1、3.1 知识表直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率（1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线（2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角倾斜角的取值范围是0180（3）直线的斜率：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角是90的直线的斜率不存在过 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） （x 2x 1）两点的直线的斜率 特别地是，当 ， 时，直线与 x 轴垂直，斜率 k 不存在；当 ， 时
2、，直线与 y 轴垂直，斜12x12y 2x12y率 k=0.注意：直线的倾斜角 =90时，斜率不存在，即直线与 y 轴平行或者重合. 当 =90时，斜率k=0；当 时，斜率 ，随着 的增大，斜率 k 也增大；当 时，斜率 ，090k 9080k随着 的增大，斜率 k 也增大. 这样，可以求解倾斜角 的范围与斜率 k 取值范围的一些对应问题.1.特殊角与斜率基础达标1若直线 的倾斜角为 ，则 等于（ ）.1xA0 B45 C90 D不存在2已知直线 的斜率的绝对值等于 ，则直线的倾斜角为（ ）.l 3A. 60 B. 30 C. 60或 120 D. 30或 1503. 已知直线经过点 A(0,
3、4)和点 B（1，2） ，则直线 AB 的斜率为_4.经过两点 的直线的倾斜角为 1350，则 的值等于 （ ）),(),2,4(y y5.过点 P(2, m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为（ ）. A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 46已知两点 A( ，2)， B(3，0)，并且直线 AB 的斜率为 2，则 .x x7.已知过两点 , 的直线 l 的倾斜角为 45，求实数 的值.2,)2(,) m8若三点 P（2，3） ， Q（3， ） ， R(4， )共线，那么下列成立的是( )abA B C D4,5ab12323a9若 A(1，2)， B(-2，3)，
4、C(4， y)在同一条直线上，则 y 的值是 .10.已知三点 A(a，2)、 B(3，7)、 C(-2，-9 a)在一条直线上，求实数 a 的值11光线从点 出发射入 y 轴上点 Q, 再经 y 轴反射后过点 , 试求点 Q 的坐标,以及入射光线、(2,1) (43)B反射光线所在直线的斜率. 倾斜角斜率能力提高12已知 两点，直线 过定点 且与线段 AB 相交，求直线 的斜率 的取值范围. (2,3)(,2)ABl(1,)Plk13.已知两点 M(2，3)、 N(3，2)，直线 l 过点 P(1，1)且与线段 MN 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( A )A.k 或 k 4 B
5、. 4 k C. k4 D. k43434314.已知两点 A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点 P (-1, 2)的直线 与线段 AB 始终有公共点，求直线 的斜率l l的取值范围. 15.右图中的直线 l1、 l2、 l3的斜率分别为 k1、 k2、 k3，则（ ）.A .k1 k2 k3 B. k3 k1 k2 C. k3 k2 k1 D. k1 k3 k23.1.2 两条直线平行与垂直的判定基础知识：1.两条不重合的直线平行或垂直，则（1） l1 l2 k1=k2（2） l1 l2 k1k2=1.若 l1和 l2都没有斜率，则 l1与 l2平行或重合.若 l1和 l2中有
6、一条没有斜率而另一条斜率为 0，则 l1 l2.【例 1】四边形 ABCD 的顶点为 、 、 、 ，试判断四边形 ABCD(,)A(,)B(0,)C(4,)D的形状.【例 2】已知 的顶点 ，其垂心为 ，求顶点 的坐标ABC(2,1)6,3)C(3,2)HA【例 3】 （1）已知直线 经过点 M（-3，0） 、 N（-15，-6） ， 经过点 R（-2， ） 、 S（0， ） ，试判1l 2l3252断 与 是否平行？1l2（2） 的倾斜角为 45， 经过点 P（-2，-1） 、 Q（3， -6） ，问 与 是否垂直？1l 2l 1l2【例 4】已知 A（1，1） ， B（2，2） ， C（3
