 、 共 线1 111 1111 111/:ADLALBLKA
6、CLKBBDACBCACDB 练 习 的 证 明证 ： 若 ， 结 论 显 然 成 立 ；若 与 相 交 与 点 ， 则 把 梅 涅 劳 斯 定 理 分 别 用 于 和 可 得 ：将 上 面 四 条 式 子 相 乘 可 得 ：即 ： 1:21112BXCEAFABCXFEFYDAZBXCYAZBX XYZ 练 习 的 证 明证 ： 被 直 线 所 截 ， 由 定 理 可 得 ：又 代 人 上 式 可 得 ： 同 理 可 得 ： 将 上 面 三 条 式 子 相 乘 可 得 ：又 、 、 都 不 在 的 边 上 ， 由 定 理 可 得 、 、 三 点 共 线22111211212212123 (,
7、)(,)(,)ABCABOACOOBC练 习 的 证 明证 ： 设 、 、 分 别 是 直 线 和 ， 和 ， 和 的 交 点 ，对 所 得 的 三 角 形 和 在 它 们 边 上 的 点 ： 和 ， 和 ，和 ， 应 用 梅 涅 劳 斯 定 理 有 ：将 上 面 的 三 条 式 子 相 乘 可 得 ： 222,AB由 梅 涅 劳 斯 定 理 可 知 共 线4(,)(,),(),(),()111EFCDBCDUVWLEMFNACEBDFUVLWAUWBVYACEBL练 习 的 证 明证 ： 记 直 线 和 ， 和 ， 和 的 交 点 分 别 为 、 、 ， 对 ， 应 用 梅涅 劳 斯 定 理 于 五 组 三 元 点 ， 则 有将 上 面 五 条 式 子 相 乘 可 得 ： 1,LN点 共 线