7、，-3） ，求点 D，使直线 CD AB，且 CB AD点评：通过设点 D 的坐标，把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起，联系的纽带是斜率公式. 解题的数学思想是方程求解，方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.基础达标1下列说法中正确的是（ ）. A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等C. 垂直的两直线的斜率之积为-1 D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行2若直线 的倾斜角分别为 ，则有（ ）.12l、 12,、 且 12lA. B. C. D. 9029019012803经过点 和 的直线平行于斜率等于 1 的直线，则 的值是（
8、 ）.(,)Pm(,4)QmA4 B1 C1 或 3 D1 或 44若 ， 则下面四个结论： ； ；,26,(,) /ABCD； . 其中正确的序号依次为（ ）./CBDA. B. C. D. 5已知 的三个顶点坐标为 ，则其形状为（ ）.(5,1)(,2,3)ABCA. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断6直线 的斜率是方程 的两根，则 的位置关系是 . 12,l230x12l与7若过点 的直线与过点 的直线平行，则 m= . (),(50AB(,)(,)PmQ能力提高8已知矩形 的三个顶点的分别为 ，求第四个顶点 D 的坐标CD,03,ABC9 的顶点 ，若 为
9、直角三角形，求 m 的值.(,1)(,2)C探究创新10已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、 B 两点，分别过点 A、 B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、 D 两点.（1） 证明：点 C、 D 和原点 O 在同一直线上. （2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.必修二 3.2 知识表名称 几何条件 方程 局限性点斜式 过点(x 0，y 0)，斜率为 k yy 0=k(xx 0) 不含垂直于 x 轴的直线斜截式 斜率为 k，纵截距为 b y=kxb 不含垂直于 x 轴的直线找要素，写方程（两点、一点一斜、两截）设方程，求系数（
10、讨论）线段 中点坐标公式12P1212(,)xy3.2.1 直线的点斜式方程基础达标1.写出下列点斜式直线方程： （1）经过点 ，斜率是 4； （2）经过点 ，倾斜角是 . .(2,5)A54(3)yx(3,1)B3031()yx2. 倾斜角是 ，在 轴上的截距是 3 的直线方程是 .13y3.直线 （ 0）的图象可以是（ ）.yaxb4已知直线 l 过点 ，它的倾斜角是直线 的两倍，则直线 l 的方程为（ ）.(3,4)P1yxA. B. C. D. 2yx43y4030x求直线方程的方法 “先判断，后计算” ， “特殊提前，通法接连” 。 5过点 的直线与 x、 y 轴分别交于 P、 Q，
11、若 M 为线段 PQ 的中点，则这条直线的方程为2,1M_6 将直线 绕它上面一点（1， ）沿逆时针方向旋转 15，得到的直线方程是 . 3y37.方程 表示（ ）.()kxA. 通过点 的所有直线 B. 通过点 的所有直线2,0 (2,0)C. 通过点 且不垂直于 轴的直线 D. 通过点 且除去 轴的直线x x8直线 必过定点，该定点的坐标为（ B ）3)(xkyA （3，2） B （2，3） C （2，3） D （2，3）能力提高9已知 在第一象限，若 ，求：（1）边 所在直线的方程；C(1,)5,60,45AABAB（2）边 和 所在直线的方程 .10.已知直线 .（1）求直线恒经过的定
12、点；（2）当 时，直线上的点都在 轴上方，3ykx 3xx求实数 的取值范围.11.光线从点 A（3，4）发出，经过 x 轴反射，再经过 y 轴反射，光线经过点 B（2，6） ，求射入 y 轴后的反射线的方程.12. 已知直线 在 轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为 6，求直线 的方程.ly l13.已知直线 经过点 ，且 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5，求直线 的方程(5,4)Pl l探究创新14国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台 120 米，方阵纵列 95 人，每列长度 192 米，问第一、二排间距多大能达到满意的观礼效果？两点
13、式在 x 轴、y 轴上的截距分别为a，b（a,b0） a直线的横截距 b直线的纵截距不包括垂直于坐标轴的直线.截距式 在 x 轴、y 轴上的截距分别为a，b（a,b0） 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线.3.2.2 直线的两点式方程基础达标1过两点 和 的直线的方程为（ ）.A. B. C. (,2)3,4 1yx1yx2yxD. yx2.已知 顶点为 ，求过点 且将 面积平分的直线方程.ABC(,8),0)(6,BCBAC3.过两点 和 的直线在 轴上的截距为（ ）. A. B. C. D. 2(1,)3,9x 3254已知 ，则过点 的直线 的方程是（ ）.12234,34xyxy12(,
14、)(,)AxyBlA. B. C. D. 034320xy5.求过点 ，并且在两轴上的截距相等的直线方程.(,)P6.经过点（-3，4）且在两个坐标轴上的截距和为 12 的直线方程是：_ 7.已知直线 l 过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则 l 的方程为 .8.菱形的两条对角线长分别等于 8 和 6，并且分别位于 x 轴和 y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.能力提高9三角形 ABC 的三个顶点 A（3，0） 、 B（2，1） 、 C（2，3） ，求：（1） BC 边所在直线的方程； （2） BC 边上中线 AD 所在直线的方程；10.长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定
15、重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用 y（元）是行李重量 x（千克）的一次函数，直线过两点（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并说明自变量 x 的取值范围；（2）如果某旅客携带了 75 千克的行李，则应当购买多少元行李票？11直线 在 X 轴、Y 轴上的截距之比是 2:3,且过点 ,求直线 的方程.l (49)Al12.已知直线 l 的斜率为 6，且被两坐标轴所截得的线段长为 ，求直线 l 的方程.3713.已知直线 过点 ，且与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线 的方程(2,)14.与两坐标轴围成的三角形周长为 9，且斜率为 的直线 的方程为 4l15.已知ABC 的顶
16、点 A（4，2） ，两条中线所在的直线方程分别为 求320,35120,xyxyBC 边所在的直线方程。探究创新16. 光线从点 A（-3，4）射出，经 x 轴上的点 B 反射后交 y 轴于 C 点，再经 C 点从 y 轴上反射恰好经过点 D（-1，6） ，求直线 AB，BC，CD 的方程17.一束光线从点 射到点 后被 X 轴反射,求入射线和反射线所在的直线方程(3,6)P(3,0)Q18已知点 、 ，点 P 是 x 轴上的点，求当 最小时的点 P 的坐标(,8)A(2,)BAPB一般式， ， 分别为斜C率、横截距和纵截距AxByC=0 A、 B 不能同时为零3.2.3 直线的一般式方程知识
17、要点：1. 一般式（ general form）： ，注意 A、 B 不同时为 0. 直线一般式方程0AxByC化为斜截式方程 ，表示斜率为 ， y 轴上截距为 的直线.0()AxByCyCB第 24 练 3.2.3 直线的一般式方程oyx6106080 基础达标1如果直线 的倾斜角为 ，则有关系式（ ）.A. B. C. 0AxByC45AB01ABD. 以上均不可能2若 ，则直线 必经过一个定点是（ ）.A. B. C. abc0axbyc (1,)(1,)(,)D. (,)3直线 与两坐标轴围成的面积是（ ）.A B C D1(0)xy 2ab|2ab2ab12|ab4 （2000 京皖
18、春）直线（ ） x+y=3 和直线 x+（ ） y=2 的位置关系是（ ）.323A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合5过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若点（ ，12）在此直线上，a则 a6.直线方程 的系数 A、 B、 C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?0AxByC（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与 x 轴相交；（3）只与 y 轴相交；（4）是 x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.能力提高7根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是 ，经过点 A（8，2） ； （2）经过点 B(4，2)，平行于 轴；12 x（3）在 轴和
19、 轴上的截距分别是 ,3； （4）经过两点 （3，2） 、 （5，4）.xy 1P2P8.某房地产公司要在荒地 ABCDE（如下图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.（精确到 1 m2）60m 80m100m70mA B CDE必修二 3.3 两条直线的位置关系1.已知直线 的方程分别是： （ 不同时为 0） ， （12,l11:0lAxBy1,AB22:0lAxByC不同时为 0） ，则两条直线的位置关系可以如下判别：2,AB(1) ；, 121212121 l（2） ；0,0,/ 12122 CCBAC（3） ,011
20、221 ABAl与（4） 与 相交 .1l2 212, 0212.与直线 平行的直线，可设所求方程为 ；与直线 垂直的:0lAxByC 0AxByC0AxByC直线，可设所求方程为 . 过点 的直线可写为 .xAy0(,)Py 0()()x经过点 ，且平行于直线 l 的直线方程是 ；0M0()经过点 ，且垂直于直线 l 的直线方程是 .0xy基础达标1.已知直线 的方程为 ，则与 平行，且过点（ 1，3）的直线方程是_l34120xyl2. 若直线 与直线 平行，则 12m： 31lx： m3. 的顶点 ，求 AC 边上的高线方程_，中线方程ABC,6,5,BC_4.若从点 M（1，2）向直线
21、 作垂线，垂足为点（ ，4） ，则直线 的方程为_l l5.已知点 、 ，则线段 的垂直平分线的方程是（ ）(,)(3,)A6.已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0，且在 y 轴上的截距为 ，则 m， n 的值分别为（ ）.13A. 4 和 3 B. 4 和 3 C. 4 和3 D. 4 和367.若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a= . 能力提高8已知直线 的方程分别是： （ 不同时为 0） ，12,l11:0lAxByC1,AB（ 不同时为 0） ，且 . 求证 .2:0lAxByC2, 212l探究创新9已知直线 ， ，求 m 的值
22、，使得：（1） l1和 l2相交；1:6lxmy2:()3l（2） l1 l2；（3） l1/l2；（4） l1和 l2重合.1. 第 22 讲 3.2.1对称关系 点-点-点 点-线-点 线-点-线 线-线-线图象及 数值关系1.（1）点（ ）关于 x 轴对称的点为（ ） ；（ 2）点（ ）关于 y 轴对称的点为（0,yx0,yx0,x） ；0,（3）点（ ）关于原点对称的点为（ ） ；（4）点（ ）关于 对称的点为（0,yx 0,yx0,yxx） ；0,y（5）点（ ）关于 对称的点为（ ） 。0,yxx0,xy2.点点对称：点（ ）关于（ ）对称的点为（ ） ； ba, 02yba3.线
23、点对称：法一; （转化为点点对称） 在待求直线上任取一点（ ） ，它关于点（ ）对称点（x,ba,）在已知直线上，代入已知直线化简即得所求直线方程。ybxa2,法二:在已知直线上任取一点 A，利用点点对称，得到对称点 A1 ，过 A1 与原直线平行的直线即为所求，利用点斜式 4.点线对称：方法一：点与对称点的中点在已知直线上且点与对称点连线的直线斜率是已知直线斜率的负倒数； 方法二：求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后联立已知直线求出交点，再由点点对称得之。方法三：在对称直线 上设点 M( ),由 （A 为已知点）得 M，再由点点对称得对称点。l)(,aflAMk15.线线对称：分为平行还
24、是相交，若是平行根据平行关系设出直线方程，只有一个未知数 c，再在直线上任取一点关于对称直线找到对称点在要求直线上即可。若为相交直线，求出交点，在回归到点点对称。法二：利用点到直线的距离可求法三；利用到角公式1. 已知点 与点 关于 轴对称，点 P 与点 N 关于 轴对称，点 Q 与点 P 关于直线(,)MabNxy对称，则点 Q 的坐标为_；点 P（ 关于直线 的对称点的坐0xy )4,301yx标是 2. 已知一束光线通过点（，） ，经直线 :3x4y+4=0 反射。如果反射光线通过点l（，15） ，则反射光线所在直线的方程是_ 3. 与直线 关于点 P（ 对称的直线方程是 _ 014yx
25、)4,34. 直线 关于 轴对称的直线方程为_，2关于 x 轴的呢_5. 求直线 关于直线 对称的直线的方程 _y0yx第 25 讲 3.3.1 两条直线的交点坐标学习目标：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组 . 若方程组有惟一解，11220AxByC则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程 为直线系，所有的
26、直线恒过一个定点，其定点就是1122()()0AxByCAxByC与 的交点.110AxByC20例题精讲：【例 1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线 l1: 2x3 y+10=0 , l2: 3x+4y2=0； （2）直线 l1: , l2: .1nxynyx（2）解方程组 ，消 y 得 .12nxy22(1)nxn当 时，方程组无解，所以两直线无公共点， / .1n l2当 时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点， l1与 l2重合.当 且 ，方程组有惟一解，得到 ， ， l1与 l2相交.xny当 时， / ；当 时， l1与 l2重合；1nl2n当
27、且 ， l1与 l2相交，交点是 .1(,)【例 2】求经过两条直线 和 的交点，且平行于直线 的直线方80xy0xy4370xy程.【例 3】已知直线 . 求证：无论 a 为何值时直线总经过第一象限.(2)(31)ayx【例 4】若直线 l： y kx 与直线 2x3 y60 的交点位于第一象限，求直线 l 的倾斜角的取值范围.点评：此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.第 25 练 3.3.1 两条直线的交点坐标基础达标1直线 与 的交点是（ C ）.3
28、510xy4350xyA. B. C. D. (2,)(,2)(2,1)(3,2)2直线 ：2 3 12 与 ： 2 的交点坐标为 . 1ll3直线 2 0，4 3 10 和 2 10 相交于一点，则 的值为（ B ）.axyxyxyaA. 1 B. 1 C. 2 D. 24直线 与直线 的位置关系是（ A ）.:()l:(1)3lA. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合5经过直线 与 的交点，且垂直于直线 的直线的方程是（ B ）.240xy50xy20xyA. B. C. D. 82828xy86已知直线 的方程分别为 ， ，且 只有一个公共点，12,l11:lABC22:lC12l
29、与则（ B ）.A. B. C. D. 120AB121012AB12AB7. ，不管 怎样变化恒过点_()()(34)mxym能力提高8已知直线 l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过 l1和 l2的交点，且与直线 l3: 3x-2y+4=0 垂直的直线 l 的方程.探究创新9已知直线方程为(2+) x+(1-2) y+4-3=0.（1）求证不论 取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程. 第 26 讲 3.3.2 两点间的距离学习目标：探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明，初步了解由特
30、殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.知识要点：1. 平面内两点 ， ，则两点间的距离为： .1(,)Pxy2(,)xy 221211|()()Pxy特别地，当 所在直线与 x 轴平行时， ；当 所在直线与 y 轴平行时，2 12|x,；当 在直线 上时， .122|Py1,kb12|k2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.例题精讲：过点 P(1,2)且与原点 O 距离最大的直线 l 的方程（ ）.A. B. C. D. 50xy240xy370xy350xy【例 1】在直线
31、 上求一点 ，使它到点 的距离为，并求直线 的方程.2P(5,8)MPM【例 2】直线 2x y4=0 上有一点 P，求它与两定点 A(4，1)， B(3，4)的距离之差的最大值.（中档）【例 3】已知 AO 是 ABC 中 BC 边的中线，证明| AB| | AC| =2（| AO| | OC| ） （中档）.2222点评：此解体现了解析法的思路. 先建立适当的直角坐标系，将 ABC 的顶点用坐标表示出来，再利用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明. 还可以作如下推广：平行四边形的性质：平行四边形中，两条对角线的平方和，等于其四边的平方和. 三角形的
32、中线长公式： ABC 的三边长为 a、 b、 c，则边 c 上的中线长为.221abc第 26 练 3.3.2 两点间的距离基础达标1已知 ，则| AB|等于（ ）.(2,1)(,5ABA. 4 B. C. 6 D. 02132已知点 且 ，则 a 的值为（ ）.,3)a|5AA. 1 B.5 C. 1 或5 D. 1 或 53点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，线段 AB 的中点 M 的坐标是 ，则 的长为（ ）.(3,4)|ABA. 10 B. 5 C. 8 D. 64已知 ，点 C 在 x 轴上，且 AC=BC，则点 C 的坐标为（ ）. (,2)(0,4A. B. C. D. 11,)21(,0)o xA(1,a)B(1,b)y
